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2011年—2023年新课标全国卷数学试题分类汇编
4．平面向量（逐题解析版）
一、选择题
(2023·新高考Ⅰ，3)【答案】D【解析】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．
(2023·全国甲卷，理4)【答案】D【解析】因为,所以，即,即,所以．如图,设，由题知,是等腰直角三角形，AB边上的高，所以，，．故选:D．
(2023·全国甲卷，文3)B【解析】因为，所以，
则，，
所以．故选：B．
(2023·全国乙卷，理12)【答案】A【解析】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得，当点位于直线异侧时，设，
则：
，则，当时，有最大值．
当点位于直线同侧时，设，则：
,，则，当时，有最大值．综上可得，的最大值为．故选A．
(2023·全国乙卷，文6)【答案】B【解析】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；
方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，
所以．故选：B．
(2022·新高考Ⅰ，3)【答案】B【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，所以．
(2022·新高考Ⅱ，4)C【解析】,,即,解得.
(2022·全国乙卷，理3)C【解析】∵，又∵
∴9，∴，故选：C．
(2022·全国乙卷，文3) D【解析】因为，所以．
(2021·新高考Ⅰ，10) 【答案】AC 【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，，错误；
(2020·新高考Ⅰ，7)A 【解析】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A．
(2020·全国卷Ⅱ，文5)D 【解析】由已知可得：．
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意．
(2020·全国卷Ⅲ，理5)D【解析】，，，．
，因此，．故选：D．
(2019·全国卷Ⅰ，理7)B解析：设与的夹角为，∵，∴，∴，∴.
(2019·全国卷Ⅰ，文8)B解析：设与的夹角为，∵，∴，∴，∴.
(2019·全国卷Ⅱ，理3)C 解析：，又，所以，则，.
(2019·全国卷Ⅱ，文3)A 解析：，所以
(2018·新课标Ⅰ，理6) A解析：如图所示，， . 选A。
(2018·新课标Ⅰ，文7) A解析：如图所示，，，. 选A。
（2018·新课标Ⅱ，4）B 解析：．
解法二：特值法：设，，则，故．
(2018·新课标Ⅱ，文4)B 解析：解法一：常规解法
解法二：特值法：设，，则，故
（2017·新课标Ⅱ，理12）B解析：解法一：建系法，连接，，，.
，∴ ，∴
∴，∴ ，∴最小值为
解法二：均值法：∵，∴
由上图可知：；两边平方可得
∵ ，∴ ，∴ ，∴最小值为.
（2017·新课标Ⅱ，文4）A解析：由平方得，即，则，故选A.
（2017·新课标Ⅲ，理12）A 解析：由题意，画图．设与切于点，联结．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为．因为，．所以．因为切于点．所以⊥．所以是中斜边上的高．
，即的半径为．
因为在上．所以点的轨迹方程为．
设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：，
而，，．因为，
所以，．
两式相加得：，
(其中，)，当且仅当，时，取得最大值3．故选A.
（2016·新课标Ⅱ，3）D解析： ，∵，∴，解得
（2016·新课标Ⅲ，理3）A解析：法一：，
法二：可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知
(2016·新课标Ⅲ，文3)A 解析 因为，，，所以．由，所以．
（2015·新课标Ⅰ，理7）A解析：.
(2015·新课标Ⅰ，文2)解：=(-7,-4)，故选A
（2015·新课标Ⅱ，文4）C解析：由题意可得a2=2，a·b=-3，所以(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
(2014·新课标Ⅰ，文6)解：=,故选A
（2014·新课标Ⅱ，理3）A解析：两式相减得：.
（2014·新课标Ⅱ，文4）A解析：两式相减，则
【2011·新课标Ⅰ，10】【答案】A解析： 得， ，．由得，．
二、填空题
(2023·新高考Ⅱ，13)【解析】法一：因为，即，
则，整理得，又因为，即，
则，所以．
法二：设，则，由题意可得：，则，整理得：，即．故答案为：．
(2022·全国甲卷，文13)【解析】由题意知：，解得．
(2022·全国甲卷，理13)【答案】【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，又，，所以，所以．
(2021·新高考Ⅱ，15) 【解析】
因此，.
(2021·全国甲卷，文13) 【解析】∵，∴，∴.
