2023—2024学年人教版九年级数学上册 第二十四章圆单元达标分层练习题　（含解析）

人教版九年级数学上册第二十四章圆单元达标分层练习题
一、选择题
1．如图，圆周角∠ACB =48°，则圆心角∠AOB的度数为（　　）．
A．48° B．24° C．96° D．90°
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OC=5 cm，CD=6 cm，则AE=（　　）．
A．4cm B．3cm C．9cm D．8cm
3．下列命题为真命题的是（　　）．
A．三点确定一个圆
B．度数相等的弧相等
C．90°的圆周角所对的弦是直径
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
4．已知⊙O的半径是6，点A到圆心O的距离是5，则点A与⊙O的位置关系是（　　）．
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内
C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数是（　　）．
A．45° B．50° C．60° D．75°
6． 如图，是的弦，半径，为圆周上一点，若所对应圆心角的度数为，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．已知点O是△ABC的外心，∠BOC= 80°，则∠BAC的度数为（　　）．
A．40° B．100° C．40°或140° D．40或100°
8．如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，记切点为A、B，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．若∠ACB＝62°，则∠APB等于（　　）
A．68° B．64° C．58° D．56°
9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和BC的长分别为（　　）
A．，π B．，π C．， D．，2π
10．某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图所示，已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（　　）.
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，AB 是⊙O的直轻，点C是半径OA的中点．过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DFA的度数是　 　
12． 如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点，则的度数是　 　．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= ，则BD的长为　 　
14．如图，分别以正方形ABCD的顶点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点E．若的长为，则正方形的边长为　 　
三、解答题
15．如图，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P．若∠P=30°，∠ABC=100°，求∠C的度数．
16．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E．已知AE=1，EB=5，∠DEB=60°，求CD 的长．
17．如图，在两个同心圆O中，、都是大圆的弦，且，与小圆相切于点D，则与小圆相切吗？请说明理由.
18．如图，以正六边形ABCDEF的边AB为边，在正六边形内作正方形ABMN，连结MC．求∠BCM的度数．
四、综合题
19．如图，为的直径，点在上，延长至点，使.延长与的另一个交点为，连结.
（1）求证：；
（2）若，求的长.
20．如图，与等边的边、分别交于点、，是的直径，过点作于点．
（1）求证：是的切线：
（2）已知的半径为3，连接，当等边的边长为多少时，与相切？
21．如图，圆中延长弦，交于点，连接，，，.
（1）若，，求的度数；
（2）若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由.
22．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，点E是BC的中点，连结并延长OE交圆于点D．
（1）求证：ODAC．
（2）若DE＝2，BE＝2，求阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：如图可知，∠ACB和∠AOB在同一圆中，且所对的弧均为弧AB. 根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=2×48°=96°.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理可知，在同一圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴
在中，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据垂径定理求出CE的长，结合勾股定理即可得到OE的长，最后根据线段间的数量关系即可求解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解： A、不在一条直线上的三点确定一个圆 ，故不符合题意；
B、 能够互相重合的弧叫做等弧，故不符合题意；
C、 90°的圆周角所对的弦是直径 ，故符合题意；
D、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故不符合题意．
故答案为：C.
【分析】根据确定圆的条件，圆周角定理、弧弦圆心角的关系、等弧的定义逐项判断即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ ⊙O的半径是6，点A到圆心O的距离是5 ，
∴A到圆心O的距离小于⊙O的半径，
∴点A在⊙O内 ，
故答案为：B.
【分析】设⊙O的半径为r，点到圆心O的距离为d，当d＜r时，点在圆内；当d=r时，点在圆上，当d＞r时，点在圆外，据此判断即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠AOC=∠ABC，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
而∠ADC=∠AOC，
∴2∠ADC+∠ADC=180°，解得：∠ADC=60°.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的对角相等可得∠AOC=∠ABC，由圆圆内接四边形的对角互补可得∠ADC+∠ABC=180°然后根据圆周角定理可得关于∠ADC的方程，解方程可求解.
