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2011年—2023年新课标全国卷数学试题分类汇编
2．复数（解析版）
一、选择题
(2023·新高考Ⅰ，2)A【解析】因为，所以，即．
(2023·新高考Ⅱ，1)A【解析】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限．选A．
(2023·全国甲卷，理2)C 【解析】因为，所以，解得：．
(2023·全国甲卷，文2)C【解析】，故选：C．
(2023·全国乙卷，理1)B【解析】由题意可得，则．
(2023·全国乙卷，文1) C 【解析】由题意可得，则．故选：C．
(2022·新高考Ⅰ，2)【答案】D【解析】由题设有，故，故．
(2022·新高考Ⅱ，2) 【答案】D【解析】，故选：D.
(2022·全国甲卷，理1) 【答案】C【解析】，，故选 ：C
(2022·全国甲卷，文3)D【解析】因为，所以，所以．故选：D．
(2022·全国乙卷，理2)A【解析】，
由,得,即，故选:．
(2022·全国乙卷，文2)A【解析】因为R，，所以，解得：．故选：A．
(2021·新高考Ⅰ，2) 因为，故，故，故选：C.
(2021·新高考Ⅱ，1)，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，选A.
(2021·全国甲卷，文理3) ，选B.
(2021·全国乙卷，理1 【答案】C【解析】设，则，则，所以，，解得，因此，.故选：C.
(2021·全国乙卷，文2)【答案】C由题意可得：.故选：C.
(2020·新高考Ⅰ，2)D 【解析】，故选：D
(2020·全国卷Ⅰ，理1)D 【解析】由题意可得：，则．
故．故选：D．
(2020·全国卷Ⅰ，文2)C 【解析】因为，所以．故选：C．
(2020·全国卷Ⅱ，文2)A 【解析】．
(2020·全国卷Ⅲ，理2)D【解析】因为，所以复数的虚部为．
(2020·全国卷Ⅲ，文2)D 【解析】因为，所以．
(2019·全国卷Ⅰ，理2)C 解析：由在复平面内对应的点为，可得，故，由，得，化简得。
(2019·全国卷Ⅰ，文1)C 解析：由，得．
(2019·全国卷Ⅱ，理2)C 解析：与复平面内的点对应，位于第三象限.
(2019·全国卷Ⅱ，文2)D 解析：，所以，选D．
(2019·全国卷Ⅲ，理2)D 解析：．
(2019·全国卷Ⅲ，文2)D 解析：．
(2018·新课标Ⅰ，理1)C解析：，则.
(2018·新课标Ⅰ，文2)C解析：，则.
（2018·新课标Ⅱ，理1）C 【解析】
(2018·新课标Ⅱ，文1) D 解析：.
（2018·新课标Ⅲ，理2）D 解析：，选D.
(2018·新课标Ⅲ，文2)D解析：，选D.
（2017·新课标Ⅰ，理3）B 解析：设，则，得到，所以．故正确；若，满足，而，不满足，故不正确；
若，，则，满足，而它们实部不相等，不是共轭复数，故不正确；
实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确；
（2017·新课标Ⅱ，文2）B 解析：由题意(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i，故选B .
（2017·新课标Ⅱ，理1）D【解析】 ．
(2017·新课标Ⅰ，文3)C解析：，故选C
（2017·新课标Ⅲ，理2）C，由题意，，则.
(2017·新课标Ⅲ，文2)C 解析：，所以该复数位于第三象限．故选C．
（2016·新课标Ⅰ，2）B解析：由可知：，故，解得：．所以，．故选B．
（2016·新课标Ⅱ，理1）A解析：∴，，∴，故选A．
（2016·新课标Ⅲ，2）C解析：易知，故，，选C
(2016·新课标Ⅰ，文2)A解析： 由题意，故，解得．
（2016·新课标Ⅱ，文2）C解析：由得，，故，故选C.
(2016·新课标Ⅲ，文2)D解析：因，则其共轭复数为，其模为，故．故选D．
（2015·新课标Ⅰ，理1）A解析：由得，即，，=1，选A．
(2015·新课标Ⅰ，文3)C解析：z=．
（2015·新课标Ⅱ，理2）B解析：由已知得4a + (a2 -4)i = -4i，所以4a = 0，a2 -4 = -4，解得a = 0，故选B.
（2015·新课标Ⅱ，文2）D解析：由题意可得，故选D.
（2014·新课标Ⅰ，理2）D解析：∵=，选D.
