(共32张PPT)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的________的面积的和．
各个面
【即时练习】 已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为( )
A．22 B．20
C．10 D．11
答案：A
解析：长方体的表面积为S表＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.故选A.
二、棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝________ S为棱柱的底面积，h为棱柱的高
棱锥 V棱锥＝________ S为棱锥的底面积，h为棱锥的高
棱台 S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高
Sh
Sh
【即时练习】 三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为( )
A．4 B．6 C．12 D．24
答案：A
解析：因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，
所以该三棱锥的体积为V＝Sh＝××2×3×4＝4.
故选A.
共 学 案
【学习目标】
(1)了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积公式及体积公式．
(2)能运用公式求棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积．
题型 1 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和体积
【问题探究1】 小明在自家花园为他家小狗搭了个外形为三棱锥的小帐篷，帐篷的底面边长为2，侧棱长为4，如图所示．
(1)你能计算出小明搭的帐篷的侧面积吗？
(2)棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图是什么？
(3)如果沿不同的棱将多面体展开，那么得到的
展开图相同吗？其面积还相等吗？
提示：(1)侧面三角形的高为＝3，所以侧面积为3××2×3＝9.
(2)棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图①所示；棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，如图②所示；棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，如图③所示．
(3)由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同．但是，不论怎么剪，同一个多面体的表面展开图的面积是一样的．
例1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积．
解析：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，
体对角线A1C＝15，B1D＝9，
∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
∴AB2＝＋＝＝＝64，
∴AB＝8.
∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160.
∴直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20.
∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40.
学霸笔记
(1)求多面体的表面积和侧面积二者不同，要分清二者区别．
(2)棱锥或棱台的表面积计算常借助侧面三角形或梯形的高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．
跟踪训练1 如图，四面体P-ABC的各棱长均为3，求它的表面积．
解析：因为四面体P-ABC的各棱长均为3，于是得四面体P-ABC的四个面是全等的正三角形，
所以四面体P-ABC的表面积S＝4S△ABC＝4×AB2＝×32＝9.
题型 2 棱柱、棱锥、棱台的体积
【问题探究2】 (1)假如一个集装箱的长、宽、高分别为a，b，c，如何计算集装箱的体积呢？
(2)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？
例2 如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1-D1EF的体积．
解析：由V三棱锥A1-D1EF＝V三棱锥F-A1D1E，
∵＝EA1·A1D1＝a2，且三棱锥F-A1D1E的高为CD＝a，
∴＝a·a2＝a3，
∴＝a3.
题后师说
求几何体体积的常用方法
跟踪训练2 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A．20＋12 B．28
C． D．
答案：D
解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高h＝＝，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
所以该棱台的体积V＝h(S1＋S2＋)＝×(16＋4＋)＝.
故选D.
题型 3 简单组合体的表面积和体积
例3 如图是一个搭建在空地上的帐篷，它的下部是一个正六棱柱，上部是一个正六棱锥，其中帐篷的高为PO，正六棱锥的高为PO1，且PO＝3PO1，A1B1＝2PO1＝4 m.
(1)求帐篷的表面积(不包括底面)；
(2)求帐篷的容积(材料厚度忽略不计)．
解析：(1)连接O1A1，O1B1.
由正六边形A1B1C1D1E1F1，可得△O1A1B1为正三角形，所以O1B1＝A1B1＝4 m.
取A1B1的中点为Q，连接O1Q，PQ，易得PQ⊥A1B1.
所以O1Q＝＝＝2(m)，PQ＝＝4(m)．
设帐篷上部的侧面积为S1，下部的侧面积为S2，
则S1＝6×A1B1·PQ＝48(m2)，
S2＝6A1B1·OO1＝96(m2)，
所以搭建帐篷的表面积为S1＋S2＝48＋96＝144(m2)．
(2)由(1)得△O1A1B1的面积＝×A1B1·O1Q＝×4×2＝4(m2)．
所以＝＝24(m2)，
上部正六棱锥的体积V1＝×24×2＝16(m3)；
下部正六棱柱的体积V2＝24×4＝96(m3)，
所求帐篷容积为V1＋V2＝112(m3)．
学霸笔记
求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
跟踪训练3 如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体．
(1)该截角四面体的表面积；
(2)该截角四面体的体积．
解析：(1)依题意，该截角四面体由4个边长为1的正三角形和4个边长为1的正六边形围成，
截角四面体中，正三角形的面积S1＝×1×1×＝，
边长为1的正六边形的面积S2＝6××1×1×＝，
所以该截角四面体的表面积为S＝4×＋4×＝7.
