课件7张PPT。不等式的基本性质1. 设a, b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别为A, B，那么, 当点A在点B的左边时, a
b。ABBAaba< bx2. 关于实数a, b的大小关系，有以下事实：3.不等式的基本性质:(对称性)(传递性)(加法法则)(同向加)(乘法法则)(乘方法则)(开方法则)(同正同向乘)例1(1) 已知a > b, c < d , 求证：a-c > b-d (3) 已知a>b> 0, c <0, 求证：性质是求解和证明不等式的基础.思考 已知 a>b, 试判断 的大小关系.性质(2) 已知a>b> 0,c>d>0, 求证:ac>bd练习
1.对于实数a, b, c，给出下列命题:
(1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若ac2>bc2,则a>b;
(3)若a>b,c (4)若a>b,c>d,则ac>bd;
(5)若aab>b2
其中,正确命题的序号是________________.思考 已知 f(x) =ax2 +c,且 - 4≤f(1)≤ -1，
-1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围。例2 已知a>b>c,且a+b+c =0, 则 的取值
范围是___________。(2) 、(5)[-1, 20](-2,-0.5)2. 在三角形ABC中, A-B 的取值范围是______________. 3.若a、b、x、y∈R,则 是
成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件C4. P 2. 2补充 已知a > 0，a2-2ab+c2 =0，bc>a2，试比较a、b、c的大小。作业：P 2. 3课件10张PPT。5.2.1 含有绝对值的
不等式的解法 两个数的差的绝对值表示数轴上这两个
个数对应的两点间距离.复习：1.绝对值的定义:2.几何意义:AB|x2-x1|=OA=AB 一个数的绝对值表示数轴上这个数对
应的点到原点的距离.|x2|=OBx1x2|x1|3. 如果 a ＞0，则 3. 如果 a ∈R ，则 思考 当a≤0时,上述结论还成立吗?解题反思：整体换元。例1 解不等式 (1) |3x-1|≤6
(2) |2-x|>3归纳：形如| f(x)|a 不等式的解法:变1 解不等式 | 5x-6 | < 6 – x分析：对绝对值里面的代数式符号讨论(Ⅰ)或 (Ⅱ) 解(Ⅰ)得：6/5≤x<2解(Ⅱ) 得：00
所以0 0x <2即∴∴ 0< x <2总结:
|f(x)||f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x) 变2 解不等式-3≤x≤3例2 解不等式|x-2|+|x-1|≥5方法2: 几何意义;方法1: 去绝对值;方法3: 函数法.分析零点划分法思考1.总结解不等式
的基本思路.2.不等式|x-a|+|x-b|≥|a-b|的解集是什么?变1 解不等式|2x+1|-|x-2|>0x<-3,或x>1/3变2 若关于x的不等式|x-2|+|x-1|≥a的解集是R,则实数a的取值范围是________.变3 若关于x的不等式|x-2|-|x+1|≥a 有实数解,则实数a的取值范围是________.a≤1a≤3课堂小结
含绝对值的不等式的解法的基本思想是去掉绝对值符号.
