1.1 锐角三角函数 第2课时 课件（共25张PPT）-北师大版数学九年级下册

北师大版 数学 九年级下册
1.1锐角三角函数
第二课时
学习目标
1、能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.（重点）
2、能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算.（难点）
1.如图，在Rt△ABC中，tan A＝ .
复习回顾
2.可用梯子的倾斜角的 来描述梯子的倾斜程度, 越大，梯子 ．
∠????的对边∠????的邻边=????????????????
?
3.正切也经常用来描述山坡的 .坡度越大,坡面 。
正切值
正切值
越陡
坡度
越陡
如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关，并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切．
∠A的对边
A
B
C
∠A的邻边
┌
斜边
其它边之间的比值也确定吗?梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?
创设情境，引入新知
探究一：正弦、余弦的定义
A
B1
C2
C1
B2
做一做：（1）在上节课的图中，我们知道了△AB1C1∽△AB2C2，
那么 和 有什么关系? 和 呢?
根据相似三角形的对应边成比例，可得
自主合作，探究新知
（2）如果改变B2在梯子AB1上的位置(如B3C3 )，上述结论还成立吗？
A
B1
C2
C1
B2
思考：由此能得到什么结论？
C3
B3
仍然成立，????????????????????????????=????????????????????????????，????????????????????????=????????????????????????.
?
在Rt?AB1C1中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定．
自主合作，探究新知
∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ， 即
正弦、余弦的定义
∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA ， 即
知识要点
A
B
C
c
a
b
∠A的对边
斜边
∠A的邻边
自主合作，探究新知
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数（trigonometric function）.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化.
定义中应该注意的几个问题:
1.sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”号).
3.sinA,cosA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA均﹥0,无单位.
4.sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
知识要点
自主合作，探究新知
例1：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sinA=0.6，求BC的长.
A
B
C
典型例题
解： 在Rt△ABC中，
即
∴ BC=200×0.6=120.
典例解析
例2：如图:在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.
求: sinB,cosB,tanB.
5
5
6
A
B
C
提示:过点A作AD⊥BC于D.
┌
D
典型例题
典例解析
议一议：如图，梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗？
A
结论：梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关.
sinA的值越大,梯子越 ;
cosA的值越 ,梯子越陡.
陡
小
8
10
6
8
10
6
A
探究二：梯子的倾斜程度与正弦、余弦的关系
自主合作，探究新知
AB等于多少呢？sinB呢？
10
┐
A
B
C
做一做：如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,
探究三：正弦、余弦和正切的相互转化
想一想:根据以上计算，你有什么发现？
sinA=cosB.
自主合作，探究新知
如图：在Rt △ABC中，∠C＝90°，
sinA=cosB
知识要点
一个锐角的余弦值等于这个角余角的正弦.
tanA=????????=????????÷????????=????????????????????????????????.
?
自主合作，探究新知
例3：在Rt△ABC中,∠C=90°,????????????????=????????,则cosB的值等于（ ）
A.???????? B.???????? C.???????? D.????????
?
┌
B
C
A
典型例题
B
????????????????=????????????????=????????.
?
典例解析
1.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是(　 　)
D
2.在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是(　　)
A
即学即练，应用知识
┍
┌
A
C
B
D
4.如图, ∠C=90°CD⊥AB.
（1）
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
（2）若BD=6,CD=12.则cosA=______.
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子一定成立的是（　　）
A．sinA=sinB B．cosA=cosB
C．tanA=tanB D．sinA=cosB
D
CDBC
ACAB
ADAC
即学即练，应用知识
5. 在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin ∠ACD,
cos ∠ACD和tan ∠ACD.
A
B
C
D
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90° ,CD是AB上的中线，
∴CD=????????AB,又AD=????????AB,
∴CD=AD=5 ,AB=2CD=10,
∴AC=?????????????????????????=?????????????????????=????,
∴∠ACD=∠A,
?
∴sin∠ACD=sinA=????????????????=????????????=????????,
∴cos∠ACD=cosA=????????????????=????????????=????????,
∴tan∠ACD=tanA=????????????????=????????=????????.
?
即学即练，应用知识
6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B．
解：∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°．又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AMN，
设AC＝3x，AB＝4x．
即学即练，应用知识
锐角三角函数
正弦、余弦的定义
锐角三角函数
锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.
梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系
正弦、余弦和正切的相互转化
sinA的值越大,梯子越陡;
cosA的值越小,梯子越陡.
课堂小结
1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
C.不变 D.不能确定
A
B
C
┌
C
B
当堂达标检测
5.如图：P是边OA上一点，且P点的坐标为（3，4），则cos α =_____,tan α=_______.
x
y
o
3
4
P
α
A
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为_________.
A
当堂达标检测
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB =10，BC＝6，求sinA、cosA、tanA的值．
解：∵
又∵
A
B
C
6
10
当堂达标检测
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=????????,BC=20,求△ABC的周长和面积。
?
B
A
C
20
∴S△ABC=????????×AC×BC=????????×15×20=150.
?
解：∵∠C=90°，sinA=????????, BC=20,
?
∴sinA=????????????????=????????????????=????????，
∴AB=25，
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=?????????????????????????=?????????????????????????=????????,
∴△ABC的周长=15+20+25=60,
?
当堂达标检测
1、教材习题1.2 第1、4题
2、完成练习册中本课时的练习　　　　
作业布置