甘肃省白银市靖远县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

靖远县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号．座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：湘教版必修第一册、第二册（30%），选择性必修第一册第一章到第二章（70%）。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列的前三项为4，3，2，则的一个通项公式可以为（ ）
A． B． C． D．
3．若为纯虚数，则（ ）
A．－3 B．3 C．－4 D．4
4．若直线与直线垂直，则（ ）
A． B． C．7 D．－7
5．过直线上一点P作圆的切线，Q为切点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．直线经过定点A，则点A的横坐标与纵坐标之和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．若数列不是单调递增数列，但数列是单调递增数列，则称是T数列．下列数列不是T数列的是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分。有选错的得0分．
9．甘肃省2017到2022年常住人口变化图如图所示：
则（ ）
A．甘肃省2017到2020年这4年的常住人口呈递增趋势
B．甘肃省2017到2022年这6年的常住人口的第40百分位数为2501.98万
C．甘肃省2017到2022年这6年的常住人口的极差为156.41万
D．从2017到2022年这6年中任选1年，则该年的甘肃省常住人口大于2500万的概率为
10．若函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．当时，
C．当时，为偶函数 D．的图象关于直线对称
11．若正项数列是等差数列，且，则（ ）
A．当时， B．的取值范围是
C．当为整数时，的最大值为29 D．公差d的取值范围是
12．已知曲线，圆，则（ ）
A．当或时，曲线C与圆M没有公共点
B．当时，曲线C与圆M有1个公共点
C．当时，曲线C与圆M有2个公共点
D．当时，曲线C与圆M有4个公共点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．若，则______．
14．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆外切，写出圆C的一个标准方程：______．
15．一个小球从54米高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，则小球第2次落地时，经过的路程是______米；小球第次落地时，经过的路程是______米．
16．已知正四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，球O的表面积为，且，则正四棱锥的高为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；
（2）求过点，且在x轴上的截距与在y轴上的截距之和为2的直线的斜率．
18．（12分）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求A；
（2）若，求的面积．
19．（12分）
已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20．（12分）
已知圆．
（1）求a的取值范围；
（2）若倾斜角为60°的直线l：与圆C相交于A，B两点，且，求a．
21．（12分）
已知数列满足，且的前n项和为．
（1）求；
（2）求数列的前n项和。
22．（12分）
在平面直角坐标系中，已知两个定点，动点P满足，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过直线上一动点作曲线C的两条切线，切点为M，N，探究：直线MN是否过定点．
靖远县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1．D 因为，所以．
2．C 因为，所以的一个通项公式可以为．
3．B 因为为纯虚数，所以且，解得．
4．A 因为直线的斜率为－a，所以，解得．
5．C 因为圆C的圆心C到直线的距离，所以的最小值为，所以的取值范围是．
6．C 向量在向量上的投影向量为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．
7．B 由，得，令得所以点A的横坐标与纵坐标之和为．
8．D 当时，是单调递减数列，，因为，当时，单调递增，所以是单调递增数列，所以是T数列．
当时，易知不是递增数列，因为，所以是单调递增数列，所以是T数列．
因为，所以是递减数列，因为，且是单调递增数列，所以是T数列．
当时，，所以不是单调递增数列，不是T数列．
9．BD 由图可知，A错误．甘肃省2017到2022年这6年的常住人口（单位：万）按照从小到大的顺序排列为2490.02，2492.42，2501.98，2625.71，2637.26，2647.43，因为，所以这6年的常住人口的第40百分位数为2501.98万，B正确．甘肃省2017到2022年这6年的常住人口的极差为万，C错误．从2017到2022年这6年中任选1年，则该年的甘肃省常住人口大于2500万的概率为，D正确．
10．ACD ，A正确．当时，，B错误．
当时，为偶函数，C正确．因为，所以的图象关于直线对称，D正确．
11．ABC 当时，公差，A正确．因为是正项等差数列，所以，且，所以公差d的取值范围是，D错误．因为，所以的取值范围是，B正确．，当为整数时，的最大值为29，C正确．
12．ACD 由，得或，设，易得过定点，过定点，当与圆M相切时，由，得或，
当与圆M相切时，由，得或．当或时，与圆M相离，与圆M相离，则曲线C与圆M没有公共点．当时，与圆M相交，与圆M相离，则曲线C与圆M有2个公共点．当时，与圆M相交，与圆M相切，则曲线C与圆M有3个公共点．
当时，与圆M相交，与圆M相交，则曲线C与圆M有4个公共点．
13． ．
14．（答案不唯一，只要方程满足即可）因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆外切，所以圆C的方程为．
15．90；（也可以写为（或），还可以写为（或））设小球第1次落地时经过的路程为，小球从第次落地到第n次落地时经过的路程为米，则，所以小球第2次落地时，经过的路程是米，小球第次落地时，经过的路程是米．
16． 设正方形ABCD的中心为H，则底面ABCD，球心O在PH上．设球O的半径为R，则，解得．因为，所以，所以由勾股定理得，解得．
17．解：（1）依题意可设所求直线的方程为，
将点的坐标代入得，解得，故所求直线的方程为．
（2）依题意可设所求直线的方程为．
令，得；令，得．
依题意可得，解得．
18．解：（1）因为，所以．
又，所以，即．
因为，所以．
（2）由余弦定理知，．
因为，所以，解得或（舍去）
所以的面积．
19．解：（1）由，得，所以是公差为－2的等差数列，
因为，所以．所以．
（2）由（1）知，
所以．
20．解：（1）（方法一），则，所以a的取值范围为．
（方法二）由，得，
由，得，所以a的取值范围为．
（2）因为直线l的倾斜角为60°，所以．
圆C的圆心到直线l的距离，
所以，
整理得，即，解得或．
21．解：（1）当时，，则．
当时，，
则，
即，所以，
当时，，也满足，所以．
（2）由（1）知，
，，
则
所以（或）．
22．解：（1）设点，由，得，
所以，即曲线C的方程为．
（2）设直线上一点，曲线C的圆心为C，则，
则M，N都在以CD为直径的圆上．
因为圆心为，半径为，
所以圆的方程为，
即．
因为M，N是两圆的公共点，所以直线MN为两圆公共弦所在的直线．
由
得直线MN的方程为，即．
由得，所以直线MN过定点．