(2)该截角四面体由棱长为3的正四面体去掉4个角上棱长为1的正四面体而得，
棱长为1的正四面体的高h＝＝，棱长为3的正四面体的高为3h＝，
则棱长为1的正四面体的体积V1＝×12×＝，
棱长为3的正四面体的体积V2＝×32×＝，
所以该截角四面体的体积为：V＝V2－4V1＝－4×＝.
随堂练习
1．正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积扩大到原来的( )
A．2倍 B．12倍
C．18倍 D．36倍
答案：D
解析：设正方体棱长为a，则其表面积为6a2，
故正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积为6×36a2，扩大到原来的36倍，故选D.
2．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( )
A．6 B．12
C．24 D．48
答案：D
解析：正四棱锥的斜高h′＝4，S侧＝4××6×4＝48.故选D.
3．“升”和“斗”是旧时量粮食的器具，如图所示为“升”，是一个无盖的正四棱台，据记载：它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，可容米1公斤．该“升”的容积约是(约定：“上口”指上底边长；“下口”指下底边长．)( )
A．1895.8 cm3 B．1894.8 cm3
C．1895.9 cm3 D．1894.9 cm3
答案：A
解析：器具是一个无盖的正四棱台，它上口15厘米，下口12.5厘米，高10厘米，
其体积为：V＝(S＋S′＋)×h＝(152＋12.52＋15×12.5)×10≈1895.8 cm3.故选A.
4．如果正四棱柱的体对角线长为3.5，侧面的一条对角线长为2.5，则该棱柱的体积为________．
3
解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为b，
则＝2.5且＝3.5，
所以a2＝3.52－2.52＝6，b2＝0.25，
所以b＝，
所以该棱柱的体积为a2·b＝6×＝3.
课堂小结
1. 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积．
3．简单组合体的表面积和体积．(共34张PPT)
第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
预 学 案
共 学 案
预 学 案
一、圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱 底面积：S底＝________；
侧面积：S侧＝________；
表面积：S＝____________
圆锥 底面积：S底＝________；
侧面积：S侧＝________；
表面积：S＝______________
πr2
2πrl
2πrl＋2πr2
πr2
πrl
πrl＋πr2
圆台 上底面面积：S上底＝________；
下底面面积：S下底＝________；
侧面积：S侧＝____________；
表面积：S＝________________
πr′2
πr2
π(r′＋r)l
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
【即时练习】
1．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为( )
A．4π B．6π C．3π D．12π
答案：B
解析：该圆锥的侧面积为πrl＝π×2×3＝6π.故选B.
2．已知圆柱的底面半径为2，高为2，则该圆柱的表面积是________．
16π
解析：圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一条边长为圆柱底面周长，即2π×2＝4π，另一边长为2，圆柱的侧面面积为2×4π＝8π，故圆柱的表面积为8π＋2π×22＝16π.
二、圆柱、圆锥、圆台的体积
几何体 体积
圆柱 V圆柱＝Sh＝________
圆锥
圆台
πr2h
πr2h
πh(r′2＋r′r＋r2)
【即时练习】
1．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方形，则这个圆柱的体积是( )
A．2π2 B．π2
C． D．
答案：A
解析：底面圆周长l＝2π＝2πr，r＝1，S＝πr2＝π，
所以V＝Sh＝π×2π＝2π2.故选A.
2．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．
12π
解析：易知圆锥的高h＝＝4，
所以体积V＝π×32×4＝12π.
微点拨
圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系：
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl.