6．【答案】B
【解析】【解答】∵半径，所对应圆心角的度数为，
∴，
∴∠AOC=∠BOC=70°，
∵，
∴∠ADC=∠AOC=35°，
故答案为：B.
【分析】先利用垂径定理可得，再利用圆周角的性质可得∠ADC=∠AOC=35°.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：分两种情况，
①△ABC为锐角三角形时，
∵
∴
②△ABC为钝角三角形，
在优弧BC上任取一点P，连接BP，CP，
∵
∴
∴
综上所述，∠BAC的度数为：40°，140°，
故答案为：C.
【分析】根据题意可知需分两种情况讨论：①△ABC为锐角三角形，②△ABC为钝角三角形，分别根据圆周角定理和圆内接四边形的性质，即可求解.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ 圆周角∠ACB＝62°
∴（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半）
∴
∵PA、PB是⊙O的切线 ，
∴
∴P、A、B、O四点共圆（四边形对角互补，那么四点共圆）
∴(圆的内接四边形对角和是180度)
∴
故答案为：D
【分析】圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，这是圆周角定理；圆的内接四边形对角和是180度，反过来四边形对角和是180°那么四点共圆，这两个定理都是有关圆的角度证明时经常用到的。
9．【答案】D
10．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，矩形内接于，连接、，
四边形是矩形，
，
为的直径，
，，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】先利用矩形的性质和圆周角定理证得AC是直径，再通过直角三角形的性质得到的度数，从而求得的度数，接着利用弧长的计算公式求得改建后门洞的圆弧长.
11．【答案】30°
【解析】【解答】解：∵ 点C是半径OA的中点．DE⊥AB ，
∴OD=2OC，∠DCO=90°，
∴∠D=30°，
∴∠AOD=90°-30°=60°，
∴ ∠DFA =∠AOD=30°，
故答案为：30°，
【分析】由题意得OD=2OC，利用直角三角形的性质可得∠D=30°，从而求出∠AOD=60°，再根据圆周角定理求解即可.
12．【答案】
【解析】【解答】解：
∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝45°，
又∵∠D＝∠C＝50°
∴∠BAD＝180°-∠ABD-∠D＝180°-45°-50°＝85°。
故答案为：85°
【分析】直径所对的圆周角是90°，同弧所对的圆周角相等，由此可得出∠ABC和∠D的度数，再根据内角和定理求出∠BAD。
13．【答案】
【解析】【解答】解：如图，延长BA，CE，交于点M．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAD=∠CAM=90°，∠BEC=∠BEM=90°，
又AB=AC，∠ABD=∠ACM，
∴△ABD≌△ACM，
∴BD=CM．
由∠EBM=∠EBC，BE= BE，∠BEC=∠BEM，得△BEC≌△BEM，
∴EC=EM，
∴BD=CM=2CE=．
【分析】延长BA，CE，交于点M，证明△ABD≌△ACM（ASA），可得BD=CM．再证△BEC≌△BEM（ASA），可得EC=EM，根据BD=CM=2CE即可求解.
14．【答案】4
15．【答案】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°，
∵∠ABC=100°，∴∠D=180°-100°=80°，
∵∠P=30°，
∴∠C=180°-30°-80°=70°.
【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质可求出∠D的度数，然后在三角形PCD中，用三角形内角和定理可求解.
16．【答案】解：作OF⊥CD于点F ，连结OD，
AB=AE+ BE =6，即⊙O的半径为3．
在Rt△OEF中，OE=OA-AE=3-1=2，∠DEB=60° ，则∠EOF=30° ，OF= ，
在Rt△ODF中，DF= ，
∴CD=2DF= ．
【解析】【分析】作OF⊥CD于点F ， 连结OD， 先求出 ⊙O 的半径，再根据勾股定理求出OF和DF的长，最后利用垂径定理求出CD的长.