(2021·全国甲卷，理14)【答案】.【解析】,，解得,故答案为：.
(2021·全国乙卷，理14)【解析】因为，所以由可得，，解得．
(2021·全国乙卷，文13)【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.
(2020·全国卷Ⅰ，理14)【解析】因为为单位向量，所以，
所以，解得：，
所以
(2020·全国卷Ⅰ，文14)5【解析】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5．
(2020·全国卷Ⅱ，理13)【答案】【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：．
(2019·全国卷Ⅲ，理13)【答案】 解析：因为，，所以，
，所以，所以．
(2019·全国卷Ⅲ，文13)【答案】 解析：已知，则
，.
【基本解法2】根据计算出，则,建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中画出向量，对应的有向线段，利用余弦定理亦可以求得
（2018·新课标Ⅲ，理13） 解析：，∵，∴，解得.
(2018·新课标Ⅲ，文13)解析：，∵，∴，解得.
(2017·新课标Ⅰ，文13)由题得，因为，所以，解得；
【2017·新课标Ⅰ，理13】 解析：，∴；
【法二】令由题意得，，且夹角为，所以的几何意义为以夹角为的平行四边形的对角线所在的向量，易得；
(2017·新课标Ⅰ，文13)解析：．由题意，解得．故填．
(2017·新课标Ⅲ，文13)解析：因为，所以，即，解得．
【2016·新课标Ⅰ，13】【解析】由已知得：，∴，解得．
（2016·新课标Ⅱ，文13）-6解析：因为a∥b，所以，解得．
（2015·新课标Ⅱ，13）解析：因为向量与平行，所以，则，所以．
【2014·新课标Ⅰ，15】 【解析】∵，∴O为线段BC中点，故BC为的直径，∴，∴与的夹角为．
【2013·新课标Ⅰ，理13】2 解析：∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2，又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，0＝＋1－t，∴ t＝2.
(2013·新课标Ⅰ，文13)解析：． ∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝．
∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0．∴＋1－t＝0． ∴t＝2．
（2013·新课标Ⅱ，13）2解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则＝(1,2)，＝(-2, 2)，所以.
（2013·新课标Ⅱ，文14）2解析：在正方形中，，，所以.
【2012·新课标Ⅰ，13】【解析】由已知，因为，所以，即， 解得．
(2012·新课标Ⅰ，文15)【解析】． 由已知．
因为，所以，即， 解得．
(2011·新课标Ⅰ，文13)因为与为两个不共线的单位向量，所以．
又与垂直，所以，
即，所以，
即．（为与的夹角）
所以，又与不共线，所以，所以．故答案为．
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2011年—2023年新课标全国卷数学试题分类汇编
4．平面向量（逐题解析版）
一、选择题
(2023·新高考Ⅰ，3)已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，，
由可得，，即，整理得：．故选：D．
(2023·全国甲卷，理4)已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为,所以，即,即,所以．
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形，AB边上的高,
所以，,
．故选:D．
(2023·全国甲卷，文3)已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
则，，
所以．
故选：B．
(2023·全国乙卷，理12)已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得
当点位于直线异侧时，设，则：
，则，当时，有最大值．
当点位于直线同侧时，设，则：
，则，当时，有最大值．
综上可得，的最大值为．
故选：A．
(2023·全国乙卷，文6)正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【解析】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以．
故选：B．
(2022·新高考Ⅰ，3)在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
(2022·新高考Ⅱ，4)已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】,,即,解得,故选：C
(2022·全国乙卷，理3)已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】∵，又∵
∴9，∴，故选：C．
(2022·全国乙卷，文3) 已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为，所以．故选：D
(2021·新高考Ⅰ，10) 已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】AC
【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，，错误；
故选：AC
(2020·新高考Ⅰ，7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，故选：A．
(2020·全国卷Ⅱ，文5)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）
A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b
【答案】D
【解析】由已知可得：．
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意．
(2020·全国卷Ⅲ，理5)已知向量a，b满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，，．
，
因此，．
故选：D．
(2019·全国卷Ⅰ，理7)已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B解析：设与的夹角为，∵，∴，∴，∴.
(2019·全国卷Ⅰ，文8)已知非零向量a，b满足=2，且（a-b）b，则a与b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B解析：设与的夹角为，∵，∴，∴，∴.
