云南省昆明市官渡区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

昆明市官渡区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：人教版必修第一册，第二册（50%），选择性必修第一册第一章到第二章（50%）．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ）
A．－4 B．4 C．－3 D．3
2．复数的实部为（ ）
A．－2 B．2 C．34 D．36
3．英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（ ）
A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素
4．已知向量，，且，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（ ）
A．cos65° B． C． D．
6．过直线上一点P作圆C：的切线，Q为切点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中1个红球、1个黄球、2个蓝球．从中任取2个小球，则这两个小球的颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，M为OA的中点，点N在线段BC上，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线：，：，且，则（ ）
A． B．
C．与直线垂直 D．与与间的距离为
10．若函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．当时，
C．当时，为偶函数 D．的图象关于直线对称
11．在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A．直线OB与平面ABC所成角的正弦值为
B．点O到平面ABC的距离为
C．异面直线OA与BC所成角的余弦值为
D．点A到直线OB的距离为2
12．已知曲线C：，圆M：，则（ ）
A．当或时，曲线C与圆M没有公共点
B．当时，曲线C与圆M有1个公共点
C．当时，曲线C与圆M有2个公共点
D．当时，曲线C与圆M有4个公共点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若是奇函数，且当时，，则______．
14．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，圆C与圆M：外切，写出一个圆C的标准方程：______．
15．若某圆台上底面和下底面的半径分别为2，5，且圆台的母线长为5，则该圆台的体积为______．
16．已知a，都是正数，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北．整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现页河的云壮．如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点C，D现测得，，，在点D处测得黄河楼顶A的仰角为45°，求黄河楼的实际高度（结果精确到0.1m，取）．
18．（12分）
已知函数的定义域为D．
（1）求D；
（2）讨论函数的最小值．
19（12分）
已知圆M经过，，三点．
（1）求圆M的一般方程；
（2）过点的直线l与圆M交于E，F两点，，求直线l的方程．
20．（12分）
某面包店记录了最近一周A，B两种口味的面包的销售情况，如表所示：
A口味 B口味
星期 一 二 三 四 五 六 日 星期 一 二 三 四 五 六 日
销量/个 16 12 14 10 18 19 13 销量/个 13 18 10 20 12 9 14
（1）试比较最近一周A，B这两种口味的面包日销量的第60百分位数的大小．
（2）该面包店店主将在下一周每天都制作n个A口味的面包，假设下一周A口味的面包日销量和被记录的这一周的日销量保持一致，每个面包当天卖出可获利6元，当天未售出则将损失5元，从，15，16中选一个，你应该选择哪一个 说明你的理由．
21．（12分）
如图，在正三棱柱中，D是的中点，．
（1）证明：．
（2）求二面角的余弦值．
22．（12分）
已知圆C：
（1）证明：圆C恒过两个点．
（2）当时，若过点的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的斜率．
高二数学期中考试卷参考答案
1．A 直线l的斜率为．
2．D 因为，所以z的实部为36．
3．A interesting的所有字母组成的集合为，共有7个元素．
4．C 因为，所以，解得．
5．D ．
6．C 因为圆C的圆心C到直线j的距离，所以的最小值为，所以的取值范围是．
7．D 总的基本事件有6个，这两个小球的颜色相同的情况只有1种，所以这两个小球的颜色相同的概率为，故这两个小球的颜色不同的概率为．
8．D 设，
则
，
所以得．
9．ACD 当时，则，解得或．若，则：，：，，重合，故不符合题意；若，则：，：，，所以与间的距离为．由，得与直线垂直．
10．ACD ，A正确．当时，，B错误．
当时，为偶函数，C正确．因为，所以的图象关于直线对称，D正确．
11．BC ，．
设平面ABC的法向量为，
则令，得．
设直线OB与平面ABC所成的角为θ，且，则，点O到平面ABC的距离为，A错误，B正确．因为，所以异面直线OA与BC所成角的余弦值为，C正确．
设，则点A到直线OB的距离．D错误．
12．ACD 由，得或．
设：，：，易得过定点，过定点．
当与圆M相切时，由，得或．
当与圆M相切时，由，得或．
当或时，与圆M相离，
与圆M相离，则曲线C与圆M没有公共点．当时，与圆M相交，与圆M相离，则曲线C与圆M有2个公共点．当时，与圆M相交，与圆M相切，则曲线C与圆M有3个公共点．当时，与圆M相交，与圆M相交，则曲线C与圆M有4个公共点．
13．－3 ．
14．（答案不唯一，只要方程满足即可）因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，且圆C与圆M：外切，所以圆C的方程为．
15．52π 设圆台的高为h，则，所以该圆台的体积为．
16． 因为a，都是正数，所以，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．
17．解：．
在中，由正弦定理得，
则．
在中，，，所以，
故黄河楼的实际高度约为．
18．解：（1）由，得，所以．
（2），
当时，为减函数，则．
当时，．
当时，为增函数，
则．
综上，
19．解：（1）设圆M的一般方程为，
把A，B，C三点坐标代入可得
解得，，，所以圆M的一般方程是．
（2）由（1）得圆M的标准方程为，则圆心为，半径为．
当直线l与x轴垂直，即时，，符合题意；
当直线l与x轴不垂直时，设该直线的方程为，即，
则圆心M到直线l的距离，解得，所以直线l的方程为．
综上，直线l的方程为或．
20．解：（1）最近A一周口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为10，12，13，14，16，18，19．
因为，所以A口味的面包日销量的第60百分位数为16．
最近一周B口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为9，10，12，13，13，18，20，
所以B口味的面包日销量的第60百分位数为14．
故A口味的面包日销量的第60百分位数大于B口味的面包日销量的第60百分位数．
（2）当时，下一周A口味的面包可获利
元．
当时，下一周A口味的面包可获利
元．
当时，下一周A口味的面包可获利
元．
因为，所以应该选择．
21．（1）证明：取BC的中点E，连接AE，DE，
则在正三棱柱中，平面．
因为平面，所以．
又D是的中点，，所以．
因为，所以平面ADE．
因为平面ADE，所以．
（2）解：以E为坐标原点，直线EB，EA分别为x轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
．，．
设平面ABD的法向量为，则由得
令，得．
设平面的法向量为，则由得
令，得．．
由图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为．
22．（1）证明：圆C的方程可化为．
令得或
故圆C恒过两个定点，且这两个定点的坐标为和．
（2）解：当时，圆C的方程可化为．
由题知直线l的斜率k存在且不为0，设直线l的方程为．
设，，因为，所以．①
联立消去x得，
所以将①代入得
则，
解得或（满足），所以直线l的斜率为2或．
[注]直线l的方程还可以设为，与圆C的方程联立得，
则将代入得解得或，故直线l的斜率为或2．