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2011年—2023年新课标全国卷数学分类汇编
（含全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷、新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷）
（附详细答案）
编写说明：研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等有一定规律．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．
本资料是根据全国卷的特点精心编写，共包含9个专题，分别是：
1．集合、逻辑、不等式 2．复数 3．平面向量 4．函数与导数 5．三角函数与解三角形
6．数列 7．立体几何 8．解析几何 9．概率与统计
2011年—2023年新课标全国卷数学试题分类汇编
5．三角函数与解三角形
一、选择题
(2023·新高考Ⅰ，8)已知，则（ ）．
A. B. C. D.
(2023·新高考Ⅱ，7)已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
(2023·全国甲卷，理7)设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(2023·全国乙卷，文4) 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
(2023·全国乙卷，理6文10)已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
(2022·新高考Ⅰ，6)记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
(2022·新高考Ⅱ，6)若，则（ ）
A. B. C. D.
(2022·新高考Ⅱ，9多选)已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线
(2022·全国甲卷，理8)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
(2022·全国甲卷，理11)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(2022·全国甲卷，文5)将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
(2022·全国乙卷，文11)函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
(2021·新高考Ⅰ，4)下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
(2021·新高考Ⅰ，6) 若，则（ ）
A. B. C. D.
(2021·全国甲卷，理8)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
(2021·全国甲卷，理9文11)若，则（ ）
A. B. C. D.
(2021·全国甲卷，文8)在中，已知，，，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
(2021·全国乙卷，理7)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A. B. C. D.
(2021·全国乙卷，理9) 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
(2021·全国乙卷，文4)函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
(2021·全国乙卷，文6)（ ）
A. B. C. D.
(2020·新高考Ⅰ，10)（多选题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B．
C． D．
(2020·全国卷Ⅰ，文理7)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
(2020·全国卷Ⅰ，理9)已知，且，则（ ）
A B． C． D．
(2020·全国卷Ⅲ，理7)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
(2020·全国卷Ⅲ，理8)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
(2020·全国卷Ⅲ，文5)已知，则（ ）
A． B． C． D．
(2020·全国卷Ⅲ，文11)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
(2020·全国卷Ⅲ，文12)已知函数f(x)=sinx+，则（ ）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线对称 D．f(x)的图像关于直线对称
(2019·全国卷Ⅰ，理11)关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
(2019·全国卷Ⅰ，文7)tan255°=（ ）
A．-2- B．-2+ C．2- D．2+
(2019·全国卷Ⅰ，文11)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-，则=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
(2019·全国卷Ⅱ，理9)下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是（ ）
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│ C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
(2019·全国卷Ⅱ，理10文11)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
(2019·全国卷Ⅱ，文8)若，是函数(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）
A．2 B． C．1 D．
(2019·全国卷Ⅲ，理12)设函数，已知f (x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f (x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x)在单调递增；④的取值范围是．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
(2019·全国卷Ⅲ，文5)函数在[0，2π]的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
(2018·新课标Ⅰ，文8)已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为π，最大值为3 B． 的最小正周期为π，最大值为4
C． 的最小正周期为，最大值为3 D．的最小正周期为，最大值为4
(2018·新课标Ⅰ，文11)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（ ）
A． B． C． D．
（2018·新课标Ⅱ，理6文7）在中，，，，则=（ ）
A． B． C． D．
(2018·新课标Ⅱ，文10)若在是减函数，则的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
（2018·新课标Ⅲ，文理4）若，则（ ）
A． B． C． D．
（2018·新课标Ⅲ，理9文11）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
(2018·新课标Ⅲ，文6)函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
（2017·新课标Ⅰ，理9）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2017·新课标Ⅰ，文11)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=( )
A． B． C． D．
（2017·新课标Ⅱ，文3）函数的最小正周期为（ ）
A.4 B.2 C. D.
（2017·新课标Ⅲ，理6）设函数，则下列结论错误的是（ ）.
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
(2017·新课标Ⅲ，文4)已知，则=（ ）
A． B． C． D．
(2017·新课标Ⅲ，文6)函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
（2016·新课标Ⅰ，理12）已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
(2016·新课标Ⅰ，文4)的内角的对边分别为．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
(2016·新课标Ⅰ，文6)若将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（ ）
A． B． C． D．
（2016·新课标Ⅱ，理7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
A． B．
C． D．
（2016·新课标Ⅱ，理9）若，则sin 2α =（ ）
A． B． C． D．
（2016·新课标Ⅱ，文3）函数的部分图像如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
（2016·新课标Ⅱ，文11）函数的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2016·新课标Ⅲ，理5）若，则（ ）
A. B. C. 1 D.
（2016·新课标Ⅲ，理8）在中，，边上的高等于,则（ ）
A. B. C. D.
(2016·新课标Ⅲ，文6)若，则( )
A． B． C． D．
(2016·新课标Ⅲ，文9)在中，，边上的高等于，则( )
A． B． C． D．
（2015·新课标Ⅰ，理2）（ ）
A． B． C． D．
（2015·新课标Ⅰ，文理8）函数=的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
（2014·新课标Ⅰ，理6）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（ ）
（2014·新课标Ⅰ，理8）设，，且，则（ ）
. . . .
(2014·新课标Ⅰ，文7)在函数① y=cos|2x|，②y=|cosx|，③，④中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
(2014新课标Ⅰ，文2)若，则（ ）
A． B． C． D．
（2014·新课标Ⅱ，理4）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（ ）
A．5 B． C．2 D．1
(2013·新课标Ⅰ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )
A．10 B．9 C．8 D．5
（2013·新课标Ⅱ，文4）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2013·新课标Ⅱ，文6）已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2012·新课标Ⅰ，理9）已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]
(2012·新课标Ⅰ，文9)已知，，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
（2011·新课标Ⅰ，理5文7）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（ ）
A． B． C． D．
（2011·新课标Ⅰ，理11）设函数的最小正周期为，且，则（ ）
A．在单调递减 B．在单调递减
C．在单调递增 D．在单调递增
(2011·新课标Ⅰ，文11)设函数，则 （ ）
A．y = f (x)在单调递增，其图像关于直线对称
B．y = f (x)在单调递增，其图像关于直线对称
C．y = f (x)在单调递减，其图像关于直线对称
D．y = f (x)在单调递减，其图像关于直线对称
二、填空题
(2023·新高考Ⅰ，15)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
(2023·新高考Ⅱ，16)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．
(2023·全国甲卷，理16)在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
(2023·全国乙卷，文14)若，则________．
(2022·全国乙卷，理15)记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
(2022·全国甲卷，文理16)已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
(2021·全国甲卷，文15)已知函数的部分图像如图所示，则_________.
(2021·全国甲卷，理16)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
(2021·全国乙卷，文理15)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
(2020·新高考Ⅰ，15)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
(2020·全国卷Ⅰ，理16)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．
(2020·全国卷Ⅲ，理16)关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．
(2020·全国卷Ⅱ，文13)若，则__________．
(2019·全国卷Ⅰ，文15)函数的最小值为___________．
(2019·全国卷Ⅱ，理15)的内角的对边分别为．若，则的面积为__________．
(2019·全国卷Ⅱ，文15)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________．
（2018·新课标Ⅰ，理16）已知函数，则的最小值是 .