(2019·全国卷Ⅱ，理3)已知，，，则=（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C 解析：，又，所以，则，.
(2019·全国卷Ⅱ，文3)已知向量，则（ ）
A． B．2 C．5 D．50
【答案】A 解析：，所以
(2018·新课标Ⅰ，理6) 在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A解析：如图所示，，
. 选A。
(2018·新课标Ⅰ，文7) 在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A解析：如图所示，，
. 选A。
（2018·新课标Ⅱ，4）已知向量，满足，，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B 解析：．
解法二：特值法：设，，则，故．
(2018·新课标Ⅱ，文4)已知向量，满足，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B 解析：解法一：常规解法
解法二：特值法：设，，则，故
（2017·新课标Ⅱ，理12）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B解析：解法一：建系法，连接，，，.
，∴ ，∴
∴，∴ ，∴最小值为
解法二：均值法：∵，∴
由上图可知：；两边平方可得
∵ ，∴ ，∴ ，∴最小值为.
（2017·新课标Ⅱ，文4）设非零向量，满足则（ ）
A．⊥ B. C. ∥ D.
【答案】A解析：由平方得，即，则，故选A.
（2017·新课标Ⅲ，理12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）.
A．3 B． C. D．2
【答案】A 解析：由题意，画图．
设与切于点，联结．以为原点，为轴正半轴，
为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为．
因为，．所以．
因为切于点．所以⊥．所以是中斜边上的高．
，即的半径为．
因为在上．所以点的轨迹方程为．
设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：，
而，，．
因为，
所以，．
两式相加得：
， (其中，)
当且仅当，时，取得最大值3．故选A.
（2016·新课标Ⅱ，3）已知向量，且，则m =（ ）
A．-8 B．-6 C．6 D．8
【答案】D解析： ，∵，∴，解得，选D．
（2016·新课标Ⅲ，理3）已知向量，=(，)，则
A. 30° B. 45° C. 60° D.120°
【答案】A解析：法一：，
法二：可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知
(2016·新课标Ⅲ，文3)已知向量，，则( )
A． B． C． D．
【答案】A 解析 因为，，，所以．
由，所以．故选A．
（2015·新课标Ⅰ，理7）设为所在平面内一点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A解析：，选A．.
(2015·新课标Ⅰ，文2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量，则向量( )
A．(-7,-4) B．(7,4) C．(-1,4) D．(1,4)
解：=(-7,-4)，故选A
（2015·新课标Ⅱ，文4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b)·a =（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】C解析：由题意可得a2=2，a·b=-3，所以(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
(2014·新课标Ⅰ，文6)设D,E,F分别为ΔABC的三边BC,CA,AB的中点，则( )
A． B． C． D．
解：=,故选A
（2014·新课标Ⅱ，理3）设向量满足，，则=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A解析：两式相减得：.
（2014·新课标Ⅱ，文4）设向量满足，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A解析：两式相减，则
【2011·新课标Ⅰ，10】已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
其中的真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A解析： 得， ，．由得，． 选A．
二、填空题
(2023·新高考Ⅱ，13)已知向量，满足，，则______．
【答案】
【解析】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以．
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即．
故答案为：．
(2022·全国甲卷，文13)已知向量．若，则______________．
【答案】【解析】由题意知：，解得．
(2022·全国甲卷，理13)设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
【答案】
【解析】设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
(2021·新高考Ⅱ，15) 已知向量，，，_______．
【解析】由已知可得，
因此，.
(2021·全国甲卷，文13)若向量满足，则_________.
【答案】
【解析】∵，∴，∴.
(2021·全国甲卷，理14)已知向量．若，则________．
【答案】.
【解析】,，解得,故答案为：.
(2021·全国乙卷，理14)已知向量，若，则__________．
【解析】因为，所以由可得，
，解得．
(2021·全国乙卷，文13)已知向量，若，则_________．
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.
(2020·全国卷Ⅰ，理14)设为单位向量，且，则______________．
【答案】【解析】因为为单位向量，所以，
所以，解得：，
所以
(2020·全国卷Ⅰ，文14)设向量，若，则______________．
【答案】5
【解析】由可得，又因为，所以，即，故答案为：5．
(2020·全国卷Ⅱ，理13)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________．
【答案】
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：．
(2019·全国卷Ⅲ，理13)已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则cos
=_____________．
【答案】 解析：因为，，所以，
，所以，所以．
(2019·全国卷Ⅲ，文13)已知向量，则___________．
【答案】 解析：已知，则
，.
