新疆喀什地区英吉沙县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

英吉沙县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线经过，两点，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
2．以，，为顶点的三角形是（ ）
A．以A点为直角顶点的直角三角形 B．以B点为直角顶点的直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
3．以，为端点的线段的垂直平分线的方程（ ）
A． B． C． D．
4．在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在正四面体中，等于（ ）
A．45° B．60° C．90° D．120°
6．若直线：与直线的斜率互为相反数，则的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
7．在正方体中，E是棱的中点，G是的中点，F是BC上的一点且，则异面直线GB与EF所成的角为（ ）
A．30° B．120° C．60° D．90°
8．已知直线l：是圆C：的对称轴，过点作圆C的一条切线，切点为B，则等于（ ）
A．4 B． C． D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．若是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在如图所示的空间直角坐标系中，是棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ）
A．直线的一个方向向量为 B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为 D．平面的一个法向量为
11．下列各结论，正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴交于A，B两点，则
B．直线与直线之间的距离为
C．直线上的点到原点的距离最小为1
D．点与点到直线的距离相等
12．已知圆C：，直线l：，．则下列选项正确的是（ ）
A．直线l恒过定点 B．直线l与圆C的位置可能相交、相切和相离
C．直线l被圆C截得的最短弦长为12 D．直线l被圆C截得的最短弦长对应的k值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，，若，则______．
14．直线和直线的位置关系是______（填相交、平行、垂直）．
15．点关于直线的对称点为Q，则点Q的坐标为______．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知过点的圆M与圆相切于原点，则圆M的半径是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知，，．求：
（1）；
（2）．
18．（12分）在空间直角坐标系中，已知，，，若是直角三角形，求m的值．
19．（12分）已知直线：和直线：，试确定m的值或范围，使得：
（1）与垂直；
（2）与平行；
（3）与相交．
20．（12分）已知圆C：，直线l过点．
（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的斜率；
（2）线段AB的端点B在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
21．（12分）已知点，圆C的圆心在直线上且与y轴切于点．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l过点P且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程．
22．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，M，N分别是，的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面NBC的夹角．
参考答案
1．C 【详解】试题分析：设直线AB的倾斜角为，直线经过，两点，
所以，即，又因为，所以．
考点：直线的斜率与倾斜角
2．A 【分析】根据两点求斜率以及斜率之间的关系即可求解．
【详解】由，，，，，
由，所以直线AB与直线AC垂直，
所以以A点为直角顶点的直角三角形．故选：A．
3．A 【分析】根据斜率公式结合垂直关系可求垂直平分线的斜率，以及中点坐标公式求线段AB的中点坐标，再结合直线的点斜式方程运算求解．
【详解】∵直线AB的斜率，则垂直平分线的斜率，
又∵线段AB的中点为，∴所求直线方程为，
即，故选：A．
4．C 【分析】根据向量线性运算法则计算即可．
【详解】
，故选：C．
5．D 【分析】由正四面体的性质可得为正三角形，所以，即可解得向量所夹角度．
【详解】两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量的起点平移到A点处，
因为为正三角形，所以，
所以，故选：D．
6．B 【详解】∵，∴，∴的倾斜角为60°，故选B．