(2018·新课标Ⅰ，文16)△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．
（2018·新课标Ⅱ，理15）已知，，则__________．
(2018·新课标Ⅱ，文15)已知，则__________．
（2018·新课标Ⅲ，理15）函数在的零点个数为________．
(2017·新课标Ⅰ，文15)已知，，则________．
（2017·新课标Ⅱ，理14）函数（）的最大值是 ．
（2017·新课标Ⅱ，文13）函数的最大值为 .
（2017·新课标Ⅱ，文16）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=
(2017·新课标Ⅲ，文15)的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则_________．
(2016·新课标Ⅰ，文14)已知是第四象限角，且，则 ．
（2016·新课标Ⅱ，理13文15）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，a = 1，则b = .
（2016·新课标Ⅲ，理14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移______个单位长度得到.
(2016·新课标Ⅲ，文14)函数图像可由函数的图像至少向右平移______个单位长度得到．
（2015·新课标Ⅰ，理16）在平面四边形中，，，则的取值范围是 .
（2014·新课标Ⅰ，理16）已知分别为的三个内角的对边，=2，
且，则面积的最大值为 .
(2014·新课标Ⅰ，文16)如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高 ．
（2014·新课标Ⅱ，理14）函数的最大值为_________.
（2014·新课标Ⅱ，文14）函数f (x) = sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为_________.
（2013·新课标Ⅰ，理15文16）设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.
（2013·新课标Ⅱ，理15）设为第二象限角，若，则_________.
（2013·新课标Ⅱ，文16）函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则_________.
（2011·新课标Ⅰ，理16）在中，，则的最大值为 ．
(2011·新课标Ⅰ，文15)中，，，，则的面积为 ．
三、解答题
(2023·新高考Ⅰ，17)已知在中，．
（1）求；（2）设，求边上的高．
(2023·新高考Ⅱ，17)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
（1）若，求；（2）若，求．
(2023·全国甲卷，文17)记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；（2）若，求面积．
(2023·全国乙卷，理18)在中，已知，，．
（1）求；
（2）若D为BC上一点，且，求的面积．
(2022·新高考Ⅰ，18)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；（2）求的最小值．
(2022·新高考Ⅱ，18)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
（1）求的面积；（2）若，求b．
(2022·全国乙卷，理17)记的内角的对边分别为，已知．
（1）证明：；（2）若，求的周长．
(2022·全国乙卷，文17)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
（1）若，求C；（2）证明：
(2021·新高考Ⅰ，19) 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求
(2021·新高考Ⅱ，18)在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
(2020·新高考Ⅰ，17)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(2020·全国卷Ⅰ，文18)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150°．
（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C．
(2020·全国卷Ⅱ，理17)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值．
(2020·全国卷Ⅱ，文17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
(2019·全国卷Ⅰ，理17)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；（2）若，求sinC．
(2019·全国卷Ⅲ，理18)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
(2019·全国卷Ⅲ，文18)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
(2018·新课标Ⅰ，理17)在平面四边形中，，，，.
（1）求；（2）若，求.
（2017·新课标Ⅰ，17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长
（2017·新课标Ⅱ，17）的内角的对边分别为 ,已知．
（1）求；（2）若 , 面积为2，求．
（2017·新课标Ⅲ，17）的内角的对边分别为 ，已知，，．
（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积．
（2016·新课标Ⅰ，17）的内角的对边分别为，已知．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．
(2015·新课标Ⅰ，文17)已知分别为内角的对边，．
（1）若，求；（2）设，且，求的面积．
（2015·新课标Ⅱ，理17）在 ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC， ABD面积是 ADC面积的2倍．
（Ⅰ）求 ；（Ⅱ） 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长．
（2015·新课标Ⅱ，文17）在ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B.
.
（2014·新课标Ⅱ，文17）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2.
（Ⅰ）求C和BD；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积.
（2013·新课标Ⅰ，17）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
（2013·新课标Ⅱ，17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.
（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.
（2012·新课标Ⅰ，17）已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．
（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，．
（2012·新课标Ⅰ，文17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若=2，△ABC的面积为，求，.
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2011年—2023年新课标全国卷数学试题分类汇编
5．三角函数与解三角形（解析版）
一、选择题
(2023·新高考Ⅰ，8)【答案】B【解析】因，而，因此，则，所以.故选：B
(2023·新高考Ⅱ，7)【答案】D【解析】因为，而为锐角，解得：．故选：D．
(2023·全国甲卷，理7)【答案】B【解析】当时，例如但，
即推不出；当时，，即能推出．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．故选：B
(2023·全国乙卷，文4) 【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得，
即，整理可得，由于，故，据此可得，则．故选：C．
(2023·全国乙卷，理6文10)【答案】D【解析】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，
则，故选：D．
(2022·新高考Ⅰ，6)A【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以．故选：A
(2022·新高考Ⅱ，6)C【解析】由已知得：,即：，即：
所以，故选：C
[方法二]：特殊值排除法：设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换：
，
所以
即，
故选：C.
(2022·新高考Ⅱ，9多选)【答案】AD【解析】由题意得：，所以，，即，又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．
(2022·全国甲卷，理8)【答案】B【解析】如图，连接，因为是的中点，所以，
又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以．
(2022·全国甲卷，理11)【答案】C【解析】依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．故选：C．
(2022·全国甲卷，文5)C【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为．
(2022·全国乙卷，文11)【答案】D【解析】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为．选D
(2021·新高考Ⅰ，4)【答案】A【解析】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
(2021·新高考Ⅰ，6) C【解析】
．故选：C．
(2021·全国甲卷，理8)【答案】B
【解析】
过作，过作，故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以，在中，由正弦定理得：
，
而，
所以，所以．故选：B．
(2021·全国甲卷，理9)【答案】A【解析】，，
，，，解得，
，.故选：A.
(2021·全国甲卷，文8)【答案】D【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.
(2021·全国甲卷，文11)【答案】A
【解析】，，
，，，解得，
，.
(2021·全国乙卷，理7)
【答案】B【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象；第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，即为的图象，所以.故选：B.
(2021·全国乙卷，理9) 【答案】A【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．故选：A.
(2021·全国乙卷，文4)【答案】C【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.故选：C．
(2021·全国乙卷，文6)【答案】D【详解】由题意，.故选：D.
(2020·新高考Ⅰ，10)（多选题）BC 【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，解得：，
即函数的解析式为：．
而 故选：BC．
(2020·全国卷Ⅰ，文理7)C 【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：，又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：，所以函数的最小正周期为．
(2020·全国卷Ⅰ，理9)A 【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又．故选：A．
(2020·全国卷Ⅲ，理7)A 【解析】在中，，，,
根据余弦定理：，,
可得 ，即，由，故．
(2020·全国卷Ⅲ，理8)D 【解析】，，
令，则，整理得，解得，即．
(2020·全国卷Ⅲ，文5)B 【解析】由题意可得：，则：，，从而有：，即．
(2020·全国卷Ⅲ，文11)C 【解析】设，
．
(2020·全国卷Ⅲ，文12)【答案】D 【解析】可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对.
(2019·全国卷Ⅰ，理11)C 解析：因为，所以是偶函数，①正确；因为，而，所以②错误，
画出函数在上的图像，很容易知道有零点，所以③错误，
结合函数图像，可知的最大值为，④正确，故答案选C.
(2019·全国卷Ⅰ，文7)D 解析：．
(2019·全国卷Ⅰ，文11)A 解析：由已知及正弦定理可得，由余弦定理得，所以，所以，所以．
(2019·全国卷Ⅱ，理9)A 解析：f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；f（x）＝|sin2x|在处取得最大值，不可能在区间（，）单调递增，可排除B．
方法2：对于A，如图，以，，且在区间单调递增；A对.
