海南省部分学校2023-2024学年高三上学期11月学业水平诊断（一）数学试题（含解析）

海南省部分学校2023-2024学年高三上学期11月学业水平诊断（一）
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．比尔-朗伯定律是一条有关光吸收的物理定律，常用来描述光在透明介质中传播时的衰减规律，其数学表达式可写为，其中和表示光在穿过介质前、后的强度（单位：lx），x是光在介质中传播的距离（单位：m），其中k是取决于介质特性的常数．若某处湖面的阳光强度为，对于此湖中的水取，则此湖中20m深处的阳光强度约为（参考数据：）（ ）
A．1500 lx B．2000 lx C．3000 lx D．4000 lx
5．已知函数的部分图象如图所示，则的所有可能取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
6．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知，，若，则（ ）
A． B．
C．的最小值为8 D．的最大值为
10．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的零点是
D．的单调递增区间为
11．古希腊的数学家海伦在他的著作《测地术》中最早记录了“海伦公式”：，其中，a，b，c分别为的三个内角A，B，C所对的边，该公式具有轮换对称的特点．已知在中，，且的面积为，则（ ）
A．角A，B，C构成等差数列 B．的周长为36
C．的内切圆面积为 D．边上的中线长度为
12．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数（），写出一个同时满足下列性质①②的的值：________．
①当时，；②在上单调递减．
14．已知，则________．
15．设且，若函数在上单调递增，则a的取值范围是________．
16．已知函数若关于x的方程有4个不相等的实数根，，，，则的取值范围是________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在数列中，，是的前n项和，且数列是公差为的等差数列．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和．
18．（12分）
国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）求这200人年龄的平均数（同一组数据用该组所在区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；
（Ⅲ）现要从年龄在与的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率．
19．（12分）
设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（Ⅰ）求B的值；
（Ⅱ）若，且的面积为1，求的周长．
20．（12分）
如图，在直三棱柱中，M，N分别为棱，的中点，，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值．
21．（12分）
已知抛物线（）的焦点F到双曲线的渐近线的距离是．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段的中垂线与E的准线l交于点P，且线段的中点为M，设，求实数的取值范围．
22．（12分）
已知函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若，函数，且对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
海南省部分学校2023-2024学年高三上学期11月学业水平诊断（一）
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1．答案 A
命题意图 本题考查交集的概念及运算，解一元二次不等式及对数不等式．
解析 由题意知，，所以．
2．答案 B
命题意图 本题考查由存在量词命题求参数范围．
解析 因为，使得，且，故．
3．答案 C
命题意图 本题考查函数零点存在定理的应用，函数零点区间的判定．
解析 ∵函数在上单调递增，又，，∴由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是．
4．答案 D
命题意图 本题考查对数的实际应用以及对数的运算性质．
解析 由，得，所以，代入所给数据得．
5．答案 B
命题意图 本题考查三角函数的图象与性质．
解析 由图可知，的最小正周期为，所以．当时，，得，此时；当时，，得，此时．故只有一个值．
6．答案 D
命题意图 本题考查同角三角函数的化简求值．
解析 ∵，∴，即，∴，∴，得，∴，∴或，∵，且，∴由三角函数定义知，∴，故．
7．答案 C
命题意图 本题考查指数函数、对数函数、正弦函数的性质．
解析 ，，∵，∴，故．
8．答案 B
命题意图 本题考查导数的计算及几何意义．
解析 由题意知，因为与曲线相切，所以，整理得，同理，则a，b是方程的两个实数根，所以，所以．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，选错的得0分．
9．答案 ABC
命题意图 本题考查不等式的性质，以及利用基本不等式求最值问题．
