深圳市盐田区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C B D A A D
题号 9 10 11 12
答案 BCD ACD AD ABC
13． 14． 15． 16．
4．B【详解】因为直线恒过点，直线与坐标轴的交点分别为;直线的斜率，此时倾斜角为；
直线的斜率不存在，此时倾斜角为. 所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：B.
6．A【详解】，
则点到直线的距离.故选：A
7．A【详解】，令，则，所以直线过定点，
当得，则在圆内，则直线与圆必有两交点，
因为圆心到直线的距离，所以．
D【详解】①将方程中的换成，换成，方程不变；②将方程中的换成，换成，方程不变，或者将方程中的换成，换成，方程不变.③，故不封闭④联立方程，无解，故无公共点⑤当时，联立曲线C与只有一解，由对称性，有四个交点，构成正方形.故选：D．
10．ACD【详解】“”是直线与直线互相垂直的充分不必要条件，故A错误，直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为，故B正确, C显然错误，
D选项，当倾斜角时，此时无意义，不能用表示，D错误
11．AD 【详解】对于A选项，直线 ，所以，令，解得，所以直线恒过定点，故A正确.
对于B选项，当时，直线为：，则圆心到直线的距离为，，所以圆上只有2个点到直线的距离为，故B选项错误.
对于C，因为直线过定点，所以，所以定点在圆内，则直线与圆有两个交点.对于D选项，由圆的方程可得，，所以圆心为，半径为，因为两圆有三条公切线，所以两圆的位置关系为外切，则，解得，故D选项正确.故选：AD
12．ABC【详解】如图所示，联结，N点是的中点，P点是的中点，
则，故与所成角即与所成角，即，
又，则，故A正确；
，同理知，又，
则三棱锥为棱长为的正四面体，则易知点到平面的距离为，故B正确；
易知，则，平面MNP，即平面MNP，
又点是线段上的动点，则点到平面MNP的距离为定值，且与点到平面MNP的距离相等，而M为的中点，则点到平面MNP的距离与点到平面MNP的距离相等，为，
故三棱锥的体积，故C正确；
在正方体中，易知平面，则直线与平面所成角即为，
，又，
则取最大值时，取最小值为a，此时，故D错误；
16． 【详解】取椭圆的右焦点，连接，，由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形，
则，，
又 ，而，所以，所以，
在中，，
整理，得，即，又，所以.
17．【详解】（1）直线的斜率为，因此边上的高所在直线的斜率为，
所以边上的高所在直线的方程为：.………………4分
（2）直线的方程为，即，………………5分
于是点到直线的距离为：，而，………………8分
所以的面积.………………10分
18．【详解】（1）证明：取中点，连接、，因为、分别为、的中点，则且，因为四边形为矩形，则且，因为为的中点，所以，且，
所以，且，故四边形为平行四边形，故，…………4分
因为平面，平面，因此，平面.………………6分
（2）（用等体积法也给分）解：因为平面，底面为矩形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴
建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，………………7分
设平面的法向量为，，，
则，令，可得，………………9分
因为，故点到平面的距离为.…………12分
19．【详解】（1）已知的圆心是，半径是，设直线斜率为
则直线方程是，即，………………2分
则圆心到直线距离为，解得直线的斜率.………………5分
（2）设点则，由点是的中点得，所以①………………8分
因为在圆上运动，所以②，①代入②得，………………10分
化简得点的轨迹方程是.………………12分
写成：或也给分
20．【详解】（1）设，由得，
即，整理得①.………………6分
（2），设中点为D, 则D坐标为，………………8分
所以以为直径的圆的方程为，且圆D过S和T点，………………10分
即②，①-②并整理得直线的方程为.………………12分
21．【详解】（1）如图：以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，则，，，，
，，………………2分
因为，所以，可得.……………5分
（2），
当且仅当即时最大，所以当 分别为，中点时体积最大， ………7分
设面的法向量为，，，，
由，令可得，，所以面的法向量为，…9分
设与面所成角为，则，………11分
则与面所成角的正弦值为………………12分
【详解】（1）由题意得，………………2分
解得，所以椭圆的方程为，………………4分
（2）设，联立直线和椭圆方程可得：，
消去可得：，所以，
即，则，………………6分
， ，
把韦达定理代入可得：，
整理得，………………8分
又，
而点到直线的距离，
所以，………………10分
把代入，则，可得是定值1.……………12分深圳市盐田区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知向量，，若，则（ ）
A． B．4 C．或1 D．4或
2．椭圆的焦距为（ ）
A．8 B． C．4 D．
3．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．条 B．条 C．条 D．条
4．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四面体OABC中，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线和圆交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2
关于曲线，下面结论正确是（ ）
①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于；④曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；⑤曲线与曲线有4个交点，这四点构成正方形.
A．①②④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
10．下列说法错误的是（ ）
A．“”是直线与直线互相垂直的充要条件
B．若直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为
C．直线在y轴上的截距为3
D．经过点，倾斜角为的直线方程为
11．已知圆 ，直线，则（ ）
A．直线恒过定点
B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1
C．直线与圆仅有一个交点
D．若圆与圆 恰有三条公切线，则
12．如图，正方体的棱长为，点分别是平面 平面 平面的中心，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．与所成角为
B．点到平面的距离为
C．三棱锥的体积为定值
D．直线与平面所成角的正切值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围是 .
14．若直线与直线平行，则这两平行线间距离为 .
15．如图在平行六面体中，，，则的长是 ．
已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率 ．
四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（10分）已知的三个顶点分别为．
(1)求边上的高所在直线的方程；
(2)求的面积．
18（12分）如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
19（12分）已知圆，直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的斜率；
(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
20（12分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆.
(1)求圆的方程；
(2)过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程.
21（12分）如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且.
(1)求证：；
(2)当三棱锥的体积取得最大值时，求与面所成角的正弦值.
22（12分）已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点,直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.
