2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷（二）
学生版
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、单选题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“a+b＜0”是“a＜0，b＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．充要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知=（-2,1），=（x，-2），若∥，则x=（ ）
A．1 B．-1 C．4 D．-4
3．函数（e为自然对数的底数在［-2,2］的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知=42+3，则=（ ）．
A．2-2+4 B．2+2 C．2-2-1 D．2+2+4
5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球
6．已知a=，b=，c=，，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
7．命题“x＜0，x2+2x-m＞0”的否定是（ ）
A．x＜0，x2+2x-m＞0 B．x≤0，x2+2x-m＞0
C．x＜0，x2+2x-m≤0 D．x＜0，x2+2x-m≤0
8．已知角α是第一象限角，cosα= ，则cos（α+）=（ ）
A． B． C． D．
9． 已知正实数m，n满足m+n=1，则+的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，=（ ）
A． 60 B． 30 C． 20 D． 10
11．已知复数z=1+i2+i3+i4，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．设全集U=R，M={x｜x2＞4}，N={x｜ ≤1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．{x｜x＜2} B．{x｜-2≤x≤2} C．{x｜1＜x≤2} D．{x｜-2≤x＜1}
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
13．tan - sin = .
14．已知函数，则= .
15．已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 .
16．已知复数z=m2-（1-i）m为纯虚数，则m= .
17．设一组样本数据x1，x2，...，xn的平均数是3，则数据2x1+1，2x2+1，...，2xn+1的平均数为 .
18．在△ABC中，N是AC边上一点，且=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为 ．
三、解答题：本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
19．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=．
（1）求AB长度；
（2）求sin∠BAD的值．
20．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市 18～68岁的人群抽取一个容量为 n的样本，并将样本数据分成五组： ［18,28）， ［28,38）， ［38,48）， ［48,58），［58,68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示.
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例
第1组 ［18,28） 5 0.5
第2组 ［28,38） 18 a
第3组 ［38,48） 27 0.9
第4组 ［48,58） x 0.36
第5组 ［58,68） 3 0.2
（1）分别求出 a，x的值；
（2）从第 2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖概率.
21．经市场调查，东方百货超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格f（t）与时间（天）的函数关系近似满足f（t）=100（1+），销售量g（t）与时间（天）的函数关系近似满足g（t）=
（1）试写出该商品的日销售金额W（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额W（t）的最大值与最小值．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）求证：AB∥EF．2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷（二）
教师版
考试时间：120分钟 满分：150分
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、单选题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“a+b＜0”是“a＜0，b＜0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．充要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解：当a=1＞0，b= - 2＜0时，有a+b = -1＜0 ， 当 a＜0，b＜0， 有a+b＜0，因此“a+b＜0 ”是“a＜0，b＜0”的必要而不充分条件.
故答案为：C.
【分析】根据充分必要条件的定义及不等式的运算性质即可得解.
2．已知=（-2,1），=（x，-2），若∥，则x=（ ）
A．1 B．-1 C．4 D．-4
【答案】C
【解析】解：∵∥ ，
∴（-2）×（-2）=x ， 即x=4.
故选：C.
【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求出答案．
3．函数（e为自然对数的底数在［-2,2］的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：由题，f(x)的定义域为R，= ，
所以f(x)是偶函数，故排除AC，
又 ＞0， 故排除D.
故答案为：B.
【分析】利用函数的奇偶性结合特殊点的函数值判断即可.
4．已知=42+3，则=（ ）．
A．2-2+4 B．2+2 C．2-2-1 D．2+2+4
【答案】D
【解析】
令t=2x-1，则x= ，则=4（）2+3=t2+2t+4， 所以=x2+2x+4.
故答案为：D.
【分析】利用换元法求解函数解析式.
5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球
C．恰有一个黑球与恰有两个黑球 D．至少有一个黑球与至少有一个红球
【答案】C
【解析】解：根据题意，记2个红球分别为A、B，2个黑球分别为a，b，则从这4个球中任取2个球的总基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：
A、都是黑球的基本事件为ab， 至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 两个事件有交事件ab， 所以不为互斥事件，故A错误；
B、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是红球的基本事件为AB， 两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；
C、恰有两个黑球的基本事件为ab， 恰有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；
D、至少有一个黑球的基本事件为Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 至少有一个红球的基本事件为AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 两个事件不是互斥事件，故D错误.
故答案为：C.
【分析】先写出从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球所包含的基本事件，再根据选项写出各事件的基本事件，利用互斥事件与对立事件的定义判断即可.