对于B，如图，以，，且在区间单调递减；B错.
对于C，，，C错
对于D，，如图，不是周期函数， D错；故选A.
(2019·全国卷Ⅱ，理10)B 解析： ，
，，.
(2019·全国卷Ⅱ，文8)A 解析：由题意知，的周期，得．
(2019·全国卷Ⅱ，文11)B 解析： ，，，.
(2019·全国卷Ⅲ，理12)D【基本解法】令，得，令，得，
设的正零点从小到大一次为
由图可知（1）正确； 极小值个数
可能是2个或3个，故（2）错误
令，解得
令，解得，
解不等式，得，（4）正确
时，
故在单调递增 ，故（3）正确。 综上，正确答案为D选项.
解法2：当x∈[0，2π]时，∈[，]，∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，
∴，∴，故④正确，
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，
当x∈（0，）时，∈[，]，若f（x）在（0，）单调递增，则，即ω＜3，
∵，故③正确．故选：D．
(2019·全国卷Ⅲ，文5) B解析：函数的零点，就是方程的解，所以，，当时，，当时，，综上方程的解只有3个：。
解法2：函数f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零点个数，即：2sinx﹣sin2x＝0在区间[0，2π]的根个数，
即2sinx＝sin2x，令左右为新函数h（x）和g（x），h（x）＝2sinx和g（x）＝sin2x，作图求两函数在区间[0，2π]的图象可知：h（x）＝2sinx和g（x）＝sin2x，在区间[0，2π]的图象的交点个数为3个．
(2018·新课标Ⅰ，文8) B解析：因为，所以，的最大值为4.
(2018·新课标Ⅰ，文11)B解析：解法1：由已知可得，又，由倍角公式得解得或（注意同号）
，故选B．
解法2：（活用公式）由已知可得．①
又，由倍角公式及平方关系得．②
由①②解得或，故选B．
（2018·新课标Ⅱ，理6）A 解析：因为，所以 ，
由余弦定理可知：，，故，．
(2018·新课标Ⅱ，文7)A 解析：因为 ，所以
由余弦定理可知：，,故，
(2018·新课标Ⅱ，文10)C 解析：解法一：常规解法
因为 ，所以 ，若在是减函数，所以 研究在是增函数，所以 解得
解法二：导数法：因为 所以
所以 所以 解得
（2018·新课标Ⅲ，理4）B 解析：.故选B.
（2018·新课标Ⅲ，理9）C 解析：，又，故，∴.故选C.
(2018·新课标Ⅲ，文4) B解析：.故选B.
(2018·新课标Ⅲ，文6)C解析：，∴的周期.故选C.
(2018·新课标Ⅲ，文11)C解析：，又，故，∴.故选C.
（2017·新课标Ⅰ，理9）D解析：，，首先曲线、统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理．．横坐标变换需将变成，即．
注意的系数，在右平移需将提到括号外面，这时平移至，
根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．故选D；
(2017·新课标Ⅰ，文11)B【解法】解法一：因为，，
所以，又，所以，，又，所以，又a=2，c=，由正弦定理得,即．又，所以，故选B．
解法二：由解法一知，即，又，所以．下同解法一．
（2017·新课标Ⅱ，文3）C解析：由题意，故选C.
（2017·新课标Ⅲ，理6）D解析： 函数的图像可由向左平移个单位得到，
如图可知，在上先递减后递增，D选项错误.故选D.
(2017·新课标Ⅲ，文4)A解析：．
(2017·新课标Ⅲ，文6)A解析：．
（2016·新课标Ⅰ，理12）【答案】B解析：由题意知：则，其中，在单调，，接下来用排除法：若，此时，在递增，在递减，不满足在单调；若，此时，满足在单调递减．故选B．
(2016·新课标Ⅰ，文4)D ．由余弦定理得，即，
整理得，解得．故选D．
(2016·新课标Ⅰ，文6)D．将函数的图像向右平移个周期，即向右平移个单位，
故所得图像对应的函数为．故选D．
（2016·新课标Ⅱ，理7）B解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，故选B．
（2016·新课标Ⅱ，理9D解析：∵，．
（2016·新课标Ⅱ，文3）A解析：由及得，由最大值2及最小值-2，的A=2，再将代入解析式，，解得，故，故选A.
（2016·新课标Ⅱ，文11）B解析：因为，而，所以当时，取最大值5.
（2016·新课标Ⅲ，5）A解析：，故选A.
（2016·新课标Ⅲ，理8）C 解析：如图所示，可设，则，，，由余弦定理知，
(2016·新课标Ⅲ，文6)D 解析 ．
(2016·新课标Ⅲ，文9)D 解析 解法一：，，
所以，， ，所以．故选D．
解法二：如图所示，由，知．由，则,．由正弦定理知,则．故选D．
（2015·新课标Ⅰ，2）D解析：，选D．.
（2015·新课标Ⅰ，文理8）【答案】D解析：由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D．
（2014·新课标Ⅰ，理6）B解析：如图：过M作MD⊥OP于Ｄ，则 PM=，OM=,在中，MD=，∴，选B.
（2014·新课标Ⅰ，理8）B解析：∵，∴
，
∴，即，选B
(2014·新课标Ⅰ，文2)选C．tanα>0，α在一或三象限，所以sinα与cosα同号，故选C
(2014·新课标Ⅰ，文7)解：选A．由是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x，最小正周期为π；②y=|cosx|的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A
（2014·新课标Ⅱ，理4）B解析：∵，即：，∴，即或．
又∵，∴或5，
又∵为钝角三角形，∴，即：.
(2013·新课标Ⅰ，文10)选D．由23cos2A＋cos 2A＝0，得cos2A＝．∵A∈，∴cos A＝．
∵cos A＝，∴b＝5或(舍)．
（2013·新课标Ⅱ，文4）B解析：因为,所以.由正弦定理得，解得.所以三角形的面积为.
因为，
所以，故选B.
（2013·新课标Ⅱ，文6A解析：因为，
所以，故选A.
（2012·新课标Ⅰ，9）A解析：因为，，所以，因为函数在（，）上单调递减，所以，解得，故选A.
(2012·新课标Ⅰ，文9)选A．由直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，
得的最小正周期，从而．
由此，由已知处取得最值，
所以，结合选项，知，故选择A．
（2011·新课标Ⅰ，理11）【答案】A解析：，所以，又f(x)为偶函数，，，选A .
（2011·新课标Ⅰ，理5文7）B解析：,，选B.
(2011·新课标Ⅰ，文11)【解析】因为，
当时，，故在单调递减．
又当时，，因此是的一条对称轴．故选D．
二、填空题
(2023·新高考Ⅰ，15)【答案】【解析】因为，所以，令，则有3个根，令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
(2023·新高考Ⅱ，16) 【答案】【解析】设，由可得，由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，所以或，又因为，所以，．
(2023·全国甲卷，理16)【答案】【解析】如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
(2023·全国乙卷，文14)【答案】【解析】因为，则，
又因为，则，且，解得或（舍去），所以．
(2022·全国乙卷，理15)【答案】【解析】因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时.
