天津市部分区2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）

天津市部分区2023-2024学年高三上学期期中考试
数学
一 选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知集合，命题，则的否定是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知函数，且的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
5.已知，且满足，则（ ）
A. B.
C. D.
6.若函数在区间上单调，则的最大值为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
7.与向量和的夹角均相等的单位向量为（ ）
A.或
B.或
C.或
D.或
8.若，则（ ）
A. B. C.-2 D.2
9.已知函数，若函数有且只有一个零点，则（ ）
A. B.
C. D.
二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10.已知函数为幂函数，若其图象经过点，则__________.
11.已知数列的前项和为，若对任意的，且，则__________.
12.若，则__________.
13.已知函数，若曲线的一条切线的方程为，则__________.
14.在直角梯形中，，且，若，则__________.
15.已知函数满足.若在上饸好有一个最小值和一个最大值，则__________；若在上恰好有两个零点，则的取值范围是__________.
三 解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
在中，内角的对边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）若.
①求的值；
②求的值.
17.（本小题满分15分）
已知数列为等差数列，其前项和为，数列为等比数列，其公比大于0，且.
（1）求和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
18.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）求的单调区间与极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值.
19.（本小题满分15分）
已知数列的通项公式为，数列的通项公式为.
（1）设，求证：.
（2）若与中相等的项由小到大构成的数列为，求证为等差数列.
20.（本小题满分16分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线的方程；
（2）若在上单调递减，求的取值范围；
（3）记的两个极值点为，且，求证：时，.
天津市部分区2023-2024学年高三上学期期中考试
数学参考答案
一 选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.B 7.A 8.D 9.C
二 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10. 11.10 12.2 13.3 14. 15.4，或
三 解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分14分）
（1）解：由及余弦定理
整理得，即
∵，∴.
（2）解：①∵，及，
∴，解得
②∵，∴是锐角，且
∴.
∴
∴
.
17.（本小题满15分）
（1）解：设数列的公差为，数列的公比为
∵
∴由，得
即，考虑到，∴
由，得，即
∵，∴
∴数列的通项公式为，
数列的通项公式为.
（2）解：∵，∴
∴
即
两边同乘以得
上式减下式得
整理得，.
18.（本小题满15分）
（1）∵
令，得或
当时，即，解得或
∴函数的单调递增区间为和.
当时，即，解得
∴函数的单调递减区间为.
∵
∴在附近，当时，；当时，
∴是函数的极大值点，极大值为
在附近，当时，；当时，
∴是函数的极小值点，极小值为.
（2）易知，，
∵且函数的图象在区间上连续不断
∴函数在区间内的最大值为54，最小值为.
19.（本小题满15分）
解：（1）∵，∴
∴
∴
解：（2）令∴
令∴
令∴，
代入上式可得
∴
∴
∴数列的通项公式为
∵
∴数列是首项，公差为15的等差数列.
20.（本小题满16分）
解：（1），
当时，，，此时，
∴所求切线方程为，即.
（2）∵函数在上单调递减，
∴恒成立，
即恒成立，
令
①当，即时，恒成立，所以满足题意.
②当，即时，函数的图象是开口向下的抛物线，
必存在，有成立，所以不合题意
③当，即时，欲使恒成立，应有
，解得，考虑到
∴满足题意.
综上，若函数在上单调递减，的取值范围是.
（3）令，即，
易知时，，
∴的二根即函数的两个极值点
∴，
∵，∴
∵，∴
∴
∴成立.