6．已知a=，b=，c=，，则（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【答案】A
【解析】a= ＜ =0；0＜＜b=＜=1；c=＞=1 ，
所以a＜b＜c.
故答案为：A
【分析】利用对数函数的单调性得到a＜0 ， 0＜b＜1， c＞1， 得到答案.
7．命题“x＜0，x2+2x-m＞0”的否定是（ ）
A．x＜0，x2+2x-m＞0 B．x≤0，x2+2x-m＞0
C．x＜0，x2+2x-m≤0 D．x＜0，x2+2x-m≤0
【答案】C
【解析】解：命题“x＜0，x2+2x-m＞0”是特称命题，
特称命题“x＜0，x2+2x-m＞0”的否定是“x＜0，x2+2x-m≤0”.
故答案为：C.
【分析】根据特称命题的否定的概念判断即可求解.
8．已知角α是第一象限角，cosα= ，则cos（α+）=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：因为角α是第一象限角，cosα= ，
所以sinα= = ，
所以cos（α+）=cosαcos - sinαsin =
故答案为：B.
【分析】先利用平方关系得到sinα， 再利用两角和的余弦公式展开计算可得答案.
9． 已知正实数m，n满足m+n=1，则+的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】解：（+）2=m+n+2=1+2，
∵m+n≥2，
∴1≥2，
∴（+）2≤2，
∴ +≤
故答案为：B.
【分析】根据不等式m+n≥2的性质求解即可.
10．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，=（ ）
A． 60 B． 30 C． 20 D． 10
【答案】D
【解析】解：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点A1到平面BC的距离为，
∴= S△BCD = ×（×3×5）×4=10
故答案为：D
【分析】根据正方体的性质，求得点A1到平面BC的距离为，再利用棱锥的体积公式，即可求解.
11．已知复数z=1+i2+i3+i4，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】解：因为复数z=1+i2+i3+i4=1-i， 所以z=（1，-1）在复平面内对应的点位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】先化简复数 ， 再利用复数的几何意义可得z在复平面内对应的点位于第四象限.
12．设全集U=R，M={x｜x2＞4}，N={x｜ ≤1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．{x｜x＜2} B．{x｜-2≤x≤2} C．{x｜1＜x≤2} D．{x｜-2≤x＜1}
【答案】D
【解析】解：集合M={x｜x＞2或x＜-2}，N={x｜x＜1或x≥3}，所以CUM={x｜-2≤x≤2}，则图中阴影部分所表示的集合是N∩CUM={x｜-2≤x＜1}.
故答案为：D.
【分析】先分别接不等式求集合M，N，从而求图中阴影部分所表示的集合.
二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
13．tan - sin = .
【答案】 -
【解析】tan - sin =tan（π+）- = tan - = -1 - = -
故答案为：- 。
【分析】利用已知条件结合诱导公式得出tan - sin的值。
14．已知函数，则= .
【答案】9
【解析】解：因为 = -3，所以===2， ==32=9
故答案为：9
【分析】直接根据分段函数解析式代入求值.
15．已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 .
【答案】π
【解析】解：如图所示，
由题意知圆锥的底面半径为r=1，高为h=1；
则圆锥的母线长为l==，
所以该圆锥的侧面积为 πrl=π
故答案为π
【分析】由题意知圆锥的底面半径为r=1，高为h=1，求得母线长为l=，结合圆锥的侧面积公式，即可求解.
16．已知复数z=m2-（1-i）m为纯虚数，则m= .
【答案】1
【解析】解：因为复数z=m2-（1-i）m=m2-m+mi为纯虚数，
所以 ， 解得m=1.
故答案为：1.
【分析】根据纯虚数的概念， 列式求解即可.
17．设一组样本数据x1，x2，...，xn的平均数是3，则数据2x1+1，2x2+1，...，2xn+1的平均数为 .
【答案】7
【解析】∵样本数据x1，x2，...，xn的平均数是 = 3，
∴数据2x1+1，2x2+1，...，2xn+1的平均数 = 2 +1 = 7
故答案为：7
【分析】首先由平均数公式计算出结果，再由题意计算出结果即可。
18．在△ABC中，N是AC边上一点，且=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为 ．
【答案】
【解析】解： ∵=， ∴=，∴=m+=m+， ∵B，P，N三点共线，∴m+ =1，∴m=
故答案为：.
【分析】由=得= ， 结合B，P，N三点共线求解实数m的值.