(2022·全国甲卷，文理16)【答案】【解析】[方法一]：余弦定理
设，则在中，，
在中，，
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，．
[方法二]：建系法：令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系．则C（2t,0），A（1，），B（-t,0），
[方法三]：余弦定理：设BD=x,CD=2x．由余弦定理得，，
，，令，则，
，，
当且仅当，即时等号成立．
[方法四]：判别式法：设，则，
在中，，
在中，，
所以，记，则
由方程有解得：，即，解得：
所以，此时，所以当取最小值时，，即．
(2021·全国乙卷，文理15)【答案】【详解】由题意，，
所以，所以，解得（负值舍去）.
(2020·新高考Ⅰ，15)【答案】 【解析】设，由题意，，所以，因为,所以，因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，解得；
等腰直角的面积为；扇形的面积，
所以阴影部分的面积为．
(2020·全国卷Ⅰ，理16)【答案】 【解析】，，，由勾股定理得，同理得，，在中，，，，由余弦定理得，
，在中，，，，
由余弦定理得．
(2020·全国卷Ⅱ，文13)【答案】 【解析】．
(2020·全国卷Ⅲ，理16)【答案】②③【解析】对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，命题④错误．
(2019·全国卷Ⅰ，文15)
解析：
，，当时，，
(2019·全国卷Ⅱ，理15)【答案】 解析：由余弦定理得：.
又.解得，. .
解法2：由正弦定理得：，.
又，所以，，则.
所以.由正弦定理得，，.
(2019·全国卷Ⅱ，文15) 解析：由正弦定理，得．，得，即，．
(2018·新课标Ⅰ，理16) 解析：方法一：，
所以
，
所以函数的值域为，所以的最小值为
方法二：
，
.
方法三：
，函数在单调递增；
，函数在单调递减；
时，函数有最小值，
即.
(2018·新课标Ⅰ，文16)【答案】解析：由得，则，又， 则，故，.
(2018·新课标Ⅱ，文15)【答案】 解析：因为
（2018·新课标Ⅱ，理15）【答案】【解析】解法一：
解法二：
，综上所述：
解法三：特殊值法：设，则，，.
（2018·新课标Ⅲ，理15）【答案】 解析：由，有，解得，由得可取，∴在上有个零点.
(2017·新课标Ⅰ，文15)【解析】．，，又，解得，，．
【基本解法2】，，角的终边过，故，，其中，．
（2017·新课标Ⅱ，14）【答案】【解析】∵ ，，
∴ ，设，，∴ ，函数对称轴为，∴ ．
（2017·新课标Ⅱ，文13）【答案】解析： .
（2017·新课标Ⅱ，文16）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=
【答案】解析：由正弦定理可得
(2017·新课标Ⅲ，文15)【答案】 解析：由正弦定理有，所以，又，所以，所以．
(2016·新课标Ⅰ，文14)解析：．由题意．
因为，所以，
从而，因此．故填．
方法2：还可利用来进行处理，或者直接进行推演，即由题意，故，所以．
（2016·新课标Ⅱ，理13文15）（2016·15）解析：因为，且为三角形内角，所以，，又因为，所以.
（2016·新课标Ⅲ，理14） 解析：，故可前者的图像可由后者向右平移个单位长度得到.
(2016·新课标Ⅲ，文14)【答案】 解析 ，所以可由函数至少向右平移才能得到．
（2015·新课标Ⅰ，理16）【答案】 解析：如图所示，延长，交于，平移，当与重合于点时，最长，在中，，，，由正弦定理可得，解得=；平移，当与重合时，最短，此时在中，，，由正弦定理知 ，解得，所以的取值范围为.
（2014·新课标Ⅰ，理16）【答案】 解析：由且 ，即，由及正弦定理得：，∴，故，∴，∴，，
∴
(2014·新课标Ⅰ，文16)解：在RtΔABC中，由条件可得，
在ΔMAC中，∠MAC=45°；由正弦定理可得，故，在直角RtΔMAN中，MN=AMsin60°=150．
（2014·新课标Ⅱ，文理14） 解析：∵
∵，∴的最大值为1.
（2013·新课标Ⅰ，理15）设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.
【答案】 解析：f(x)＝sin x－2cos x＝，令cos α＝，sin α＝，
则f(x)＝sin(α＋x)，当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值，
即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，所以cos θ＝＝＝sin α＝.
（2013·新课标Ⅱ，理15）设为第二象限角，若，则_________.
【答案】 解析：由，得tan θ＝，即sin θ＝cos θ. 将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ＝，
sin θ＋cos θ＝.
(2013·新课标Ⅰ，文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝______．
答案：
解析：． ∵f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝．
当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取最大值．即θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)．
∴cos θ＝＝－sin φ＝．
（2013·新课标Ⅱ，文16）（2013·16）解析：函数，向右平移个单位，得到，即向左平移个单位得到函数，所以向左平移个单位，得
，即.
（2011·新课标Ⅰ，16）【答案】 解析：,,，；
，故最大值是
(2011·新课标Ⅰ，文15)【解析】由余弦定理知，
即，解得．
故．故答案为．
三、解答题
(2023·新高考Ⅰ，17)已知在中，．
（1）求；（2）设，求边上的高．
【解析】（1），，即，又，
，，
，即，所以，.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，，
.
(2023·新高考Ⅱ，17)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
（1）若，求；（2）若，求．
【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，所以．
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以．
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以．
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以．
(2023·全国甲卷，文17)记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；（2）若，求面积．
【解析】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
(2023·全国乙卷，理18)在中，已知，，．
（1）求；（2）若D为BC上一点，且，求的面积．
【解析】（1）由余弦定理可得：，
则，，．
（2）由三角形面积公式可得，
则．
(2022·新高考Ⅰ，18)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；（2）求的最小值．
【解析】（1）因为，
即，而，所以；
（2）由（1）知，，所以，而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
(2022·新高考Ⅱ，18)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
（1）求的面积；（2）若，求b．
【解析】（1）由题意得，
则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，
则，.
(2022·全国乙卷，理17)记的内角的对边分别为，已知．
（1）证明：；（2）若，求的周长．
【解析】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，所以；
（2）因为，由（1）得，
由余弦定理可得， 则，所以，
故，所以，所以的周长为．
(2022·全国乙卷，文17)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
（1）若，求C；（2）证明：
【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：，故原等式成立．
(2021·新高考Ⅰ，19) 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；（2）若，求
【解析】（1）由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，∴，得证.
（2）由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，.
(2021·新高考Ⅱ，18)在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
(2020·新高考Ⅰ，17)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择条件①的解析：由可得：，不妨设，
则：，即．
据此可得：，，此时．
选择条件②的解析：由可得：，不妨设，
则：，即．
据此可得：，
则：，此时：，则：．
选择条件③的解析：由可得：，不妨设，
则：，即．
据此可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
(2020·全国卷Ⅰ，文18)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150°．
（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C．
【解析】（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2），
，
，．
(2020·全国卷Ⅱ，理17)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理可得：，，
，．
（2）由余弦定理得：，
即．（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为．
(2020·全国卷Ⅱ，文17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【解析】（1）因为，所以，即，
解得，又，所以；
（2）因为，所以，即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，所以，故，
即是直角三角形．
(2019·全国卷Ⅰ，理17)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；（2）若，求sinC．
解：（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得． 因为，所以．
（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
(2019·全国卷Ⅲ，理18)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
解：（1）由题设及正弦定理得．因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积，由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0°
(2019·全国卷Ⅲ，文18)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
18．解：（1）由题设及正弦定理得．因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积，
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0°【解法2】解：（1）由题有，所以，由正弦定理得：
因为，所以，即，有得，所以，又因为，所以，
所以，所以
（2）由余弦定理得：，所以
所以，因为为锐角三角形，所以，即
又且C为锐角，所以，得（舍）或
综上：，所以
(2018·新课标Ⅰ，理17)在平面四边形中，，，，.
