贵溪市2024届高三上学期期中考试
数学试题
第Ⅰ卷（共80分）
一．单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.
1．集合的实部为0}，，，i为虚数单位，则为（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面和两直线，且. 则添加下列条件中的（ ），可以得到结论.
A． B． C． D．
3．二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（参考数据：，）（ ） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年
4．将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ） A． B． C． D．
5．青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一．如图1，这是一个青花瓷圆盘．该圆盘中的两个圆的圆心重合，如图2，其中大圆半径，小圆半径，点在大圆上，过点作小圆的切线，切点分别是，，则（ ）
A． B． C．4 D．5
6．已知数列是公比不等于的等比数列，若数列，，的前2023项的和分别为m，，20，则实数m的值（ ） A．只有1个 B．有2个 C．无法确定 D．不存在
7．已知的外接圆面积为，三边成等比数列，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C．8 D．4
8．若，则以下不等式成立的是（其中e为自然对数的底）（ ）
A． B． C． D．
二．多项选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若数列为等差数列，则
C．若，，且，则的最小值为9
D．命题“，”的否定为“，”
10．已知方程有两个不相等的实数根，，其中，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列满足，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则下列说法正确的是（ ）
A．该多面体的表面积为 B．该多面体的体积为
C．该多面体的平行平面间的距离均为 D．过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为
三．填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13．已知向量，且，则 .
14．对于数列{an}，使数列{an}的前k项和为正整数的k的值叫做“幸福数”．已知，则在区间[1，2021]内的所有“幸福数”的个数为 ．
15．已知常数、、，函数的图象如图所示，则、、的大小关系用“”可以表示为 .
16．欲将一底面半径为，体积为的圆锥体模型打磨成一个圆柱体和一个球体相切的模具，如图所示，则打磨成的圆柱体和球体的体积之和的最大值为 ．
第Ⅱ卷（共70分）
四．解答题:本题共6小题，共70分.
17．函数.
(1)求函数在单调减区间；
(2)将的图象先向右平移个单位，再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.当时，求的值域.
18．已知公差不为零的等差数列和等比数列，满足，，．
(1)求数列、的通项公式：
(2)记数列的前n项和为．若表示不大于m的正整数的个数，求．
19.如图，在水平桌面上放置一块边长为的正方形薄木板.先以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小为.再以木板的边为轴，将木板向上缓慢转动，得到平面，此时的大小也为.
（1）求整个转动过程木板扫过的体积；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
试卷第1页，共3页
20．某猎人发现在距离他100米处的位置有一只猎物，如果直接射击，则只射击一次就击中猎物的概率为，为了有更大的概率击中猎物，猎人准备多次射击.假设每次射击结果之间相互独立，猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比.
(1)如果猎人第一次射击没有击中药物，则猎人经过调整后进行第二次射击，但由于猎物受到惊吓奔跑，使得第二次射击时猎物和他之间的距离增加了50米；如果第二次射击仍然没有击中猎物，则第三次射击时猎物和他之间的距离又增加了50米，如此进行下去，每次射击如果没有击中，则下一次射击时猎物和他之间的距离都会增加50米，当猎人击中猎物或发现某次射击击中的概率小于时就停止射击，求猎人停止射击时射击次数的概率分布列与数学期望.
(2)如果猎人直接连续射击，由于射击速度很快，可以认为在射击期间猎物和猎人之间的距离保持不变，如果希望至少击中猎物一次的概率超过98%，至少要连续射击多少次
附:.
21．已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l的斜率为k，建立相应数量关系并利用它求最值）.
22．对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”.
(1)若，求函数的“笃志点”；
(2)已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围；
试卷第1页，共3页贵溪市2024届高三上学期期中考试数学试题参考答案：
1．A则，，所以，
2．A【详解】对于选项A：由，，可得，故A正确；
对于选项B：由，，可得，故B错误；
对于选项B：由，，可得，故C错误；
对于选项D：由，，可得或相交或异面，故D错误；
3．A【详解】由题意大约能用万年，
则，
所以，
4．D【详解】向左平移，
得，
当时，，
因为在上单调递减，所以，解得，又，故.
5．B【分析【详解】由题意可知：，，
因为为切线，所以，如图，
由勾股定理可得：，所以,
由，，
过，
所以，
6．B 【详解】是公比不等于的等比数列，
则数列，都是公比不为1的等比数列，前者公比为，后者公比为.
设的公比为q，则，，，
观察可知：，即，所以或.
7．A【详解】由外接圆面积为，则外接圆半径，则，
由三边成等比数列，不妨设，而，
当且仅当时等号成立，又，所以，
的面积，
所以的面积的最大值为，此时为等边三角形.