常用方法 (1)定义法(常用零点划分法)；
(2)公式法 ； (3)平方法； (4)换元法;
(5)数形结合法绝对值的几何意义函数法课件13张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！2019年3月14日星期四5.2.2 含有绝对值的
不等式的证明 两个数的差的绝对值表示数轴上这两个
个数对应的两点间距离.回顾:1.绝对值的定义:2.几何意义:AB|x2-x1|=OA=AB 一个数的绝对值表示数轴上这个数对
应的点到原点的距离.|x2|=OBx1x2|x1|3. 常用性质:问题1 |a+b|=|a|+|b| 吗? |a-b|=|a|-|b|吗?问题2 |a+b| 与 |a|+|b| 的大小有何关系呢? 探究1 通过代入具体数字作比较 , 归纳
得出: |a+b|≤|a|+|b|探究2在数轴上把|a| ， |b| ，|a+b|表示出来，你能发现它们之间有何关系吗？ 性质1 如果a, b是实数，则
|a| +|b| ≥|a+b| ，
当且仅当ab≥0时，等号成立。绝对值三角不等式性质证明要证只要证 ，即证而 显然成立
(当且仅当ab≥0时取“=”）． 从而证得
(当且仅当ab≥0时取“＝”). 性质证明还有别的证法吗？ 证: 由 与 ，得 .可以把 a 表示为 即性质1、2可合写为:性质2 |a|-|b|≤|a+b|性质1 |a| +|b| ≥|a+b| ，
当且仅当ab≥0时，等号成立。例1 如果a,b,c是实数,那么
当且仅当(a-c)(b-c) ≤0时,等号成立性质3性质1、2可合写为:2019年3月14日星期四作业课件9张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！5.3 不等式的证明例1 设a≠b , 求证:a2 +3b2 > 2b(a+b)证:a2 +3b2-2b(a+b)=a2 +3b2-2ab-2b2=a2 -2ab + b2=(a-b)2∵a≠b , ∴(a-b)2>0∴ a2 +3b2>2b(a+b)5.3.1 比较法a?b > 0 ? a>b ，
a?b = 0 ? a=b ，
a?b < 0 ? a0, 求证:说明: 变形要到位,直到能判断式子的符
号为止.例3 甲、乙两人同时同地出发, 沿同一线路走到同一地点. 甲有一半时间以速度m行走,另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走, 另一半路程以速度n行走. 如果m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点.分析: 即比较各自走完路程所用时间的大小.解：设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有解：设从出发地点至指定地点的路程是S,甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有∵S，m，n都是正数，m≠n,∴t1-t2<0从而可知甲比乙首先到达指定地点.思考: 哪些不等式的证明用作差比较法较为合理?例4比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法.上题用的是作商比较法.若b>0 ,则
a/b >1 ? a>b ，
a/b =1 ? a=b ，
a/b <1 ? a a1+a8>a4+a5 ;
a1+a8C. a1+a8=a4+a5 ;
D. a1+a8 与a4+a5 的大小关系不能由已知条件确定。
A2. 求证:x2 +3 >3x小结：作差比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的一种方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差—变形—判断符号—下结论。
要灵活掌握配方法和通分法对差式进行恒等变形。课件5张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！5.3 不等式的证明你能从其它角度解释例3的意义吗?变 已知a,b,c,d 都是正实数,求证:
(ab+cd)(ac+bd) ≥4abcd5.3.2不等式的证明—综合法和分析法 从已知条件出发, 利用不等式的性质和定理逐步下推, 推导出所要证明的不等式成立,这种证明方法叫做综合法。综合法的思路是“由因导果”. 证明不等式时，有时可以从要证明的不等式出发，逐步上溯 , 寻求使它成立的充分条件，直至最后,把要证明的不等式归结为判定条件是否具备的问题。这种证明的方法叫做分析法。分析法的思路是“执果索因”.补充作业课件6张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！5.3 不等式的证明小结
1.根据题目特点,选择适当方法.含根式、绝对值、对数式的不等式的证明用分析法较为合理.
2.一些复杂不等式的证明常采用:分析探路,综合表述的策略.练习 课件6张PPT。书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话天才就是百分之一的灵感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！5.3 不等式的证明例1 设 a3 + b3 =2 , 求证: a + b ≤2例2 设二次函数 f(x) =x2 + px +1 , 求证:
|f(1)| , |f(-1)| 中至少有一个不小于2.变 已知函数 f(x)=x2 + ax +b (a , b∈R) ,且
x∈[-1,1].