（1）求；（2）若，求.
解析：解法1：（1）在中，由正弦定理：，所以，又因为，所以，所以.
解法2：在中，由余弦定理可得，解得（负值舍去），再由余弦定理可得.
（2），所以，在中，由余弦定理可知，解得.
（2017·新课标Ⅰ，理17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长
解析：（1）面积．且，，
，由正弦定理得，由得．
（2）由（1）得，，，
，
又，，，，由余弦定理得 ①
由正弦定理得，， ②
由①②得，，即周长为．
（2017·新课标Ⅱ，理17）的内角的对边分别为 ,已知．
（1）求；（2）若 , 面积为2，求．
解析：（Ⅰ）【解法1】由题设及，故，
上式两边平方，整理得 ，解得 .
【解法2】由题设及，所以，又，所以，.
（Ⅱ）由，故，又，
由余弦定理及得
，所以b=2．
（2017·新课标Ⅲ，理17）的内角的对边分别为 ，已知，，．
（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积．
解析:（1）由得，即，
又，所以，得.
由余弦定理.
又因为代入并整理得.故.
（2）因为，由余弦定理.
因为，即为直角三角形，则，得.
由勾股定理.又，则，.
（2016·新课标Ⅰ，理17）的内角的对边分别为，已知．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．
解析：⑴ ，由正弦定理得：
，∵，，∴
∴，，∵，∴
⑵ 由余弦定理得：，，
，∴，∴，
∴周长为
（2015·新课标Ⅱ，理17）在 ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC， ABD面积是 ADC面积的2倍．
（Ⅰ）求 ；（Ⅱ） 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长．
解析：（Ⅰ），，因为，，所以，由正弦定理可得.
（Ⅱ）因为，，所以，在和中，
由余弦定理知，，，
故，由（Ⅰ）知，所以.
(2015·新课标Ⅰ，文17)已知分别为内角的对边，．
（1）若，求；（2）设，且，求的面积．
解析：（1）由正弦定理得，．又，
所以，即．则．
（2）解法一：因为，所以，
即，亦即．
又因为在中，，所以，则，得．
所以为等腰直角三角形，得，所以．
解法二：由（1）可知，① 因为，所以，②
将代入得，则，所以．
解：(Ⅰ) 因为sin2B=2sinAsinC． 由正弦定理可得b2=2ac．
又a=b，可得a=2c， b=2c，由余弦定理可得．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b2=2ac． 因为B=90°，所以a2+c2=b2=2ac．
解得a=c=． 所以ΔABC的面积为1．
（2015·新课标Ⅱ，文17）在ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B.
（2015·17）解析：（Ⅰ）由正弦定理得因为AD平分所以
（Ⅱ）因为，
所以 由（Ⅰ）知 所以 即.
（2014·新课标Ⅱ，文17）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2.
（Ⅰ）求C和BD；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积.
（2014·17）解析：（Ⅰ）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2 = BC2+CD2-2BC·CDcosC = 13 -12cosC ①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2 = AB2+AD2 -2AB·ADcosA = 5-4cosA = 5+4cosC ②，由①②得：，则C=60°，.
（Ⅱ）∵，，∴，则.
（2013·新课标Ⅰ，理17）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝，故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α，在△PBA中，由正弦定理得，
化简得cos α＝4sin α，所以tan α＝，即tan∠PBA＝.
（2013·新课标Ⅱ，17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.
（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.
解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B ①， 又A＝π-(B+C)，故sin A＝sin(B+C)＝sin Bcos C+cos Bsin C ②，由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以.
（Ⅱ）△ABC的面积. 由已知及余弦定理得. 又a2＋c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为.
（2012·新课标Ⅰ，17）已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．
（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，．
解析：（1）根据正弦定理，得，，，
因为，所以，
即，（1）
由三角形内角和定理，得，
代入（1）式得，
化简得，因为，所以，即，而，，从而，解得．
（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，则，化简得，从而解得，．
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2011年—2023年新课标全国卷数学试题分类汇编
7．三角函数与解三角形（解析版）
一、选择题
(2023·新高考Ⅰ，8)已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
(2023·新高考Ⅱ，7)已知为锐角，，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，而为锐角，解得：．
故选：D．
(2023·全国甲卷，理7)设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出．
综上可知，甲是乙的必要不充分条件．
故选：B
(2023·全国乙卷，文4) 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，则．
故选：C．
(2023·全国乙卷，理6文10)已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在区间单调递增，
所以，且，则，，
当时，取得最小值，则，，
则，，不妨取，则，
则，故选：D．
(2022·新高考Ⅰ，6)记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足，得，解得，又因为函数图象关于点对称，所以，且，所以，所以，，所以．故选：A
(2022·新高考Ⅱ，6)若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知得：,
即：，即：
所以，故选：C
[方法二]：特殊值排除法：设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换：
所以
即
故选：C.
(2022·新高考Ⅱ，9多选)已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）
A. 在区间单调递减 B. 在区间有两个极值点
C. 直线是曲线的对称轴 D. 直线是曲线的切线
【答案】AD
【解析】由题意得：，所以，，即，
又，所以时，，故．
对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；
对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；
对C，当时，，，直线不是对称轴；
对D，由得：，
解得或,
从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．故选：AD．
(2022·全国甲卷，理8)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以．
故选：B．
(2022·全国甲卷，理11)设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：
则，解得，即．
故选：C．
(2022·全国甲卷，文5)将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则，解得，又，故当时，的最小值为．故选：C．
(2022·全国乙卷，文11)函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以在区间和上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，，
所以在区间上的最小值为，最大值为．
故选：D
(2021·新高考Ⅰ，4)下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
(2021·新高考Ⅰ，6) 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
．故选：C．
(2021·全国甲卷，理8)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A. 346 B. 373 C. 446 D. 473
【答案】B
【解析】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以，
所以．
故选：B．
(2021·全国甲卷，理9)若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
，，，解得，
，.故选：A.
(2021·全国甲卷，文8)在中，已知，，，则（ ）
A. 1 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】设，结合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故选：D.
(2021·全国甲卷，文11)若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
，，，解得，
，.
(2021·全国乙卷，理7)把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
(2021·全国乙卷，理9) 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）
A. 表高 B. 表高
C. 表距 D. 表距
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故选：A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
(2021·全国乙卷，文4)函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A 和 B. 和2 C. 和 D. 和2
【答案】C
【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
(2021·全国乙卷，文6)（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
(2020·新高考Ⅰ，10)（多选题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
【答案】BC 【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,
当时，，解得：，
即函数的解析式为：．
而 故选：BC．
(2020·全国卷Ⅰ，文理7)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：，
又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，
所以，解得：，所以函数的最小正周期为．
(2020·全国卷Ⅰ，理9)已知，且，则（ ）
A B． C． D．
【答案】A 【解析】，得，
即，解得或（舍去），
又．故选：A．
(2020·全国卷Ⅲ，理7)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A 【解析】在中，，，,
根据余弦定理：，,
可得 ，即，由，故．
(2020·全国卷Ⅲ，理8)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=（ ）
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】D 【解析】，，
令，则，整理得，解得，即．
故选：D．
(2020·全国卷Ⅲ，文5)已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】由题意可得：，则：，，从而有：，即．
(2020·全国卷Ⅲ，文11)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C 【解析】设，
．
(2020·全国卷Ⅲ，文12)已知函数f(x)=sinx+，则（ ）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线对称 D．f(x)的图像关于直线对称
【答案】D 【解析】可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对.