解析 对于A，B，由条件易知，，即，所以，，，故A，B正确；
对于C，，当且仅当，且，即，时，取“”号，故C正确；
对于D，，即，当且仅当，且，即，时，取“”号，故D错误．
10．答案 AC
命题意图 本题考查三角恒等变换与三角函数的性质．
解析 ．
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，当时，，所以不是的图象的对称轴，故B错误；
对于C，由，可得，所以，所以，故C正确；
对于D，由，得，所以函数的单调递增区间为，故D错误．
11．答案 ACD
命题意图 本题考查正弦定理和余弦定理的应用．
解析 对于A，由正弦定理可知，设，，，由余弦定理可得，所以，，故角A，B，C构成等差数列，故A正确；
对于B，根据海伦公式得，，得，所以，，，所以的周长为，故B错误；
对于C，设内切圆的半径为r，则，得，所以的内切圆面积为，故C正确；
对于D，设的中点为，则，在中，，故D正确．
12．答案 BCD
命题意图 本题考查抽象函数的奇偶性、周期性问题．
解析 对于A，由为奇函数得，因此，所以的图象关于点对称，故A错误；
对于B，由为偶函数得，于是，即，所以的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，，从而，所以以4为周期，，在中，令，得，故C正确；
对于D，由前面的分析可得，，所以，故D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案 （负奇数均可）
命题意图 本题考查幂函数的性质．
解析 由①知为奇数，由②知，所以可以取任意负奇数．
14．答案
命题意图 本题考查二倍角公式的应用．
解析 原式
15．答案
命题意图 本题考查利用导数研究函数单调性．
解析 由题意知，当时，，，所以，所以在上单调递减；当时，，，要使，则，整理得，所以，解得．
16．答案
命题意图 本题考查分段函数、函数的零点及函数图象交点的综合问题．
解析 由的解析式作出的大致图象，如图所示．
方程有4个不等实数根等价于的图象与直线有4个不同的公共点，则，不妨令，则由图可知，，，所以，，由，得．所以，设，则，易得在区间上单调递增，所以，即的取值范围是．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查等差数列的基本运算和错位相减法求和．
解析 （1）由已知得，， （2分）
所以，①
当时，，② （3分）
，得， （4分）
也符合该式，
所以． （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以，③ （6分）
，④
，得 （7分）
． （9分）
故． （10分）
18．命题意图 本题考查利用频率分布直方图估计平均数、中位数，及古典概型问题．
解析 （Ⅰ）由图可知，
解得． （2分）
（Ⅱ）平均数为． （5分）
设中位数为x，由已知可得． （6分）
且，
解得，即中位数约为42.1． （8分）
（Ⅲ）年龄在和这两组的人数分别为30，20，
则年龄在的应抽取3人，年龄在的应抽取2人， （10分）
设“从这5人中任选3人，年龄在内的至少有2人”为事件A，
则． （12分）
19．命题意图 本题考查利用正余弦定理及三角形的面积公式解三角形．
解析 （Ⅰ）由条件及正弦定理得， （2分）
∴， （3分）
由余弦定理知， （5分）
又，∴． （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
∴． （7分）
由余弦定理可得，
∴，∴． （9分）
∴，
∴， （11分）
∴的周长为． （12分）
20．命题意图 本题考查线面垂直及二面角的向量求法．
解析 （Ⅰ），
且平面平面，平面平面，
∴平面． （1分）
又平面，∴． （2分）
∵M，N分别为，的中点，∴，∴． （3分）
∴，，∴，
∴，∴， （4分）
又∵，∴平面． （5分）
（Ⅱ）∵平面，，∴以为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图． （6份）
∴，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，
则即可取． （8分）
由（Ⅰ）知平面，故可取平面的法向量． （9分）
∴， （11分）
∴二面角的正弦值为． （12分）
21．命题意图 本题考查抛物线、双曲线的性质，直线与抛物线的综合问题．
解析 （Ⅰ）E的焦点为， （1分）
双曲线的渐近线方程为，不妨取，即． （3分）
由点到直线的距离公式得， （4分）
得． （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，：．
设直线的方程为，
联立消去x并整理，得， （6分）
设，，则，， （7分）
∴． （8分）
易得M点的坐标为，∴的中垂线方程为，
∴，
从而， （10分）
∴，
∴实数的取值范围为． （12分）
22．命题意图 本题考查导数的计算，利用导数研究函数性质．
解析 （Ⅰ）． （1分）
令，得或， （2分）
当或时，，当时，， （3分）
所以在区间和上单调递减，在区间上单调递增． （4分）
（Ⅱ）当时，，
． （6分）
．
当时，，所以恒成立，等价于恒成立． （7分）
由（Ⅰ）知，，在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，即． （9分）
令函数，，则，
所以， （11分）
所以m的取值范围是． （12分）