(2014·新课标Ⅰ，文3)B解析：．，故选B．
（2014·新课标Ⅱ，理2）A解析：∵，复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴，
∴. 故选A.
（2014·新课标Ⅱ，文2）B解析： 故选B.
（2013·新课标Ⅰ，理2）D解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴.
(2013·新课标Ⅰ，文2)B解析：＝.
（2013·新课标Ⅱ，理2）A解析：由(1-i)·z=2i，得＝＝－1＋i .
（2013·新课标Ⅱ，文2）C解析：，所以，故选C.
（2012·新课标Ⅰ，理3）C解析：因为，所以，，的共轭复数为，的虚部为，所以，为真命题，故选择C．
(2012·新课标Ⅰ，文2)D解析：因为，所以．
（2011·新课标Ⅰ，理1）C解析：=共轭复数为C.
(2011·新课标Ⅰ，文2)C解析：.
二、填空题
(2020·全国卷Ⅱ，理15)【解析】，可设，，
，
，两式平方作和得：，
．
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2011年—2023年新课标全国卷数学分类汇编
（含全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷）
（附详细答案）
编写说明：研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等有一定规律．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．
本资料是根据全国卷的特点精心编写，共包含9个专题，分别是：
1．集合、逻辑、不等式 2．复数 3．平面向量 4．函数与导数 5．三角函数与解三角形
6．数列 7．立体几何 8．解析几何 9．概率与统计
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2．复数
一、选择题
(2023·新高考Ⅰ，2)已知，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
(2023·新高考Ⅱ，1)在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2023·全国甲卷，理2)设，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
(2023·全国甲卷，文2)（ ）
A． B．1 C． D．
(2023·全国乙卷，理1)设，则（ ）
A． B． C． D．
(2023·全国乙卷，文1) （ ）
A．1 B．2 C． D．5
(2022·新高考Ⅰ，2)若，则（ ）
A． B． C． 1 D． 2
(2022·新高考Ⅱ，2)（ ）
A. B. C. D.
(2022·全国甲卷，理1) 若，则（ ）
A． B． C． D．
(2022·全国甲卷，文3)若．则（ ）
A． B． C． D．
(2022·全国乙卷，理2)已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
(2022·全国乙卷，文2)设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
(2021·新高考Ⅰ，2) 已知，则（ ）
A. B. C. D.
(2021·新高考Ⅱ，1)复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
(2021·全国甲卷，文理3) 已知，则（ ）
A. B. C. D.
(2021·全国乙卷，理1)设，则（ ）
A. B. C. D.
(2021·全国乙卷，文2)设，则（ ）
A. B. C. D.
(2020·新高考Ⅰ，2)（ ）
A．1 B． 1 C．i D． i
(2020·全国卷Ⅰ，理1)若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
(2020·全国卷Ⅰ，文2)若，则（ ）
A．0 B．1 C D．2
(2020·全国卷Ⅱ，文2)（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4 C．–4i D．4i
(2020·全国卷Ⅲ，理2)复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
(2020·全国卷Ⅲ，文2)若，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
(2019·全国卷Ⅰ，理2)设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A． B． C． D．
(2019·全国卷Ⅰ，文1)设，则=（ ）
A．2 B． C． D．1
(2019·全国卷Ⅱ，理2)设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2019·全国卷Ⅱ，文2)设，则（ ）
A． B． C． D．
(2019·全国卷Ⅲ，文理2)若，则（ ）
A． B． C． D．
(2018·新课标Ⅰ，理1文2)设，则（ ）
A. B. C. D.
（2018·新课标Ⅱ，理1）（ ）
A． B． C． D．
(2018·新课标Ⅱ，文1)（ ）
A． B． C． D．
（2018·新课标Ⅲ，文理2）（ ）
A． B． C． D．
（2017·新课标Ⅰ，理3）设有下面四个命题
若复数满足，则；若复数满足，则；
若复数满足，则；若复数，则．
其中的真命题为（ ）
A． B． C． D．
(2017·新课标Ⅰ，文3)下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A． B． C． D．
（2017·新课标Ⅱ，理1）（ ）
A． B． C． D．
（2017·新课标Ⅱ，文2）（ ）
A. B. C. D.
（2017·新课标Ⅲ，理2）设复数满足，则（ ）.