(2019·全国卷Ⅰ，理11)关于函数有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（，）单调递增
③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C 解析：因为，所以是偶函数，①正确；因为，而，所以②错误，
画出函数在上的图像，很容易知道有零点，所以③错误，
结合函数图像，可知的最大值为，④正确，故答案选C.
(2019·全国卷Ⅰ，文7)tan255°=（ ）
A．-2- B．-2+ C．2- D．2+
【答案】D 解析：．
(2019·全国卷Ⅰ，文11)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA-bsinB=4csinC，cosA=-，则=（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A 解析：由已知及正弦定理可得，由余弦定理得，
所以，所以，所以．
(2019·全国卷Ⅱ，理9)下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是（ ）
A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│ C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│
【答案】A 解析：f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；
f（x）＝cos|x|的周期为2π，可排除C选项；
f（x）＝|sin2x|在处取得最大值，不可能在区间（，）单调递增，可排除B．
方法2：对于A，如图，以，，且在区间单调递增；A对.
对于B，如图，以，，且在区间单调递减；B错.
对于C，，，C错
对于D，，如图，不是周期函数， D错；故选A.
(2019·全国卷Ⅱ，理10)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 解析： ，
，，.
(2019·全国卷Ⅱ，文8)若，是函数(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A 解析：由题意知，的周期，得．故选A．
(2019·全国卷Ⅱ，文11)已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 解析： ，，，.
(2019·全国卷Ⅲ，理12)设函数，已知f (x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f (x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f (x)在单调递增；④的取值范围是．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【基本解法】令，得，令，得，
设的正零点从小到大一次为
由图可知（1）正确； 极小值个数
可能是2个或3个，故（2）错误
令，解得
令，解得，
解不等式，得，（4）正确
时，
故在单调递增 ，故（3）正确。 综上，正确答案为D选项.
解法2：当x∈[0，2π]时，∈[，]，∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，
∴，∴，故④正确，
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，
当x∈（0，）时，∈[，]，若f（x）在（0，）单调递增，则，即ω＜3，
∵，故③正确．故选：D．
(2019·全国卷Ⅲ，文5)函数在[0，2π]的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B解析：函数的零点，就是方程的解，所以，，当时，，当时，，综上方程的解只有3个：。
解法2：函数f（x）＝2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零点个数，
即：2sinx﹣sin2x＝0在区间[0，2π]的根个数，
即2sinx＝sin2x，令左右为新函数h（x）和g（x），
h（x）＝2sinx和g（x）＝sin2x，
作图求两函数在区间[0，2π]的图象可知：
h（x）＝2sinx和g（x）＝sin2x，在区间[0，2π]的图象的交点个数为3个．
(2018·新课标Ⅰ，文8)已知函数，则
A．的最小正周期为π，最大值为3 B．的最小正周期为π，最大值为4
C． 的最小正周期为，最大值为3 D．的最小正周期为，最大值为4
【答案】 B解析：因为，所以，的最大值为4.
(2018·新课标Ⅰ，文11)已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
A． B． C． D．
【答案】B解析：解法1：由已知可得，又，由倍角公式得解得或（注意同号）
，故选B．
解法2：（活用公式）由已知可得．①
又，由倍角公式及平方关系得．②
由①②解得或，故选B．
（2018·新课标Ⅱ，理6）在中，，，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A 解析：因为，所以 ，
由余弦定理可知：，，
故，．
(2018·新课标Ⅱ，文7)在中，，，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A 解析：因为 ，所以
由余弦定理可知：，
故，
(2018·新课标Ⅱ，文10)若在是减函数，则的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C 解析：解法一：常规解法
因为 ，所以
若在是减函数，所以 研究在是增函数
所以 解得
解法二：导数法
因为 所以
所以 所以 解得
（2018·新课标Ⅲ，理4）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 解析：.故选B.
（2018·新课标Ⅲ，理9）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C 解析：，又，故，∴.故选C.
(2018·新课标Ⅲ，文4)若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B解析：.故选B.
(2018·新课标Ⅲ，文6)函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C解析：，∴的周期.故选C.
(2018·新课标Ⅲ，文11)的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C解析：，又，故，∴.故选C.
（2017·新课标Ⅰ，理9）已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D解析：，，首先曲线、统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理．．横坐标变换需将变成，即．
注意的系数，在右平移需将提到括号外面，这时平移至，
根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．故选D；
(2017·新课标Ⅰ，文11)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=( )
A． B． C． D．
【答案】B【解法】解法一：因为，，
所以，又，所以，，又，所以，又a=2，c=，由正弦定理得,即．又，所以，故选B．
解法二：由解法一知，即，又，所以．下同解法一．
（2017·新课标Ⅱ，文3）函数的最小正周期为（ ）
A.4 B.2 C. D.
【答案】C解析：由题意，故选C.
（2017·新课标Ⅲ，理6）设函数，则下列结论错误的是（ ）.
A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称
C．的一个零点为 D．在单调递减
【答案】D解析： 函数的图像可由向左平移个单位得到，
如图可知，在上先递减后递增，D选项错误.故选D.
(2017·新课标Ⅲ，文4)已知，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A解析：．
故选A．
(2017·新课标Ⅲ，文6)函数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A解析：．选A．
（2016·新课标Ⅰ，理12）已知函数，为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【答案】B解析：由题意知：则，其中，在单调，，接下来用排除法：若，此时，在递增，在递减，不满足在单调；若，此时，满足在单调递减．故选B．
(2016·新课标Ⅰ，文4)的内角的对边分别为．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：选D ．由余弦定理得，即，
整理得，解得．故选D．
(2016·新课标Ⅰ，文6)若将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（ ）．
A． B． C． D．
解析：选D．将函数的图像向右平移个周期，即向右平移个单位，
故所得图像对应的函数为．故选D．
（2016·新课标Ⅱ，理7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，故选B．
（2016·新课标Ⅱ，理9）若，则sin 2α =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D解析：∵，，故选D．
（2016·新课标Ⅱ，文3）函数的部分图像如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
（2016·3）A解析：由及得，由最大值2及最小值-2，的A=2，再将代入解析式，，解得，故，故选A.
（2016·新课标Ⅱ，文11）函数的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2016·11）B解析：因为，而，所以当时，取最大值5，选B.
（2016·新课标Ⅲ，5）若，则（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A解析：，故选A.
（2016·新课标Ⅲ，理8）在中，，边上的高等于,则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 解析：如图所示，可设，则，，，由余弦定理知，
(2016·新课标Ⅲ，文6)若，则( )
A． B． C． D．
【答案】D 解析 ．故选D．
(2016·新课标Ⅲ，文9)在中，，边上的高等于，则( )
A． B． C． D．
【答案】D 解析 解法一：，，
所以，， ，所以．故选D．
解法二：如图所示，由，知．由，则,．由正弦定理知,则．故选D．
（2015·新课标Ⅰ，2）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D解析：，选D．.
（2015·新课标Ⅰ，文理8）函数=的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D解析：由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D．
（2014·新课标Ⅰ，理6）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（ ）
【答案】B解析：如图：过M作MD⊥OP于Ｄ，则 PM=，OM=,在中，
MD=，
∴，选B.