共 学 案
【学习目标】
(1)掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式．
(2)能运用圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．
题型 1 圆柱、圆锥、圆台的表面积
【问题探究1】 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么？如何求它们的底面积、侧面积、表面积？
(2)圆柱、圆锥、圆台三者的侧面积公式之间有什么关系？
提示：
(1)圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线)．设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则有S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．
圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长(如图)，∴S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面圆半径，l为母线长．
圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长(如图)．易知＝，解得x＝l.所以S侧＝S大扇形－S小扇形＝πR(x＋l)－πrx＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，S表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．
(2)S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl.
例1 (1)若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶
C．1∶ D．∶2
答案：C
解析：(1)设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r，
∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.故选C.
(2)已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6
C．5 D．3
答案：A
解析：(2)设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.
由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.故选A.
学霸笔记
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
跟踪训练1 圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
A．4πS B．2πS
C．πS D．πS
答案：A
解析：设底面半径为r，则πr2＝S，
∴r＝ ，∴底面周长为2πr＝2π ，
又侧面展开图为一个正方形，∴侧面积是＝4πS.故选A.
题型 2 圆柱、圆锥、圆台的体积
【问题探究2】 我们以前学过圆柱、圆锥的体积公式，你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？
提示：如图所示，由三角形相似，可得＝，变形解得H＝h.
所以H－h＝h.
则V圆台＝V大圆锥－V小圆锥＝πr2·H－πr′2(H－h)
＝πh＝πh(r2＋rr′＋r′2)
例2 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为( )
A．12π B．12π
C．6π D．2π
答案：C
解析：由题意知该圆柱的高和底面直径是2，
所以该圆柱的体积为V＝Sh＝π()2·2＝6π.
故选C.
(2)圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是________．
解析：上底半径r＝1，下底半径R＝2.
因为S侧＝6π，设母线长为l，则π(1＋2)·l＝6π.
所以l＝2，所以高h＝＝.
所以V＝π·(1＋1×2＋2×2)＝π.
π
学霸笔记
求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形列出方程并求解．
跟踪训练2 已知一个圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积2倍，则圆锥的体积为( )
A． B．
C．π D．π
答案：B
解析：设圆锥的母线为l，
由题意得π×l×1＝2×π×12，解得l＝2，
所以圆锥的高为h＝＝，
所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×12×＝，故选B.
题型 3 简单组合体的表面积和体积
例3 如图，其中B，C分别是上、下底面圆的圆心，且AC＝3AB＝6，底面圆的半径为2，求该组合体的表面积和体积．
解析：依题意，圆锥的高AB＝2，圆柱的高BC＝4，圆锥、圆柱的底面圆半径r＝2，
于是圆锥的母线l＝＝＝2，
圆锥的侧面积S1＝πrl＝π×2×2＝4π，圆柱的侧面积S2＝2πr·BC＝2π×2×4＝16π，
所以该组合体的表面积S＝S1＋S2＋πr2＝4π＋16π＋π×22＝(4＋20)π；
圆锥的体积V1＝πr2·AB＝π×22×2＝，圆柱的体积V2＝πr2·BC＝π×22×4＝16π，
所以该组合体的体积V＝V1＋V2＝＋16π＝.
学霸笔记
求组合体的表面积和体积：首先要认清组合体是由哪些简单几何体构成的，组合体的表面积是可见的围成组合体的所有面的面积之和，但不一定是组合体的几个简单几何体的表面积之和；组合体的体积是构成组合体的几个简单组合体的体积之和(差)．
跟踪训练3 如图所示，从底面半径为2a，高为a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比．
解析：由题意，知
S1＝2π·2a·a＋2π·(2a)2＝(4＋8)πa2，
挖去圆锥的母线长为＝2a，
S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(4＋9)πa2.
∴S1∶S2＝(4＋8)∶(4＋9)．
随堂练习
1．已知某圆柱的高为10，底面周长为8π，则该圆柱的体积为( )
A．640π B．250π C．160π D．120π
答案：C
解析：设圆柱底面圆半径为r，由2πr＝8π，得r＝4，
所以圆柱的体积为16π×10＝160π.故选C.
