河南省郑州市十所省级示范性高中2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 河南省郑州市十所省级示范性高中2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 569.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-12 21:03:15 | ||
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文档简介
郑州市十所省级示范性高中2023-2024学年高二上学期期中联考
数学学科
考试时间：120分钟 分值：150分
注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）．在试题卷上作答无效．
一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分．
1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B． C． D．
2．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，三棱锥中，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．直线，若，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．或2 D．3或
6．已知是椭圆的焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
7．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是．（ ）
A． B． C． D．
8．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是．（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：共4小题，每个小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知空间向量，下列命题中不正确的是（ ）
A．若向量共线，则向量所在的直线平行
B．若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面
C．若存在不全为0的实数使得，则共面
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得
10．已知直线在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值可能是（ ）
A． B．0 C． D．
11．已知直线与曲线有且仅有1个公共点，则的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
12．如图，棱长为1的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．直线与底面所成的角为
B．平面与底面夹角的余弦值为
C．直线与直线的距离为
D．直线与平面的距离为
三、填空题：共5小题，每小题5分，共20分．
13．已知点是点在坐标平面内的射影，则______
14．已知两条平行直线，则与间的距离为______
15．圆与圆的公共弦的长为______
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率．若是椭圆上任意一点，是椭圆的右顶点，则的周长为______，的最大值为______．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：共6小题，共计70分
17．（本题共10分）
求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点；
（2）经过两点．
18．（本题共12分）
经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求线段的长．
19．（本题共12分）
一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
20．（本题共12分）
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求：
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程．
21．（本题共12分）
已知圆，直线．
（1）求证：直线恒过定点．
（2）直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长．
22．（本题共12分）
如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的正切值．
郑州市十所省级示范性高中2023-2024学年高二上学期期中联考
数学学科答案
1、C 2、A 3、C 4、B
5、A 6、C 7、C 8、A
9、ABD 10、AC 11、ABD 12、BCD
13、5 14． 15、
16、8；12（第一空2分，第二空3分）
17、（本题共10分）
【答案】 解：（1），焦点在轴上，
，，
，
，
（2）设所求椭圆的标准方程为，（，且）
将两点坐标代入得，解得，
故所求椭圆的标准方程为．
18、（本题共12分）
【答案】 解：椭圆的左焦点，
倾斜角为的直线的斜率为：，则直线的方程为：，
设，联立，
消去，整理得，
所以，
又
所以．
19、（本题共12分）
【答案】 解：设动圆圆心为，半径为，
设圆的圆心为，圆的圆心为，
将圆的方程分别配方得：，
当动圆与圆相外切时，有①
当动圆同时与圆相内切时，有②
将①②两式相加，得，
动圆圆心到点和的距离和是常数12，
所以点的轨迹是焦点为点，长轴长等于12的椭圆．
圆心轨迹方程为．
20、（本题共12分）
【答案】 解：（1）由题意可得边上的高所在直线方程为即，
所以直线边所在的直线的斜率为，
则设它的方程为，代入，可得，
即，
点在中线所在直线方程为上，
所以联立方程组并求解：解方程组，解得，
故点坐标为
（2）设，则，
把的坐标代入直线方程为，把点的坐标代入，
可得，解得，故点，故直线斜率为设直线的方程为，
代入，可得，整理，得
21、（本题共12分）
【答案】 （1）证明：直线的方程可化为
联立，解得，
所以直线恒过定点
（2）解：直线恒过圆内一点，所以当直线过圆心时，被截得的弦长最长，为圆的直径．
当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
直线的斜率为，由知，
由，解得，
此时直线的方程是．
圆心到直线的距离为
所以最短弦长为，
故直线被圆截得的弦长最短时，，最短长度是．
22、（本题共12分）
【答案】 （1）证明：取的中点，连接，
是的中点．，
，
因为在底面的射影为的中点，所以面，
又面面，所以面，
又面，所以，
因为，所以平面；
（2）解：