【基本解法2】根据计算出，则,建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中画出向量，对应的有向线段，利用余弦定理亦可以求得
（2018·新课标Ⅲ，理13）已知向量，，．若，则________．
【答案】 解析：，∵，∴，解得.
(2018·新课标Ⅲ，文13)已知向量，，．若，则________．
【答案】解析：，∵，∴，解得.
(2017·新课标Ⅰ，文13)已知向量，，若向量与垂直，则 ．
【解析】由题得，因为，所以，解得；
【2017·新课标Ⅰ，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2， | b |=1，则| a +2 b |= ．
【答案】 解析：，
∴；
【法二】令由题意得，，且夹角为，所以的几何意义为以夹角为的平行四边形的对角线所在的向量，易得；
(2017·新课标Ⅰ，文13)设向量，，且，则 ．
解析：．由题意，解得．故填．
(2017·新课标Ⅲ，文13)知向量，，且，则 ．
【答案】 解析：因为，所以，即，解得．
【2016·新课标Ⅰ，13】设向量a，b，且abab，则 ．
【答案】【解析】由已知得：，∴，解得．
（2016·新课标Ⅱ，文13）已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.
【答案】-6解析：因为a∥b，所以，解得．
（2015·新课标Ⅱ，13）设向量a，b不平行，向量与平行，则实数= ____________．
【答案】解析：因为向量与平行，所以，则，所以．
【2014·新课标Ⅰ，15】已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 .
【答案】 【解析】∵，∴O为线段BC中点，故BC为的直径，∴，∴与的夹角为．
【2013·新课标Ⅰ，理13】已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.
【答案】2 解析：∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2，又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，0＝＋1－t，∴ t＝2.
(2013·新课标Ⅰ，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b．若b·c＝0，则t＝______．
解析：． ∵b·c＝0，|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝．
∴b·c＝[ta＋(1－t)b]·b＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0．∴＋1－t＝0． ∴t＝2．
（2013·新课标Ⅱ，13）已知正方形的边长为2，为的中点，则_______.
【答案】2解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则＝(1,2)，＝(-2, 2)，所以.
（2013·新课标Ⅱ，文14）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_______.
【答案】2解析：在正方形中，，，所以.
【2012·新课标Ⅰ，13】已知向量，夹角为45°，且，，则_________．
【答案】【解析】由已知，因为，所以，即， 解得．
(2012·新课标Ⅰ，文15)已知向量，夹角为45°，且，，则_________．
【解析】． 由已知．
因为，所以，即， 解得．
(2011·新课标Ⅰ，文13)已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则 ．
【解析】因为与为两个不共线的单位向量，所以．
又与垂直，所以，
即，所以，
即．（为与的夹角）
所以，又与不共线，所以，所以．故答案为．
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2011年—2023年新课标全国卷数学分类汇编
（含全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷）
（附详细答案）
编写说明：研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等有一定规律．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．
本资料是根据全国卷的特点精心编写，共包含9个专题，分别是：
1．集合、逻辑、不等式 2．复数 3．平面向量 4．函数与导数 5．三角函数与解三角形
6．数列 7．立体几何 8．解析几何 9．概率与统计
2011年—2023年新课标全国卷数学试题分类汇编
4．平面向量
一、选择题
(2023·新高考Ⅰ，3)已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
(2023·全国甲卷，理4)已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
(2023·全国甲卷，文3)已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
(2023·全国乙卷，理12)已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
(2023·全国乙卷，文6)正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
(2022·新高考Ⅰ，3)在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
(2022·新高考Ⅱ，4)已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
(2022·全国乙卷，理3)已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
(2022·全国乙卷，文3) 已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
(2021·新高考Ⅰ，10) 已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A B. C. D.
(2021·全国甲卷，文13)若向量满足，则_________.
