泸县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某影院有60排座位，每排70个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为15的所有听众60人进行座谈，这是运用了
A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法
2.已知直线l的方程为,则直线的倾斜角为
A. B. C. D.
3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是
A.91.5和91.5 B.91.5和92
C.91和91.5 D.92和92
4.已知椭圆的离心率为，则k的值为
A.4 B. C.4或 D.4或
5.已知，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
6.已知异面直线a，b分别为平面，的垂线，直线m满足，，，，则
A.与相交，且交线与m平行 B.与相交，且交线与m垂直
C.与平行，m与平行 D.与平行，m与垂直
7.柜子里有3双不同的鞋子，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双的概率为
A. B. C. D.
8.若三条直线，，相交于同一点，则点到原点的距离d的最小值是
A. B. C. D.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试成绩统计的折线图如下，则下列说法正确的是
A.若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则
B.若甲、乙两组数据的方差分别为，，则
C.甲成绩的极差大于乙成绩的极差
D.甲成绩比乙成绩稳定
10.下列命题中，正确的是
A.若事件A，B互斥，则
B.若事件A，B为相互独立事件，则
C.若事件A，B，C两两互斥，则
D.若事件A，B，C两两独立，则
11.已知平面上三条直线，，，如果这三条直线将平面划分成六部分，则实数k的可能取值为
A. B.-2 C.-4 D.
12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点.若的最大值为5，则
A.椭圆的短轴长为 B.当最大时，
C.离心率为 D.的最小值为3
第II卷 非选择题（90分）
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.椭圆的长轴长为_________.
14.三个元件a,b,c独立正常工作的概率分别是，,把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒,,中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是__________.
15.已知球O的表面积为，A，B，C，D为球O的球面上的四个点，E，F分别为线段AB，CD的中点．若，且，则直线AC与BD所成的角的余弦值为________．
16.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点，动点满足，（其中和是正常数，且），则的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”.现已知两定点和，是圆上的动点，则的最小值为________
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（10分）已知圆C的圆心在x轴上，且经过点，，
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l过点，且与圆C相切，求直线l方程.
18.（12分）已知的顶点，边BC上的中线所在直线l的方程为，边AB所在直线方程为.求：
(1)点A的坐标；
(2)直线AB关于直线l对称的直线方程.
19.（12分）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．
（1）求AB；
（2）劣弧AB上是否存在M使平面．猜想并证明．
20.（12分）某高校的人学面试中有3道难度相当的题目，甲同学答对每道题目的概率都是0.8，乙同学答对每道题目的概率都是0.7，且甲、乙抽到不同题目能否答对是独立的.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直到第三次答完为止.
（1）求在甲、乙两人第一次答题中只有一人通过面试的概率；
（2）求甲、乙两人都通过面试且甲的答题次数少于乙的答题次数的概率.
21.（12分）如图所示,已知椭圆的两焦点分别为为椭圆上一点,且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在第二象限,,求的面积
22.（12分）著名数学家欧拉提出了如下定理：二角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理.现已知的三个顶点坐标分别为，，，圆E的圆心E在的欧拉线上，且满足，直线被圆E截得的弦长为.
(1)求的欧拉线的方程；
(2)求圆E的标准方程.泸县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题参考答案
1.C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.A 7.C 8.A
9.AD 10.ABC 11.ABD 12.ABD
13.6 14. 15. 16.
17.解：(1)根据题意，圆C的圆心C在x轴上，
设其坐标为，圆C的半径为r，又圆C经过点，，
则有，解可得，
则，则圆C的标准方程为
(2)根据题意，圆C的标准方程为，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C不相切，不符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，
若直线l与圆C相切，且有，解可得：或，
则直线l的方程为或.
18.解：(1)由得则.
(2)设点关于直线l的对称点为，则解得
所以.则直线的方程为，即，
所以直线AB关于直线l对称的直线方程为.
19.解：（1）由题意可知，设，
设上底的面积为，下底的面积为，
则，，
所以，解得，
在中由余弦定理可得，所以；
（2）不存在，证明如下：
证明：过O作OB的垂线交劣弧AB于N，
由（1）可知，所以，
以ON，OB，所在的直线分别为x，y，z轴，建立如
图所示的坐标系，
则，，，，
设，，
则，，，
设平面的法向量为，
由，可得，
因为，所以，
取，则有，
如果平面，则有，
即，
即，矛盾，所以平面不成立，
故劣弧AB上不存在M使平面.
20.解：设事件“甲第一次答对”，事件“乙第一次答对”，
事件“甲第二次答对”，事件“乙第二次答对”，
事件“甲第三次答对”，事件“乙第三次答对”，
事件“甲、乙两人第一次答题中只有一人通过面试”
事件“甲、乙两人都通过面试且甲的答题次数少于乙的答题次数”.
（1）由题意得，，由事件的独立性与互斥性，
可得
所以第一次答题中甲、乙两人只有一人通过面试的概率为0.38.
（2）由题意得，由事件的独立性与互斥性，可得.
所以甲、乙两人都通过面试且甲的答题次数少于乙的答题次数的概率为0.22848.
21.（1）(1)设椭圆的标准方程为,焦距为,
则由已知得,
所以,所以,
所以,
所以椭圆的标准方程为.
(2)在中,.
由余弦定理,得,
即,所以,
所以.
22.解：(1)由A，B，C的坐标，得的重心，即.
，，
边AB的高线所在直线方程为；
边AC的高线所在直线方程为，即.
由得则的垂心.，
则的欧拉线的方程为，即.
(2)设，圆E的半径为r，
，，
，
解得或.当时，，
圆心E到直线的距离，
，解得.
圆E的方程为.当时，，
圆心E到直线的距离，
，解得.
圆E的方程为.
综上所述，圆E的标准方程为或.