8．A【详解】可知，
设，，当时，，为增函数，
所以，即，
对选项A：，正确；
对选项B：，即，错误；
对选项C：，则，错误；
对选项D：，错误．
9．BC
10．CD
【详解】方程有两个不相等的实数根，，，，
则，，
，解得.
对选项A：，即，，错误；
对选项B：，，错误；
对选项C：，即，正确；
对选项D：，正确；
11.AD
12．ABD故该多面体的表面积为，故A正确；
该多面体的体积为原正方体的体积去掉8个相同的三棱锥的体积，注意到该多面体的原正方体边长为，所以，故B正确；
对于选项C，若该多面体平行平面为上下两个正方形所在的平面，则平行平面间的距离为；
若该多面体平行平面为两个正三角形所在的平行平面，
如图，
不妨记正方体为，，，
故是平行四边形，所以，
又E，Q分别为，的中点，所以，同理，
所以，平面，平面，
所以平面，同理平面，
又，平面，所以平面平面，
设对角线分别交平面和平面于点，
因为，，平面，
所以平面，又平面，所以，同理，
又，平面，所以平面，
又平面平面，所以平面，
即为平面与平面的距离，则,
由正方体边长为得，根据，
则，解得，
根据对称性知，
所以，
此时平面EMQ与平面BCG的距离为，即两个正三角形所在的平行平面间的距离为，
故C错误；根据平面性质知，过A、Q、G三点的平面截得的截面图形是一个边长为1的正六边形ABGPQE，
故截面面积为，故D正确.
13.【分析】根据题意，求得，结合，即可求解.
【详解】由，可得，
又由，可得，
则.
14．5
【详解】，
设的前项和为，则，为整数，设为，，
，，可取1，2，3，4，5共5个数，
∴“幸福数”有5个．
15．1．
16．
【详解】设球体半径为r，圆锥高为
由圆锥底面半径为，体积为，
所以，解得，
所以为等边三角形，
所以可得，，
,
，
圆柱体与球体体积之和,
化简得,
，
由时，解得，
时，， 时，，
时，，
故答案为：
17．(1)(2)
【详解】（1）解：，
，
令，解得，
令，
所以函数在单调减区间为..........................................（5分）
（2）的图象先向右平移个单位得到，
将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，
时，，
所以，
故，所以的值域为............................................（10分）
18．(1)，(2)
【详解】（1）设的公差为d，的公比为q，，，
由题意可得：整理可得：，
解得：或（舍）
所以...............................（3分），；....................（6分）
（2）因为，则，
∴
两式相减得
所以 ...................（9分）
显然，且，即为递增数列，
，，，，
所以，，时，，
所以.......................（12分）
19．1）整个转动过程木板扫过的几何体由两个底面为圆心角为，半径为的扇形，高为的直棱柱组成，
故其体积....................（5分）
（2）以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
，
设是平面的一个法向量，则
，即，不妨令，
可取，
同理平面的一个法向量，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.........................（12分）
20．(1)分布列见解析，(2)5次．
【详解】（1）因为猎人每次射击击中猎物的概率与他和猎物之间的距离成反比，
设第i次射击击中猎物的概率为，猎人和猎物之间的距离为，
则(k为常数)，∵，，∴，
∴，∴，，．
当时，，停止射击．
设猎人的射击次数为X，则X的所有取值为1，2，3，4
，，
，，
∴X的分布列为
x 1 2 3 4
P
∴X的数学期望为...............................（6分）
（2）记“第i次射击击中猎物”为事件，i=1，2，…，
则n次连续射击至少击中猎物一次的概率为，
故，所以至少要连续射击5次．.......................（12分）
21．(1)(2)，
【详解】（1）设双曲线方程为，焦距为，
由，所以，所以双曲线的渐近线方程为.........................（4分）
（2）由（1）可得，，所以双曲线的方程为，
设，，因为点、都在双曲线的右支上，
所以，
所以，当且仅当时取等号，即，.............（6分）
当时，所以，
所以轴且 ，
又双曲线的方程为，即，由，解得，可知，又，所以，
..........................（12分）
22．(1) (2)
【详解】（1）由题意得，
解得或，函数的“笃志点”为0或；..................（4分）
（2）由题意得有三个不相等的实数根，
当时，，故，即，解得，不合题意，舍去；.......（5分）
当时，，故，
故令，，
则在上恒成立，
故在上单调递增，
故，
故当时，在有1个“笃志点”， ...........................（8分）
当时，，故，故，
由于至多有两个根，
结合前面分析，a的取值范围为的子集，
令，其中，
，
当时，，且的对称轴为，
故在上有两个不相等的实数根，
综上，函数有且只有3个“笃志点”，则实数a的取值范围为；.....................（12分）