（2014·新课标Ⅰ，理8）设，，且，则（ ）
. . . .
【答案】B解析：∵，∴
，
∴，即，选B
(2014·新课标Ⅰ，文2)若，则（ ）
A． B． C． D．
解：选C．tanα>0，α在一或三象限，所以sinα与cosα同号，故选C
(2014·新课标Ⅰ，文7)在函数① y=cos|2x|，②y=|cosx|，③，④中，最小正周期为π的所有函数为( )
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③
解：选A．由是偶函数可知①y=cos|2x|=cos2x，最小正周期为π；②y=|cosx|的最小正周期也是π；③中函数最小正周期也是π；正确答案为①②③，故选A
（2014·新课标Ⅱ，理4）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（ ）
A．5 B． C．2 D．1
【答案】B解析：∵，即：，
∴，即或．
又∵，∴或5，
又∵为钝角三角形，∴，即：.
(2013·新课标Ⅰ，文10)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( )．
A．10 B．9 C．8 D．5
解析：选D．由23cos2A＋cos 2A＝0，得cos2A＝．∵A∈，∴cos A＝．
∵cos A＝，∴b＝5或(舍)．
（2013·新课标Ⅱ，文4）在△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B解析：因为,所以.由正弦定理得，解得.所以三角形的面积为.
因为，
所以，故选B.
（2013·新课标Ⅱ，文6）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A解析：因为，
所以，故选A.
（2012·新课标Ⅰ，9）已知，函数在（，）上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]
【答案】A解析：因为，，所以，因为函数在（，）上单调递减，所以，解得，故选A.
(2012·新课标Ⅰ，文9)已知，，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】选A．由直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，
得的最小正周期，从而．
由此，由已知处取得最值，
所以，结合选项，知，故选择A．
（2011·新课标Ⅰ，理11）设函数的最小正周期为，且，则
（A）在单调递减 （B）在单调递减
（C）在单调递增 （D）在单调递增
【答案】A解析：，所以，又f(x)为偶函数，，，选A .
（2011·新课标Ⅰ，理5文7）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边在直线上，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B解析：由题知,，选B.
(2011·新课标Ⅰ，文11)设函数，则 （ ）
A．在单调递增，其图象关于直线对称
B．在单调递增，其图象关于直线对称
C．在单调递减，其图象关于直线对称
D．在单调递减，其图象关于直线对称
【解析】因为，
当时，，故在单调递减．
又当时，，因此是的一条对称轴．故选D．
二、填空题
(2023·新高考Ⅰ，15)已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为，所以，令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
(2023·新高考Ⅱ，16)已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．
【答案】
【解析】设，由可得，
由可知，或，，由图可知，
，即，．
因为，所以，即，．
所以，
所以或，
又因为，所以，．
(2023·全国甲卷，理16)在中，，的角平分线交BC于D，则_________．
【答案】
【解析】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
(2023·全国乙卷，文14)若，则________．
【答案】
【解析】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以．
(2022·全国乙卷，理15)记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；
故答案为：
(2022·全国甲卷，文理16)已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
【答案】
【解析】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，．
故答案为：．
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系．
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x．由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立．
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即．
(2021·全国乙卷，文理15)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
(2020·新高考Ⅰ，15)某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
【答案】 【解析】设，由题意，，所以，
因为,所以，因为，所以，
因为与圆弧相切于点，所以，即为等腰直角三角形；
在直角中，，，
因为，所以，解得；
等腰直角的面积为；扇形的面积，
所以阴影部分的面积为．
(2020·全国卷Ⅰ，理16)如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________．
【答案】 【解析】，，，由勾股定理得，
同理得，，在中，，，，
由余弦定理得，
，在中，，，，
由余弦定理得．
(2020·全国卷Ⅱ，文13)若，则__________．
【答案】 【解析】．
(2020·全国卷Ⅲ，理16)关于函数f（x）=有如下四个命题：
①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=对称．
④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．
【答案】②③
【解析】对于命题①，，，则，
所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；
对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；
对于命题③，，
，则，
所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；
对于命题④，当时，，则，命题④错误．
故答案为：②③．
(2019·全国卷Ⅰ，文15)函数的最小值为___________．
【答案】 解析：
，，当时，，
故函数的最小值为．
(2019·全国卷Ⅱ，理15)的内角的对边分别为．若，则的面积为__________．
【答案】 解析：由余弦定理得：.
又.解得，.
.
解法2：由正弦定理得：，.
又，所以，，则.
所以.由正弦定理得，，
.
(2019·全国卷Ⅱ，文15)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________．
【答案】 解析：由正弦定理，得．，得，即，．
(2018·新课标Ⅰ，理16)已知函数，则的最小值是 .
【答案】 解析：方法一：，
所以
，
所以函数的值域为，所以的最小值为
方法二：
，
.
方法三：
，函数在单调递增；
，函数在单调递减；
时，函数有最小值，
即.
(2018·新课标Ⅰ，文16)△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．
【答案】解析：由得，则，又， 则，
故，.
(2018·新课标Ⅱ，文15)已知，则__________．
【答案】 解析：因为
（2018·新课标Ⅱ，理15）已知，，则__________．
【答案】【解析】解法一：
解法二：
综上所述：
解法三：特殊值法
设，则，，.
（2018·新课标Ⅲ，理15）函数在的零点个数为________．
【答案】 解析：由，有，解得，由得可取，∴在上有个零点.
(2017·新课标Ⅰ，文15)已知，，则________．
【解析】．，，又，解得，，．
【基本解法2】，，角的终边过，故，，其中，．
（2017·新课标Ⅱ，14）函数（）的最大值是 ．
【答案】【解析】∵ ，，
∴ ，设，，∴ ，函数对称轴为，∴ ．
（2017·新课标Ⅱ，文13）函数的最大值为 .
【答案】解析： .
（2017·新课标Ⅱ，文16）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=
【答案】解析：由正弦定理可得
(2017·新课标Ⅲ，文15)的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则_________．
【答案】 解析：由正弦定理有，所以，又，所以，
所以．
(2016·新课标Ⅰ，文14)已知是第四象限角，且，则 ．
解析：．由题意．
因为，所以，
从而，因此．故填．
方法2：还可利用来进行处理，或者直接进行推演，即由题意，故，所以．
（2016·新课标Ⅱ，理13文15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.
（2016·15）解析：因为，且为三角形内角，所以，，又因为，所以.
（2016·新课标Ⅲ，理14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移______个单位长度得到.
【答案】 解析：，故可前者的图像可由后者向右平移个单位长度得到.
(2016·新课标Ⅲ，文14)函数图像可由函数的图像至少向右平移______个单位长度得到．
【答案】 解析 ，所以可由函数至少向右平移才能得到．
（2015·新课标Ⅰ，理16）在平面四边形中，，，则的取值范围是 .
【答案】 解析：如图所示，延长，交于，平移，当与重合于点时，最长，在中，，，，由正弦定理可得，解得=；平移，当与重合时，最短，此时在中，，，由正弦定理知 ，解得，所以的取值范围为.
（2014·新课标Ⅰ，理16）已知分别为的三个内角的对边，=2，
且，则面积的最大值为 .
【答案】 解析：由且 ，即，由及正弦定理得：，∴，故，∴，∴，，∴，
(2014·新课标Ⅰ，文16)如图所示，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及
；从点测得．
已知山高，则山高 ．
解：在RtΔABC中，由条件可得，
在ΔMAC中，∠MAC=45°；由正弦定理可得，故，在直角RtΔMAN中，MN=AMsin60°=150．
（2014·新课标Ⅱ，文理14）函数的最大值为_________.