三、解答题：本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
19．如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC的延长线上，且BC=2CD，AD=．
（1）求AB长度；
（2）求sin∠BAD的值．
【答案】
解：设AB=x，∵BC=2CD，∴BD=，在△ABD中，AD=，由余弦定理知：AB2+BD2-2AB●BDcos∠ABD=AD2，∴x2+（）2-2x●cos60°=7，解得x=2，即AB=2；
（2）解：由（1）可得：BD=3，
在△ABC中，由正弦定理知： = ，∴ = ，，
解得：sin∠BAD=
【分析】(1)首先设出边的大小再由余弦定理，计算出边的大小即可。
(2)由(1)的结论把边的大小代入到正弦定理，由此计算出答案。
20．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市 18～68岁的人群抽取一个容量为 n的样本，并将样本数据分成五组： ［18,28）， ［28,38）， ［38,48）， ［48,58），［58,68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示.
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例
第1组 ［18,28） 5 0.5
第2组 ［28,38） 18 a
第3组 ［38,48） 27 0.9
第4组 ［48,58） x 0.36
第5组 ［58,68） 3 0.2
（1）分别求出 a，x的值；
（2）从第 2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖概率.
【答案】
（1）解：第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以a=18÷20=0.9，第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9
（2）解：第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1 人
（3）解：记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．
其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．
∴P（A）= = ．
所以抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为
【分析】（1）先求出第1组人数为10，由此能求出a，x的值．
（2）第2，3，4组回答正确的人数的比为18：27：9=2：3：1，由此能求出第2，3，4组每组应各依次抽取的人数．
（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2 组的设为a1 ， a2 ， 第3组的设为b1 ， b2 ， b3 ， 第4组的设为c，利用列举法求出从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，再利用列举法求出第2组至少有1人的情况有9种，由此能求出所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
21．经市场调查，东方百货超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格f（t）与时间（天）的函数关系近似满足f（t）=100（1+），销售量g（t）与时间（天）的函数关系近似满足g（t）=
（1）试写出该商品的日销售金额W（t）关于时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数表达式；
（2）求该商品的日销售金额W（t）的最大值与最小值．
【答案】
（1）解：当1≤t＜25时，W（t）=g（t）f（t）=100（100+t） （1+）=100（t+101+）；
当25≤t≤30时， W（t）=g（t）f（t）=100（150-t） （1+）=100（149+ - t）；
所以W（t）= （t∈N）
（2）解：（i）当1≤t＜25时，由双勾函数的性质知 W（t）=100（t+101+）在区间[1，10]上单减，在区间[10，25）上单增，因为W（10）=12100，W（1）=20200，W（25）=13000，所以当t=10时，W（t）最小值为12100，当t=1时，W（t）最大值为20200
（ii）当25≤t≤30时，W（t）=100（149+ - t），y= 和y=﹣t在[25，30]单减，则W（t）在区间[25，30]单减，W（t）max=W（25）=13000，W（t）min=W（30）=12400
综上，当t=1时，W（t）最大值为20200；当t=10时，W（t）最小值为12100
【分析】1、由题意可得当1≤t＜25时， W ( t ) = g ( t ) f ( t ) = 100 ( 100 + t ) ( 1 + ) = 100 ( t + + 101 ) ；当25≤t≤30时， W ( t ) = g ( t ) f ( t ) = 100 ( 150 t ) ( 1 + 1 t ) = 100 ( t + 149 )，综合两种情况得函数的解析式。
2、根据函数的单调性可得最值，当1≤t＜25时，由双勾函数的性质知 W ( t）在区间[1，10]上单减，在区间[10，25）上单增，因为W（10）=12100，W（1）=20200，W（25）=13000，当25≤t≤30时， W ( t )在[25，30]单减，则W（t）在区间[25，30】减，W（t）max=W（25）=13000，W（t）min=W（30）=12400。当t=1时，W（t）最大值为20200；当t=10时，W（t）最小值为12100。
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥CD，CD⊥AC，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）求证：AB∥EF．
【答案】
（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴CD⊥PC，
∵CD⊥AC，PC∩AC=C，
∴CD⊥平面PAC．
（2）∵AB∥CD，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F，
且平面CDEF∩平面PAB=EF，
又CD 平面PAB，AB 平面PAB，
∴CD∥平面PAB，∴CD∥EF，
∴AB∥EF．
【分析】（1）证明直线垂直于平面，证这条直线与该平面内两条不相交的直线垂直即可；（2）平行的传递性在空间几何中仍成立.
