第二章 随机变量及其分布
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量
课时训练6 离散型随机变量
一、选择题
1.抛掷一枚质地均匀的硬币一次,随机变量为( ).
A.掷硬币的次数
B.出现正面向上的次数
C.出现正面向上或反面向上的次数
D.出现正面向上与反面向上的次数之和
答案:B
解析:出现正面向上的次数为0或1,是随机变量.
2.下列随机变量是离散型随机变量的是( ).
①抛5颗骰子得到的点数和;
②某人一天内接收到的电话次数;
③某地一年内下雨的天数;
④某机器生产零件的误差数.
A.①②③ B.④
C.①④ D.②③
答案:A
解析:由离散型随机变量的定义知①②③均是离散型随机变量,而④不是,由于这个误差数几乎都是在0附近的实数,无法一一列出.
3.已知下列随机变量:
①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;
②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;
③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X;
④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.
其中X是离散型随机变量的是( ).
A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.③④
答案:C
解析:③中X的值可在某一区间内取值,不能一一列出,故不是离散型随机变量.
4.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取得黑球,则另换一个红球放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放回5个球”的事件为( ).
A.X=4 B.X=5 C.X=6 D.X≤4
答案:C
解析:第一次取到黑球,则放回1个球,第二次取到黑球,则放回2个球……共放了五回,第六次取到了红球,试验终止,故X=6.
5.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( ).
A.第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B.第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C.前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D.前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
答案:D
6.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为( ).
A.20 B.24 C.4 D.18
答案:B
解析:由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有=24(种).
二、填空题
7.在考试中,需回答三个问题,考试规则规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是 .?
答案:-300,-100,100,300
解析:若答对0个问题得分-300;
若答对1个问题得分-100;
若答对2个问题得分100;
若问题全答对得分300.
8.一袋中装有5个同样的球,编号依次为1,2,3,4,5,从该袋中随机取出3个球.记三个球中最小编号为ξ,则“ξ=3”表示的试验结果是 .?
答案:取出编号为3,4,5的三个球
9.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取一件,取到次品就停止,取后不放回,抽取次数为X,则“X=3”表示的试验结果是 .?
答案:前两次均取到正品,第三次取到次品
三、解答题
10.写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果:
(1)盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数ξ;
(2)从4张已编号(1~4号)的卡片中任意取出2张,被取出的卡片号数之和ξ.
解:(1)ξ可取0,1,2,3.
ξ=i表示取出i支白粉笔,3-i支红粉笔,其中i=0,1,2,3.
(2)ξ可取3,4,5,6,7.
其中ξ=3表示取出编号为1,2的两张卡片.
ξ=4表示取出编号为1,3的两张卡片.
ξ=5表示取出编号为2,3或1,4的两张卡片.
ξ=6表示取出编号为2,4的两张卡片.
ξ=7表示取出编号为3,4的两张卡片.
11.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;
(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后不管结果都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判定η的随机变量类型.
解:(1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3
个黑球
取得1个
白球2个
黑球
取得2个
白球1个
黑球
取得3
个白球
(2)由题意可得η=5ξ+6,而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3},则η对应的各值是5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6,
故η的可能取值为{6,11,16,21},显然η为离散型随机变量.
12.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示?若能,请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果.
(1)离开天安门的距离η;
(2)袋中有大小完全相同的红球5个,白球4个,从袋中任意取出一球,若取出的球是白球,则过程结束;若取出的球是红球,则将此红球放回袋中,然后重新从袋中任意取出一球,直至取出的球是白球,此规定下的取球次数ξ.
解:(1)η可取[0,+∞)中的数.η=k表示离开天安门的距离为k(km).不是离散型随机变量.
(2)ξ可取所有的正整数.
{ξ=i}表示前i-1次取出红球,而第i次取出白球,这里i∈N*.
课件28张PPT。目标导航预习导引目标导航预习导引目标导航预习导引问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测x1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测x课时训练7 离散型随机变量的分布列
一、选择题
1.设某项试验的成功概率是失败概率的2倍,用随机变量X描述一次试验成功与否(记X=0为试验失败,记X=1为试验成功),则P(X=0)等于( ).
A.0 B. C. D.
答案:C
解析:设试验失败的概率为p,则2p+p=1,
故p=.
2.已知随机变量X的分布列为
X
0
1
P
9c2-c
3-8c
则常数c的值为( ).