A． B． C． D．2
(2017·新课标Ⅲ，文2)复平面内表示复数的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2016·新课标Ⅰ，理2）设，其中是实数，则（ ）
A． B． C． D．
(2016·新课标Ⅰ，文2)设的实部与虚部相等，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
（2016·新课标Ⅱ，理1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．（-3，1） B．（-1，3） C．（1，+∞） D．（-∞，-3）
（2016·新课标Ⅱ，文2）设复数z满足，则=（ ）
A． B． C． D．
（2016·新课标Ⅲ，理2）若，则
A. 1 B. C. D.
(2016·新课标Ⅲ，文2)若，则( )
A．1 B． C． D．
（2015·新课标Ⅰ，1）设复数满足，则=（ ）
A．1 B． C． D．2
(2015·新课标Ⅰ，文3)已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=( )
A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i
（2015·新课标Ⅱ，2）若a为实数且(2+ai)(a-2i) = -4i，则a =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
（2015·新课标Ⅱ，文2）若为实数，且，则（ ）
A. -4 B. -3 C. 3 D. 4
（2014·新课标Ⅰ，理2）=（ ）
. . . .
(2014·新课标Ⅰ，文3)设，则|z|=( )
A． B． C． D．2
（2014·新课标Ⅱ，理2）设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）
A．- 5 B．5 C．- 4 + i D．- 4 - i
（2014·新课标Ⅱ，文2）（ ）
A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i
（2013·新课标Ⅰ，理2）若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )．
A．－4 B． C．4 D．
(2013·新课标Ⅰ，文2)＝( )
A． B． C． D．
（2013·新课标Ⅱ，理2）设复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
（2013·新课标Ⅱ，文2）（ ）
A． B．2 C． D．1
（2012·新课标Ⅰ，理3）下面是关于复数的四个命题：
：；：；：的共轭复数为；：的虚部为．
其中的真命题为（ ）
A．， B．， C．， D．，
(2012·新课标Ⅰ，文2)复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
（2011·新课标Ⅰ，理1）复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
(2011·新课标Ⅰ，文2)复数（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
(2020·全国卷Ⅱ，理15)设复数，满足，，则=__________．
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2011年—2023年新课标全国卷数学试题分类汇编
2．复数（解析版）
一、选择题
(2023·新高考Ⅰ，2)已知，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】因为，所以，即．故选：A．
(2023·新高考Ⅱ，1)在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，则所求复数对应的点为，位于第一象限．选A．
(2023·全国甲卷，理2)设，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】因为，所以，解得：．
(2023·全国甲卷，文2)（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】，故选：C．
(2023·全国乙卷，理1)设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，则．故选：B．
(2023·全国乙卷，文1) （ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【解析】由题意可得，则．
故选：C．
(2022·新高考Ⅰ，2)若，则（ ）
A． B． C． 1 D． 2
【答案】D【解析】由题设有，故，故．
(2022·新高考Ⅱ，2)（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，故选：D.
(2022·全国甲卷，理1) 若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故选 ：C
(2022·全国甲卷，文3)若．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以．故选：D．
(2022·全国乙卷，理2)已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
由,得,即，故选:．
(2022·全国乙卷，文2)设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为R，，所以，解得：．故选：A．
(2021·新高考Ⅰ，2) 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】因为，故，故，故选：C.
(2021·新高考Ⅱ，1)复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A 【解析】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，选A.
(2021·全国甲卷，文理3) 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】，.选：B.
(2021·全国乙卷，理1)设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则，则，
所以，，解得，因此，.故选：C.
(2021·全国乙卷，文2)设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得：.故选：C.
(2020·新高考Ⅰ，2)（ ）
A．1 B． 1 C．i D． i
【答案】D 【解析】，故选：D
(2020·全国卷Ⅰ，理1)若，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】D 【解析】由题意可得：，则．
故．故选：D．
(2020·全国卷Ⅰ，文2)若，则（ ）
A．0 B．1 C D．2
【答案】C 【解析】因为，所以．故选：C．
(2020·全国卷Ⅱ，文2)（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4 C．–4i D．4i
【答案】A 【解析】．
(2020·全国卷Ⅲ，理2)复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 【解析】因为，所以复数的虚部为．
(2020·全国卷Ⅲ，文2)若，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
【答案】D 【解析】因为，所以．
(2019·全国卷Ⅰ，理2)设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C 解析：由在复平面内对应的点为，可得，故，由，得，化简得。
(2019·全国卷Ⅰ，文1)设，则=（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】C 解析：由，得．
(2019·全国卷Ⅱ，理2)设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C 解析：与复平面内的点对应，位于第三象限.
(2019·全国卷Ⅱ，文2)设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 解析：，所以，选D．
(2019·全国卷Ⅲ，理2)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 解析：．
(2019·全国卷Ⅲ，文2)若，则z=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 解析：．
(2018·新课标Ⅰ，理1)设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C解析：，则，故选C.
