课时训练4 二项式定理
一、选择题
1.·2n+·2n-1+…+·2n-k+…+等于( ).
A.2n B.2n-1 C.3n D.1
答案:C
解析:原式=(2+1)n=3n.
2.(1-i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为( ).
A.-210 B.210 C.-120i D.-210i
答案:A
解析:由通项公式得T7=·(-i)6=-=-210.
3.展开式中x3的系数为10,则a的值等于( ).
A.-1 B. C.1 D.2
答案:D
解析:展开式的通项公式Tr+1=·x5-r·=ar·x5-2r,
令5-2r=3,则r=1.
∵x3的系数为10,∴a=10.∴a=2.
4.(2012安徽高考)(x2+2)的展开式的常数项是( ).
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案:D
解析:的通项为Tr+1=(-1)r=(-1)r.要使(x2+2)的展开式为常数,须令10-2r=2或0,此时r=4或5.故(x2+2)·的展开式的常数项是(-1)4×+2×(-1)5×=3.
5.若x+x2+…+xn能被7整除,则x,n的值可能为( ).
A.x=5,n=5 B.x=5,n=4
C.x=4,n=4 D.x=4,n=3
答案:B
解析:x+x2+…+xn=(1+x)n-1,检验得B正确.
6.(2014内蒙古鄂尔多斯高三下学期模拟考试)在的展开式中x3的系数等于-5,则该展开式各项的系数中最大值为( ).
A.5 B.10 C.15 D.20
答案:B
解析:展开式的通项为Tr+1=x5-r=(-a)rx5-2r,令5-2r=3,则r=1,所以-a×5=-5,即a=1,故系数最大值应该为=10,故选B.
7.(2014四川高考)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( ).
A.30 B.20 C.15 D.10
答案:C
解析:含x3的项是由(1+x)6展开式中含x2的项与x相乘得到,又(1+x)6展开式中含x2的项的系数为=15,
故含x3项的系数是15.
二、填空题
8.(2014广东梅州高三3月总复习质检)(2x-1)5的展开式x3项的系数是 .(用数字作答)?
答案:80
解析:根据二项式定理可得(2x-1)5的第n+1项展开式为(2x)n(-1)5-n,则n=3时,得到展开式x3项为(2x)3(-1)2=80x3,所以系数为80.
9.(2012浙江高考)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3= .?
答案:10
解析:由x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5可得,
可解得
10.(2014课标全国Ⅰ高考)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案)?
答案:-20
解析:(x+y)8的通项公式为Tr+1=x8-ryr(r=0,1,…,8,r∈Z).
当r=7时,T8=xy7=8xy7,当r=6时,T7=x2y6=28x2y6,
所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.
三、解答题
11.利用(a+b)n的二项展开式解题.
(1)求二项式(a+2b)4的展开式;
(2)展开.
解:(1)根据二项式定理(a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn,得(a+2b)4=a4+a3(2b)+a2(2b)2+a(2b)3+(2b)4
=a4+8a3b+24a2b2+32ab3+16b4.
(2)(2x)5+(2x)4·(2x)3(2x)2(2x)
=32x5-120x2+.
12.(2014重庆一中高二下学期期中考试)在(3-x)20(x∈R,x≠0)的展开式中,已知第2r项与第r+1项(r≠1)的二项式系数相等.
(1)求r的值;
(2)若该展开式的第r项的值与倒数第r项的值的相等,求x的值.
解:(1)由题意知,
即2r-1=r或2r-1=20-r,解得r=7或r=1(舍去).
故r的值为7.
(2)Tr=·321-r·(-x)r-1,
当r=7时,T7=·314·x6,
倒数第7项,即T15=·36·x14,
由题意·314·x6=··36·x14,
解得x=±6.
13.已知在的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
解:(1)通项公式为
Tk+1=(-3)k(-3)k.
∵第6项为常数项,
∴k=5时有=0,即n=10.
(2)令=2,得k=(n-6)=2,
因此所求的系数为(-3)2=405.
(3)根据通项公式,
由题意得
令=r(r∈Z),
则10-2k=3r,即k=5-r.
∵k∈Z,∴r应为偶数.
于是r可取2,0,-2,即k可取2,5,8.
故第3项,第6项与第9项为有理项,它们分别为(-3)2x2,(-3)5,(-3)8x-2.