(2021·全国甲卷，理14)已知向量．若，则________．
(2020·新高考Ⅰ，7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（ ）
A． B． C． D．
(2020·全国卷Ⅱ，文5)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是（ ）
A．a+2b B．2a+b C．a–2b D．2a–b
(2020·全国卷Ⅲ，理5)已知向量a，b满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
(2019·全国卷Ⅰ，理7)已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
(2019·全国卷Ⅰ，文8)已知非零向量a，b满足=2，且（a-b）b，则a与b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
(2019·全国卷Ⅱ，理3)已知，，，则=（ ）
A． B． C．2 D．3
(2019·全国卷Ⅱ，文3)已知向量，则（ ）
A． B．2 C．5 D．50
(2018·新课标Ⅰ，理6) 在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
(2018·新课标Ⅰ，文7)在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
（2018·新课标Ⅱ，理4）已知向量，满足，，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
(2018·新课标Ⅱ，文4)已知向量，满足，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
（2017·新课标Ⅱ，12理）已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
（2017·新课标Ⅱ，文4）设非零向量，满足则（ ）
A．⊥ B. C. ∥ D.
（2017·新课标Ⅲ，12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）
A．3 B． C. D．2
（2016·新课标Ⅱ，3）已知向量，且，则m =（ ）
A．-8 B．-6 C．6 D．8
（2016·新课标Ⅲ，3理）已知向量，=(，)，则
A. 30° B. 45° C. 60° D.120°
(2016·新课标Ⅲ，文3)已知向量，，则( )
A． B． C． D．
（2015·新课标Ⅰ，7理）设为所在平面内一点，则（ ）
A． B．
C． D．
(2015·新课标Ⅰ，文2)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量，则向量( )
A．(-7,-4) B．(7,4) C．(-1,4) D．(1,4)
（2015·新课标Ⅱ，文4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b)·a =（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
(2014·新课标Ⅰ，文6)设D,E,F分别为ΔABC的三边BC,CA,AB的中点，则( )
A． B． C． D．
（2014·新课标Ⅱ，3理）设向量满足，，则=（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
（2014·新课标Ⅱ，文4）设向量满足，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
（2011·新课标Ⅰ，10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
其中的真命题是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
(2023·新高考Ⅱ，13)已知向量，满足，，则______．
(2022·全国甲卷，文13)已知向量．若，则______________．
(2022·全国甲卷，理13)设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
(2021·新高考Ⅱ，15) 已知向量，，，_______．
(2021·全国甲卷，理14)已知向量．若，则________．
(2021·全国甲卷，文13)若向量满足，则_________.
(2021·全国乙卷，理14)已知向量，若，则__________．
(2021·全国乙卷，文13)已知向量，若，则_________．
(2020·全国卷Ⅰ，理14)设为单位向量，且，则______________．
(2020·全国卷Ⅰ，文14)设向量，若，则______________．
(2020·全国卷Ⅱ，理13)已知单位向量a，b的夹角为45°，ka–b与a垂直，则k=__________．
(2019·全国卷Ⅲ，理13)已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则cos=_____________．
(2019·全国卷Ⅲ，文13)已知向量，则___________．
（2018·新课标Ⅲ，理13）已知向量，，．若，则________．
(2018·新课标Ⅲ，文13)已知向量，，．若，则________．
（2017·新课标Ⅰ，理13）已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2， | b |=1，则| a +2 b |= ．
(2017·新课标Ⅰ，文13)已知向量，，若向量与垂直，则 ．
(2017·新课标Ⅲ，文13)知向量，，且，则 ．
（2016·新课标Ⅰ，理13）设向量a，b，且abab，则 ．
(2016·新课标Ⅰ，文13)设向量，，且，则 ．
（2016·新课标Ⅱ，文13）已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.
（2015·新课标Ⅱ，13）设向量a，b不平行，向量与平行，则实数= ____________．
（2014·新课标Ⅰ，15）已知A，B，C是圆O上的三点，若，则与的夹角为 .
（2013·新课标Ⅰ，理13）已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.
(2013·新课标Ⅰ，文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b．若b·c＝0，则t＝______．
（2013·新课标Ⅱ，理13）已知正方形的边长为2，为的中点，则_______.
（2013·新课标Ⅱ，文14）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_______.
（2012·新课标Ⅰ，理13）已知向量，夹角为45°，且，，则_________．
(2012·新课标Ⅰ，文15)已知向量，夹角为45°，且，，则_________．
(2011·新课标Ⅰ，文13)已知与为两个不共线的单位向量，为实数，若向量与向量垂直，则 ．
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