如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建系，
则，
则，
，
设平面的法向量为，
则，得，
取，得，
因为面，所以即为平面的一个法向量，
则，
所以二面角的平面角的余弦值为，正弦值为，
故二面角的平面角的正切值
数学学科
考试时间：120分钟 分值：150分
注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分．考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）．在试题卷上作答无效．
一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分．
1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B． C． D．
2．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，三棱锥中，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．直线，若，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．或2 D．3或
6．已知是椭圆的焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
7．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是．（ ）
A． B． C． D．
8．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是．（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：共4小题，每个小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9．已知空间向量，下列命题中不正确的是（ ）
A．若向量共线，则向量所在的直线平行
B．若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面
C．若存在不全为0的实数使得，则共面
D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得
10．已知直线在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值可能是（ ）
A． B．0 C． D．
11．已知直线与曲线有且仅有1个公共点，则的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．
12．如图，棱长为1的正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．直线与底面所成的角为
B．平面与底面夹角的余弦值为
C．直线与直线的距离为
D．直线与平面的距离为
三、填空题：共5小题，每小题5分，共20分．
13．已知点是点在坐标平面内的射影，则______
14．已知两条平行直线，则与间的距离为______
15．圆与圆的公共弦的长为______
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，其离心率．若是椭圆上任意一点，是椭圆的右顶点，则的周长为______，的最大值为______．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：共6小题，共计70分
17．（本题共10分）
求适合下列条件的椭圆标准方程：
（1）与椭圆有相同的焦点，且经过点；
（2）经过两点．
18．（本题共12分）
经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求线段的长．
19．（本题共12分）
一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
20．（本题共12分）
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求：
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程．
21．（本题共12分）
已知圆，直线．
（1）求证：直线恒过定点．
（2）直线被圆截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长．
22．（本题共12分）
如图，在三棱柱中，在底面的射影为的中点，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的正切值．
郑州市十所省级示范性高中2023-2024学年高二上学期期中联考
数学学科答案
1、C 2、A 3、C 4、B
5、A 6、C 7、C 8、A
9、ABD 10、AC 11、ABD 12、BCD
13、5 14． 15、
16、8；12（第一空2分，第二空3分）
17、（本题共10分）
【答案】 解：（1），焦点在轴上，
，，
，
，
（2）设所求椭圆的标准方程为，（，且）
将两点坐标代入得，解得，
故所求椭圆的标准方程为．
18、（本题共12分）
【答案】 解：椭圆的左焦点，
倾斜角为的直线的斜率为：，则直线的方程为：，
设，联立，
消去，整理得，
所以，
又
所以．
19、（本题共12分）
【答案】 解：设动圆圆心为，半径为，
设圆的圆心为，圆的圆心为，
将圆的方程分别配方得：，
当动圆与圆相外切时，有①
当动圆同时与圆相内切时，有②
将①②两式相加，得，
动圆圆心到点和的距离和是常数12，
所以点的轨迹是焦点为点，长轴长等于12的椭圆．
圆心轨迹方程为．
20、（本题共12分）
【答案】 解：（1）由题意可得边上的高所在直线方程为即，
所以直线边所在的直线的斜率为，
则设它的方程为，代入，可得，
即，
点在中线所在直线方程为上，
所以联立方程组并求解：解方程组，解得，
故点坐标为
（2）设，则，
把的坐标代入直线方程为，把点的坐标代入，
可得，解得，故点，故直线斜率为设直线的方程为，
代入，可得，整理，得
21、（本题共12分）
【答案】 （1）证明：直线的方程可化为
联立，解得，
所以直线恒过定点
（2）解：直线恒过圆内一点，所以当直线过圆心时，被截得的弦长最长，为圆的直径．
当直线时，直线被圆截得的弦长最短，
直线的斜率为，由知，
由，解得，
此时直线的方程是．
圆心到直线的距离为
所以最短弦长为，
故直线被圆截得的弦长最短时，，最短长度是．
22、（本题共12分）
【答案】 （1）证明：取的中点，连接，
是的中点．，
，
因为在底面的射影为的中点，所以面，
又面面，所以面，
又面，所以，
因为，所以平面；
（2）解：
如图，以为坐标原点，以所在直线分别为轴建系，
则，
则，
，
设平面的法向量为，
则，得，
取，得，
因为面，所以即为平面的一个法向量，
则，
所以二面角的平面角的余弦值为，正弦值为，
故二面角的平面角的正切值
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