2．已知圆锥的底面半径为2，高为2，则其侧面积为( )
A．2π B．4π C．6π D．8π
答案：D
解析：由题意，圆锥的母线l＝＝4，底面周长为4π，
故其侧面积为S＝×4π×l＝×4π×4＝8π.故选D.
3．圆台上、下底面半径分别是1、2，高为，这个圆台的体积是( )
A．π B．2π C．7π D．π
答案：A
解析：由圆台体积公式知：V＝πh(R2＋r2＋Rr)＝×(12＋22＋1×2)＝π.故选A.
4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所围成几何体的表面积为__________．
(60＋4)π
解析：该几何体为一个圆台从半径较小的底面挖去一个圆锥，其轴截面图形如图所示，过点C分别作CE垂直直线AD于点E，作CF垂直AB于点F.
由已知易得DE＝2，CE＝2，
又AD＝2，AB＝5，∴CF＝4，BF＝5－2＝3.
∴在Rt△CFB中，BC＝＝5.
∴下底面圆的面积S1＝25π，
圆台的侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，
圆锥的侧面积S3＝π×2×2＝4π.
故几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋4)π.
课堂小结
1. 圆柱、圆锥、圆台的表面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的体积．
3．简单组合体的表面积和体积．
(共30张PPT)
第2课时 球的表面积和体积
预 学 案
共 学 案
预 学 案
球的表面积和体积
1．球的表面积公式S＝________(R为球的半径)．
2．球的体积公式V＝________．
4πR2
πR3
【即时练习】
1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为( )
A．2π B．16π
C．8π D．4π
答案：D
解析：因为球的直径为2，即球的半径为1，
所以球的表面积为4π×12＝4π.故选D.
2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )
A．π B．π
C．16π D．24π
答案：B
解析：设球的半径为R，则S＝4πR2＝16π，解得R＝2，
则球的体积V＝πR3＝π.故选B.
微点拨
(1)球面不能展成平面图形，因此不能根据柱、锥、台求面积的推导方法求解．
(2)不要求掌握其推导过程，只要求记住公式并会应用，要求球的表面积，只需求出球的半径R.
共 学 案
【学习目标】 (1)了解并掌握球的体积和表面积公式．(2)会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(3)会解决简单的球的切、接问题．
【问题探究】 从生活经验中我们知道，不能将橘子皮展开成平面，因为橘子皮近似于球面，这种曲面不能展开成平面图形．那么，人们又是怎样计算球面的面积的呢？古人在计算圆周率时，一般是用割圆术，即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长．理论上，只要取得的圆内接正多边形的边数越多，圆周率就越精确，直到无穷．这种思想就是朴素的极限思想．
(1)球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？
(2)类比利用圆的周长求圆的面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如图，把球O的表面分成n个小网格，
连接球心O和每个小网格的顶点，
整个球体就被分割成n个“小锥体”．
如此，我们可以得到球的体积公式是什么？
提示：(1)球没有底面，球的表面不能展开成平面图形．
(2)当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R.设O -ABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是VO -ABCD≈S四边形ABCD·R.
由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此，V球＝S球·R＝×4πR2·R＝πR3.
由此，我们得到V球＝πR3.
题型 1 球的表面积和体积
例1 一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，求该球的体积．
解析：设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．
在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，
∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)，
∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3)．
学霸笔记：在计算球的体积、表面积时，关键是求出球的半径，另外球还有如下性质：(1)用一个平面去截球，截面是圆面；(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R以及截面半径r，有如下关系：r＝.
跟踪训练1 两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( )
A．2∶3 B．4∶9
C．∶ D．∶
答案：B
解析：两个球的体积之比为8∶27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为2∶3，从而这两个球的表面积之比为4∶9.故选B.
题型 2 与球有关的切、接问题
例2 若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的表面积和体积．
解析：由题意正方体体对角线长为l＝＝2，球半径为R，即2R＝2，R＝，
所以球表面积为S＝4πR2＝4π×()2＝12π，体积为V＝πR3＝π×()3＝4π.