(1) 记|f(x)|的最大值为M, 求证: M≥1/2 ;
(2) 若(1)中的M=1/2 , 求 f(x) 的表达式.小结:1. 正难则反.(1) 至多、至少;(2) 不、不都、不可能;(3) 唯一;2. 一般地待证不等式的结论中涉及以下
字眼时更适宜用反证法:练习与作业补充:5. 若三个实数a, b, c满足a+b+c>0 , abc>0,
ab +bc +ca> 0, 求证: a> 0 , b> 0 , c> 0反证法的基本步骤：
（1）反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面成立；
（2）归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果;
（3）存真——由矛盾结果断定反设不真，从而肯定原结论成立。归缪: (1)与已知条件矛盾；
(2)与已有公理、定理、定义矛盾；
(3)自相矛盾。反证法的思维特点：正难则反。课件7张PPT。思考:你能把右边的值换成一个比2小的数字吗?若能,请证明你的结论. 你能对例2的左边进行适度的缩小,发现新的结论(不等式)吗?小结补充作业:备用 在证明不等式时,有时我们要把所证不等式的一边适当地放大(或缩小)以利化简 ,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显, 从而得到欲证不等式成立. 这种方法称为放缩法.它是证明不等式的常用方法.5.3.4 放缩法课件11张PPT。若a,b,c,d都是实数,则
(a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
当且仅当ad =bc时,等号成立.定理1（二维形式的柯西不等式）:5.4.1柯西不等式思考:能否把上述结论推广至一般形式?一般形式的柯西不等式猜想补充作业:课件9张PPT。若a,b,c,d都是实数,则
(a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd)2
当且仅当ad =bc时,等号成立.定理1（二维形式的柯西不等式）:你能证明吗？二维形式的柯西不等式的变式: 向量形式：定理2: （柯西不等式的向量形式）例1
(1) 已知a2 +b2 =1, x2 +y2 =1,求证:|ax+by|≤1
(2) 已知a,b为实数,求证：
(a4 +b4) (a2 +b2)≥ (a3 +b3)2
(3) 已知a, b都是正实数,且a +b =1,求证:根据两点间距离公式以及三角形的边长关系有:观察思考:一般地, 如图所示,结论是什么?小结:作业补充:课件9张PPT。5.4.3 平均不等式思考:该结论可推广到三个正数,四个正数，
…，甚至n个正数吗？也就是说, 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.基本不等式你能证明吗？一般地, n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.这表明, 三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.例1 设a,b,c均为正数,证明;
(ab +a +b +1)(ab+ac +bc +c2) ≥16abc说明 上式表明了n个正数的算术平均数不小于其调和平均数. (P33链接:平均不等式)1. (1)若两个正数的积是一个常数，那么当且仅当这两个正数相等时，它们的和有最小值． (2)若两个正数的和是一个常数，那么当且仅当这两个正数相等时，它们的积有最大值．简称：积定和最小，和定积最大．2. 应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可；不能直接利用定理时，要善于转化；“分式函数造积定”。补充作业课件9张PPT。例1 求函数 的最小值．解：由 知 ，则
例1 求函数 的最小值．
下面解法是否正确？为什么？解法1：由 知 ，则
例1 求函数 的最小值．
下面解法是否正确？为什么？解法2：由 知 ，则
1. 若n个正数的积是一个常数,那么当且仅当这n个正数相等时,它们的和有最小值.2. 应用定理时需注意 “一正二定三相等”这三个条件缺一不可;不可直接利用定理时，要善于转化; 分式函数造积定的策略:均分.简称：积定和最小 1. 若n个正数的和是一个常数,那么当且仅当这n个正数相等时,它们的积有最大值.简称：和定积最大2. 高次函数造和定练习：83DA、4 B、 C、6 D、非上述答案 B9D1.(1)若n个正数的积是一个常数,那么当且仅当这n个正数相等时,它们的和有最小值. (2)若n个正数的和是一个常数,那么当且仅当这n个正数相等时,它们的积有最大值.简称：积定和最小，和定积最大．2. 应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可；不可直接利用定理时，要善于转化; 分式造积定,高次造和定.小结：
利用平均值定理求函数最值.补充作业课件3张PPT。例2 把一条长是m的绳子截成三段,各围成一个正方形.怎样截法才能使这三个正方形的面积和最小?例1 小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑.假定在电脑的使用过程中, 每年的维修费约为: 第一年200元, 第二年400元,第三年600元,……,按等差数列逐年递增.这台电脑使用多少年报废最合算(年平均费用最低).例3 如图,等腰直角三角形AOB的直角边为1.在这个三角形内任取一点P,过P分别引三边的平行线,与各边围成以P为顶点的三个三角形(图中阴影部分).求这三个三角形面积和的最小值,以及取得最小值时点P的位置.OABP课件8张PPT。2. 用数学归纳法进行证明时,要注意:
递推基础不可少，归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。(两步一结论)3. n=k+1时命题证明的思路:
一凑假设，二凑结论。1. 证明某些与自然数有关的数学命题,可以用数学归纳法:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时命题成立;
(2)假设当n=k (k?N* ，k?n0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立; 综合(1) 、(2)可知,命题对于任何n≥n0且n∈N都成立。 综合(1) 、(2)可知, 对于任何且n∈N＊不等式都成立。小结： 用数学归纳法证明恒等式与证明不等式的异同．.练习．