A. B.
C. D.以上答案都不对
答案:A
解析:由离散型随机变量的分布列的性质知9c2-c+3-8c=1,即c=.
又∵∴c=.
3.设随机变量ξ等可能取值1,2,3,…,n,如果P(ξ<4)=0.3,那么( ).
A.n=3 B.n=4 C.n=10 D.n=9
答案:C
解析:由ξ<4知ξ=1,2,3,
所以P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.3=,
解得n=10.
4.设随机变量X的分布列如下,则下列各项中正确的是( ).
X
-1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.1
0.2
0.4
A.P(X=1.5)=0 B.P(X>-1)=1
C.P(X<3)=0.5 D.P(X<0)=0
答案:A
解析:由分布列知X=1.5不能取到,故P(X=1.5)=0,正确;而P(X>-1)=0.9,P(X<3)=0.6,P(X<0)=0.1.故A正确.
5.(2014河北邢台一中高二下学期第一次月考)一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为( ).
A. B. C. D.
答案:C
解析:从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,当盒中旧球的个数为X=4时,相当于旧球的个数在原来3个的基础上增加了1个,所以取出的3个球中只有一个新球即取出的3个球中有2个旧球1个新球,所以P(X=4)=,故选C.
6.若随机变量ξ只能取两个值x1和x2,又知ξ取x1的概率是取x2的概率的3倍,则ξ的概率分布列为( ).
A.
ξ
x1
x2
P
B.
ξ
x1
x2
P
C.
ξ
x1
x2
P
D.
ξ
x1
x2
P
答案:A
解析:由分布列的性质知P(ξ=x1)+P(ξ=x2)=1.
又∵由已知P(ξ=x1)=3P(ξ=x2),
∴4P(ξ=x2)=1.∴P(ξ=x2)=.
∴P(ξ=x1)=.
故ξ的概率分布列为
ξ
x1
x2
P
7.一个盒子里装有相同大小的黑球10个,红球12个,白球4个,从中任取两个,其中白球的个数记为ξ,则下列概率中等于的是( ).
A.P(0<ξ≤2) B.P(ξ≤1)
C.P(ξ=2) D.P(ξ=1)
答案:B
解析:由已知得ξ的可能取值为0,1,2.
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=.
故P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=.
二、填空题
8.(2014江苏实验中学高二下学期期中考试)设随机变量X的分布为P(x=i)=a·,i=1,2,3,则a的值为 .?
答案:
解析:由随机变量分布列的性质得a·+a·+a·=1,所以a的值为.
9.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=1,2,3,c为常数,则P(0.5<ξ<2.5)= .?
答案:
解析:由概率和为1,得1=cc,
即c=.
∵P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,
∴P(0.5<ξ<2.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=.
10.某学校从4名男生和2名女生中任选3人作为参加两会的志愿者,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P(ξ≤1)= .?
答案:
解析:由题意可知ξ的可能取值为0,1,2,且ξ服从超几何分布,即P(ξ=k)=,k=0,1,2,
故P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)
=.
三、解答题
11.某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力,求X的分布列.
解:由题意知X服从超几何分布.
其中,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,P(X=i)=(i=0,1,2,3,4),故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
12.袋中有1个白球和4个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回,直到取出白球为止.求取球次数X的概率分布列.
解:X的可能取值为1,2,3,4,5,则
第1次取到白球的概率为P(X=1)=.
第2次取到白球的概率为P(X=2)=.
第3次取到白球的概率为P(X=3)=.
第4次取到白球的概率为P(X=4)=.
第5次取到白球的概率为P(X=5)=.
所以X的分布列是
X
1
2
3
4
5
P
13.(2014北京朝阳区高三上学期期末考试)甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试,在相同测试条件下,两人5次测试的成绩(单位:分)如下表:
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
58
55
76
92
88
乙
65
82
87
85
95
(1)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图.你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算);
(2)若从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中,90分以上的个数为X,求随机变量X的分布列.
解:(1)茎叶图如图所示,由图可知,乙的平均成绩大于甲的平均成绩,且乙的方差小于甲的方差,因此选乙参赛更好.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
课件38张PPT。目标导航预习导引目标导航预习导引目标导航预习导引xx目标导航预习导引xx目标导航预习导引目标导航预习导引x问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测x问题导学当堂检测问题导学当堂检测xx问题导学当堂检测问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测x问题导学当堂检测1 2 3 4 5xx问题导学当堂检测1 2 3 4 5x1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx1 2 3 4 5问题导学当堂检测xx