7．D 【详解】以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则，，
，∴，
异面直线GB与EF所成的角为90°，故选D．
8．A 【分析】根据直线l：是圆C：的对称轴，则圆心在直线l上，求得m，由过点作圆C的一条切线，切点为B，利用勾股定理即可求得．
【详解】由方程得，圆心为，
因为直线l是圆C的对称轴，所以圆心在直线l上，所以，所以A点坐标为，
则，所以．故选：A．
9．ABC 【分析】因为同一个平面的法向量共线，所以可利用向量共线的判定进行求解．
【详解】因为，，，，
所以与，，均共线，与不共线，
所以，，可以作为平面的法向量，故选：ABC．
10．AC 【分析】求出即可判断AB的正误，求出平面的法向量判断C的正误，求出平面的法向量判断D的正误．
【详解】由题意，，，，，，
∵，∴向量为直线的一个方向向量，故A正确，B不正确；
设平面的法向量为，则，
由，得，
令得，则C正确；
设平面的法向量为，则，
由，得，
令得，则D不正确．故选：AC．
11．ACD 【分析】由两点间、点到直线，平行线的距离公式对选项一一判断即可得出答案．
【详解】对于A，直线与两坐标轴的交点，，则，故A正确；
对于B，直线与直线之间的距离为，故B不正确；
对于C，直线上的点到原点的距离最小为原点到直线的距离即，故C正确；
对于D，点到直线的距离为，
与点到直线的距离为．
所以点与点到直线的距离相等，故D正确．故选：ACD．
12．AD 【分析】根据题意得l：，，故直线过定点，进而根据点与圆的位置关系得点在圆内，即可得直线与圆相交，当直线l与过点和圆心的直线垂直时直线l被圆C截得的弦长最短，再求解即可．
【详解】解：由直线l：，得l：，，
所以直线l过定点，故A选项正确；
此时将点代入圆C：得，
所以点在圆内，故直线l与圆C的位置是相交，故B选项错误；
当直线l与过点和圆心的直线垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，为，
此时直线l的斜率为，故C选项错误，D选项正确．故选：AD．
13．1 【分析】由空间向量数量积的坐标运算求解．
【详解】由题意得，则，故答案为：1．
14．相交 【分析】首先求出两条直线的斜率，得到且，所以两条直线相交但不垂直．
【详解】直线的斜率，直线的斜率为，
则，且，所以两条直线相交但不垂直．故答案为：相交．
【点睛】本题主要考查两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线平行和相交的充要条件是解题的关键，属于简单题．
15． 【分析】设出对称点的坐标，利用直线PQ垂直于直线，以及P，Q的中点在直线上，列方程求解即可．
【详解】设点关于直线的对称点为Q的坐标为，
则，解得，，所以，故答案为：．
16． 【解析】由两圆相切于原点且圆M过点，而已知圆知它们的圆心都在直线上，即若圆M圆心为由圆心与圆上点距离相等列方程求a，即可求半径．
【详解】化为，
即为圆心为，半径为的圆，
∵所求的圆M与圆相切于原点，∴两圆心在直线上，
可设所求圆M的圆心为且过，∴，解得，
∴所求圆M的半径为．故答案为：．
【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，考查数学转化思想方法与数形结合的，属于中档题．
17．（1）．
（2）∵，，，∴．
18．因为，，，
若，则有∵，∴，∴．
若，则有∵，∴，∴．
若，则有∵，∴，∴，方程无解．
综上，∴，．
19．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）讨论和两种情况，由直线垂直的性质运算可求解．
（2）由运算可求解；
（3）由运算可求出；
【详解】（1）若与垂直，
当时，：，：，此时两直线垂直，符合题意，
当时，则，无解，综上，．
（2）可得，要使与平行，则，解得；
（3）当时，：，：，此时两直线相交，符合题意，
当时，要使与相交，则，解得，综上，．
20．解：（1）设斜率为k，则直线方程为，
可化为，则圆心到直线的距离，
∵直线与圆相切，，∴，解得；
（2）设，，则有，，，，
又∵在圆上运动，∴，
代入得，化简得．
21．解：（1）因为圆C的圆心在直线上且与y轴切于点，
可设圆心，代入直线方程得，∴，
圆的方程可设为，代入得，
可得圆的方程为．
（2）由（1）知圆的方程为，
设直线方程为，即，
设圆心到直线距离为d，弦长，，
∵，，解得，
∴直线方程为，即，
当斜率不存在时，直线方程为，综上，直线方程为或．
22．（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）由等腰三角形中位线性质和线面垂直性质可得，，由线面垂直的判定可得平面，由线面垂直性质可得结论；
（2）以C为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果．
（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，
，∵M为中点，∴，
∵平面，平面，∴，
∵，平面，，∴平面，
又平面，∴．
（2）以C为坐标原点，，，正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，，，
设平面的法向量，
∴，令，解得：，，∴；
设平面NBC的法向量，
∴，令，解得：，，∴；
∴，∴平面平面NBC，
即平面与平面NBC的夹角为．