一题多变1 将本例条件改为“球与棱长为2的正方体的面都相切”，如何求解？
解析：正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图，
∴球的直径是正方体的棱长，即2R＝2，
∴R＝1，
∴球的表面积S＝4π×12＝4π，V＝πR3＝π×13＝π.
一题多变2 将本例条件改为“棱长为a的正四面体的各个顶点均在同一球面上”，如何求解？
解析：方法一 如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的重心，连接BE.
∵棱长为a，∴BE＝a×＝a.
∴在Rt△ABE中，AE＝ ＝a.
设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝a，∴V球＝πR3＝πa3.
方法二 如图，将正四面体放入正方体中，
∵正四面体的棱长为a，
∴正方体的棱长为a，体对角线长为a，
∴球的直径2R＝a，
∴R＝a.
∴V球＝πR3＝πa3.
题后师说
解决与球有关的切、接的策略
跟踪训练2 已知球的内接三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度分别为3 cm，2 cm和 cm，则此球的体积为( )
A．π cm3 B．π cm3
C．π cm3 D．π cm3
答案：D
解析：由题意可得，球的内接三棱锥即三棱锥的外接球即长宽高分别为3 cm，2 cm和 cm的长方体的外接球，
又长方体的体对角线长为外接球的直径，
所以球的半径R＝＝＝2，球的体积为V＝πR3＝π cm3.故选D.
题型 3 与球有关的实际应用问题
例3 如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成的．已知球的直径为8 cm，圆柱筒高为3 cm.
(1)求这种“浮球”的体积；
(2)要在这样的3 000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？
解析：(1)由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，
球体的体积为：V1＝πR3＝π×43＝π cm3.
圆柱体积为：V2＝πR2·h＝π×42×3＝48π cm3.
所以浮球的体积为：V＝V1＋V2＝π＋48π＝π cm3.
(2)上下半球的表面积：S1＝4πR2＝4π×42＝64π cm2.
圆柱侧面积：S2＝2πRh＝2π×4×3＝24π cm2.
所以，1个浮球的表面积为S＝64π＋24π＝88π cm2，
3 000个浮球的表面积为：3 000×88π＝264 000π cm2.
因此每平方厘米需要涂胶0.1克，
共需胶264 000π×0.1＝26 400π克．
学霸笔记：与球有关的实际应用问题一般涉及容积和表面积问题，解题的关键是正确作出截面图，找出其中的等量关系．
跟踪训练3 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )
A． cm3 B． cm3
C． cm3 D． cm3
答案：A
解析：设球的半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面半径为4 cm，球心到截面的距离为(R－2) cm，所以42＋(R－2)2＝R2，解得R＝5，所以球的体积V＝πR3＝π×53＝(cm3)．故选A.
随堂练习
1．若一个球的体积为4π，则它的表面积为( )
A．3π B．12
C．12π D．36π
答案：C
解析：设球的半径为R，依题意有R3＝4π，所以R＝，
所以球的表面积为S＝4πR2＝12π.故选C.
2．把半径分别为6 cm，8 cm，10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为( )
A．11 cm B．12 cm
C．13 cm D．14 cm
答案：B
解析：由题意可得大铁球的体积等于三个小球体积之和，
设大铁球的半径为r，可得πr3＝π(63＋83＋103)，
则r3＝1 728＝123，则r＝12.故选B.
3．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为( )
A． B．3π
C．9π D．27π
答案：A
解析：设正方体的棱长为a，a>0，则6a2＝18，a＝，
正方体的对角线长为＝3，
所以球的直径2R＝3，半径R＝，
所以球的体积为＝.故选A.
4．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为________．
54π
解析：设圆柱的底面半径为r，
球的半径为R.由条件有：R＝r＝3，圆柱的高为2R.
所以圆柱的体积为πr2×2R＝2πr3＝54π.
课堂小结
1．球的表面积和体积．
2．与球有关的切、接问题．
3．与球有关的实际应用问题．