(2018·新课标Ⅰ，文2)设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C解析：，则，故选C.
（2018·新课标Ⅱ，理1）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C 【解析】
(2018·新课标Ⅱ，文1)（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 解析：.
（2018·新课标Ⅲ，理2）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 解析：，选D.
(2018·新课标Ⅲ，文2)（ ）
A． B． C． D．
【答案】D解析：，选D.
（2017·新课标Ⅰ，理3）设有下面四个命题
若复数满足，则；若复数满足，则；
若复数满足，则；若复数，则．
其中的真命题为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 解析：设，则，得到，所以．故正确；
若，满足，而，不满足，故不正确；
若，，则，满足，而它们实部不相等，不是共轭复数，故不正确；
实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确；
（2017·新课标Ⅱ，文2）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B 解析：由题意(1+i)(2+i)=2+3i+i2=1+3i，故选B .
（2017·新课标Ⅱ，理1）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】 ．
(2017·新课标Ⅰ，文3)下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C解析：，故选C
（2017·新课标Ⅲ，理2）设复数满足，则（ ）.
A． B． C． D．2
【答案】C 解析 由题意，，则.故选C.
(2017·新课标Ⅲ，文2)复平面内表示复数的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C 解析：，所以该复数位于第三象限．故选C．
（2016·新课标Ⅰ，2）设，其中是实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B解析：由可知：，故，解得：．所以，．故选B．
（2016·新课标Ⅱ，理1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-3，1） B．（-1，3） C．（1，+∞） D．（-∞，-3）
【答案】A解析：∴，，∴，故选A．
（2016·新课标Ⅲ，2）若，则
A. 1 B. C. D.
【答案】C解析：易知，故，，选C
(2016·新课标Ⅰ，文2)设的实部与虚部相等，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A解析： 由题意，故，解得．
（2016·新课标Ⅱ，文2）设复数z满足，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C解析：由得，，故，故选C.
(2016·新课标Ⅲ，文2)若，则( )
A．1 B． C． D．
【答案】D解析：因，则其共轭复数为，其模为，故．故选D．
（2015·新课标Ⅰ，理1）设复数满足，则=（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A解析：由得，即，，=1，选A．
(2015·新课标Ⅰ，文3)已知复数z满足(z-1)i=1+i，则z=( )
A．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i
【答案】C解析：z=．
（2015·新课标Ⅱ，理2）若a为实数且(2+ai)(a-2i) = -4i，则a =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B解析：由已知得4a + (a2 -4)i = -4i，所以4a = 0，a2 -4 = -4，解得a = 0，故选B.
（2015·新课标Ⅱ，文2）若为实数，且，则（ ）
A. -4 B. -3 C. 3 D. 4
【答案】D解析：由题意可得，故选D.
（2014·新课标Ⅰ，理2））=（ ）
. . . .
【答案】D解析：∵=，选D.
(2014·新课标Ⅰ，文3)设，则|z|=( )
A． B． C． D．2
【答案】B解析：．，故选B．
（2014·新课标Ⅱ，理2）设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）
A．- 5 B．5 C．- 4 + i D．- 4 - i
【答案】A解析：∵，复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴，
∴. 故选A.
（2014·新课标Ⅱ，文2）（ ）
A．1+2i B．-1+2i C．1-2i D．-1-2i
【答案】B解析： 故选B.
（2013·新课标Ⅰ，理2）若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )．
A．－4 B． C．4 D．
【答案】D解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴. 故z的虚部为.
(2013·新课标Ⅰ，文2)＝( )
A． B． C． D．
【答案】B解析：＝.
（2013·新课标Ⅱ，理2）设复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A解析：由(1-i)·z=2i，得＝＝－1＋i .
（2013·新课标Ⅱ，文2）（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C解析：，所以，故选C.
（2012·新课标Ⅰ，理3）下面是关于复数的四个命题：
：；：；：的共轭复数为；：的虚部为．
其中的真命题为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C解析：因为，所以，，
的共轭复数为，的虚部为，所以，为真命题，故选择C．
(2012·新课标Ⅰ，文2)复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D解析：因为，所以．
（2011·新课标Ⅰ，理1）复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C解析：=共轭复数为C.
(2011·新课标Ⅰ，文2)复数（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C解析：.
二、填空题
(2020·全国卷Ⅱ，理15)设复数，满足，，则=__________．
【答案】
【解析】，可设，，
，
，两式平方作和得：，
化简得：
故答案为：．
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