17．【答案】解：过点O作于E，设小圆与的切点为D，连接，如图，
由切线性质可知，
由垂径定理可知，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴与小圆相切.
【解析】【分析】 过点O作OE⊥AC于E，设小圆与AB的切点为D，连接OD、OA，由切线性质可知OD⊥AB， 由垂径定理可知AD=DB，AE=EC，结合AB=AC可得AD=AE，利用HL证明Rt△ AEO≌Rt△ADO，得到OE=OD，据此证明.
18．【答案】解：∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴∠ABC=120°，AB=BC．
∵四边形ABMN为正方形，
∴∠ABM=90° ，AB= BM．
∴∠MBC=120°-90°=30，BM=BC．
∴∠BCM=∠BMC=×(180°-30°)=75°．
【解析】【分析】利用正六边形的性质，可证得∠ABC=120°，AB=BC，利用正方形的性质可推出∠ABM=90° ，AB= BM；再求出∠MBC的度数，同时可证得BM=BC，然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCM的度数.
19．【答案】（1）证明：为的直径，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
，
，
在中，由勾股定理可得，
即，
解得：，（舍去），
，
由（1）得：，
，
，
，
的长为.
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠ACD=180°-∠ACB=90°，由已知条件可知DC=BC，AC=AC，利用SAS证明△ACD≌△ACB，得到∠D=∠B，由圆周角定理可得∠B=∠E，据此证明；
（2）设BC=x，则AC=x-2，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得x的值，由（1）得∠D=∠E，则CD=CE，结合DC=CB可得CE=CB，据此解答.
20．【答案】（1）证明：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线
（2）解：∵ 都是 的切线，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）得 是等边三角形，
∴ ，
在 中， ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴当等边 的边长为9时， 与 相切．
【解析】【分析】（1）先证明，再结合OD是的半径，可得DF是的切线；
（2）根据切线的性质可得，再利用“AAS”证出，可得，再结合，证出 是等边三角形，最后求出即可。
21．【答案】（1）解：∵，，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BCD=∠BAD=10°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+10°=70°
（2）解：当γ=2（α+β）时，AD=CD，
∵，，
∴∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=α°+β°，
∵AD=CD，
∴∠ACD=∠DAC，
∵，
∴∠CAD=∠CBD=∠ACD，
∵∠DBA+∠ACD=180°，∠EBD+∠DBA=180°，
∴∠ACD=∠EBD，
∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=2∠ACD=γ°，
∴γ=2（α+β）
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，可求出∠ACB，∠BCD的度数，再根据∠ACD=∠ACB+∠BCD，代入计算求出∠ACD的度数.
（2）利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACB=∠ADB=α°，∠BAD=∠BCD=β°，可得到∠ACD=α°+β°，利用等边对等角可证得∠ACD=∠DAC，再利用圆周角定理可得到∠CAD=∠CBD=∠ACD，利用圆内接四边形的性质可得到∠ACD=∠EBD，由此可推出∠EBC=2∠ACD，即可证得结论.
22．【答案】（1）证明：如图连接OC，
∵OC=OB，点E为BC的中点，
∴OE⊥BC，
∴∠BEO=90°，
∵AB为圆的直径，
∴∠ACB=∠BEO=90°，
∴OD∥AC；
（2）解：连接OC，设圆的半径为r，则OE=r-2，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴∠ABC=30°，
∴∠COA=60°，
由（1）可得，
∴，
∴，
∵△BOC与△AOC等底同高，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）连接OC，由等腰三角形的性质可得OE⊥BC，由AB为圆的直径，可得∠ACB=∠BEO=90°，根据平行线的判定即证；（2）连接OC，设圆的半径为r，则OE=r-2，由勾股定理知，据此建立关于r方程，求出r=4，由线段的中点可得OE=2，从而得出∠ABC=30°，继而得出∠COA=60°， 由（1）可得， 利用垂径定理可得，求出， 根据三角形等底同高可得， 根据，利用扇形的面积公式即可求解．