【答案】 解析：∵
∵，∴的最大值为1.
（2013·新课标Ⅰ，理15）设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.
【答案】 解析：f(x)＝sin x－2cos x＝，令cos α＝，sin α＝，
则f(x)＝sin(α＋x)，当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值，
即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，所以cos θ＝＝＝sin α＝.
（2013·新课标Ⅱ，理15）设为第二象限角，若，则_________.
【答案】 解析：由，得tan θ＝，即sin θ＝cos θ. 将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ＝，
sin θ＋cos θ＝.
(2013·新课标Ⅰ，文16)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝______．
答案：
解析：． ∵f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝．
当x－φ＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取最大值．即θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)．
∴cos θ＝＝－sin φ＝．
（2013·新课标Ⅱ，文16）函数的图象向右平移个单位后，与函数的图象重合，则_________.
（2013·16）解析：函数，向右平移个单位，得到，即向左平移个单位得到函数，所以向左平移个单位，得
，即.
（2011·新课标Ⅰ，16）在中，，则的最大值为 ．
【答案】 解析：,,
；
，故最大值是
(2011·新课标Ⅰ，文15)中，，，，则的面积为 ．
【解析】由余弦定理知，
即，解得．
故．故答案为．
三、解答题
(2023·新高考Ⅰ，17)已知在中，．
（1）求；（2）设，求边上的高．
【答案】（1）
（2）6
【解析】（1），，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
(2023·新高考Ⅱ，17)记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
（1）若，求；（2）若，求．
【解析】（1）方法1：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以．
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以．
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以．
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以．
(2023·全国甲卷，文17)记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；（2）若，求面积．
【解析】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
(2023·全国乙卷，理18)在中，已知，，．
（1）求；
（2）若D为BC上一点，且，求的面积．
【答案】（1）； （2）．
【解析】（1）由余弦定理可得：，
则，，．
（2）由三角形面积公式可得，
则．
(2022·新高考Ⅰ，18)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若，求B；（2）求的最小值．
【解析】（1）因为，
即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，而，
所以，即有，所以
所以
．
当且仅当时取等号，所以的最小值为．
(2022·新高考Ⅱ，18)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．
（1）求的面积；
（2）若，求b．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由题意得，
则，
即，由余弦定理得，整理得，则，又，
则，，则；
（2）由正弦定理得：，则，
则，.
(2022·全国乙卷，理17)记的内角的对边分别为，已知．
（1）证明：；
（2）若，求的周长．
【解析】（1）证明：因为，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）因为，由（1）得，
由余弦定理可得， 则，所以，
故，
所以，
所以的周长为．
(2022·全国乙卷，文17)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．
（1）若，求C；（2）证明：
【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根据余弦定理可知，
，化简得：
，故原等式成立．
(2021·新高考Ⅰ，19) 记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求
【解析】
（1）由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴，得证.
（2）由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，.
(2021·新高考Ⅱ，18)在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
(2020·新高考Ⅰ，17)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】选择条件①的解析：
由可得：，
不妨设，
则：，即．
据此可得：，，此时．
选择条件②的解析：
由可得：，
不妨设，
则：，即．
据此可得：，
则：，此时：，则：．
选择条件③的解析：
由可得：，
不妨设，
则：，即．
据此可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
(2020·全国卷Ⅰ，文18)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B=150°．
（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C．
【解析】（1）由余弦定理可得，
的面积；
（2），
，
，．
(2020·全国卷Ⅱ，理17)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值．
【解析】（1）由正弦定理可得：，，
，．
（2）由余弦定理得：，
即．
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为．
(2020·全国卷Ⅱ，文17)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；（2）若，证明：△ABC是直角三角形．
【解析】（1）因为，所以，
即，
解得，又，所以；
（2）因为，所以，
即①，
又②， 将②代入①得，，
即，而，解得，
所以，故，
即是直角三角形．
(2019·全国卷Ⅰ，理17)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；（2）若，求sinC．
解：（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
(2019·全国卷Ⅲ，理18)△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
18．解：（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积，
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0°(2019·全国卷Ⅲ，文18)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．
（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
18．解：（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是．
【解法2】解：（1）由题有
所以，由正弦定理得：
因为，所以
即，有得，所以
又因为，所以，
所以，所以
（2）由余弦定理得：
所以
所以
因为为锐角三角形，所以，即
又且C为锐角
所以，得（舍）或
综上：
所以
(2018·新课标Ⅰ，理17)在平面四边形中，，，，.
（1）求；（2）若，求.
解析：解法1：（1）在中，由正弦定理：，所以，又因为，所以，所以.
解法2：在中，由余弦定理可得，解得（负值舍去），再由余弦定理可得.
（2），所以，在中，由余弦定理可知，解得.
（2017·新课标Ⅰ，理17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长
解析：（1）面积．且，，
，由正弦定理得，由得．
（2）由（1）得，，，
，
又，，，，由余弦定理得 ①
由正弦定理得，， ②
由①②得，，即周长为．
（2017·新课标Ⅱ，理17）的内角的对边分别为 ,已知．
（1）求；（2）若 , 面积为2，求．
解析：（Ⅰ）【解法1】由题设及，故，
上式两边平方，整理得 ，解得 .
【解法2】由题设及，所以，又，所以，.
（Ⅱ）由，故，又，
由余弦定理及得
，所以b=2．
（2017·新课标Ⅲ，理17）的内角的对边分别为 ，已知，，．
（1）求；（2）设为边上一点，且，求的面积．
解析:（1）由得，即，
又，所以，得.
由余弦定理.
又因为代入并整理得.故.
（2）因为，由余弦定理.
因为，即为直角三角形，则，得.
由勾股定理.又，则，
.
（2016·新课标Ⅰ，理17）的内角的对边分别为，已知．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．
解析：⑴ ，由正弦定理得：
，∵，，∴
∴，，∵，∴
⑵ 由余弦定理得：，，
，∴，∴，
∴周长为
（2015·新课标Ⅱ，理17）在 ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC， ABD面积是 ADC面积的2倍．
（Ⅰ）求 ；（Ⅱ） 若AD=1，DC= ，求BD和AC的长．
解析：（Ⅰ），，因为，，所以，由正弦定理可得.
（Ⅱ）因为，，所以，在和中，
由余弦定理知，，，
故，由（Ⅰ）知，所以.
(2015·新课标Ⅰ，文17)已知分别为内角的对边，．
（1）若，求；（2）设，且，求的面积．
解析：（1）由正弦定理得，．又，
所以，即．则．
（2）解法一：因为，所以，
即，亦即．
又因为在中，，所以，
则，得．
所以为等腰直角三角形，得，所以．
解法二：由（1）可知，①
因为，所以，②
将代入得，则，所以．
解：(Ⅰ) 因为sin2B=2sinAsinC． 由正弦定理可得b2=2ac．
又a=b，可得a=2c， b=2c，由余弦定理可得．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知b2=2ac． 因为B=90°，所以a2+c2=b2=2ac．
解得a=c=． 所以ΔABC的面积为1．
（2015·新课标Ⅱ，文17）在ΔABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC.
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B.
（2015·17）解析：（Ⅰ）由正弦定理得因为AD平分所以
（Ⅱ）因为，
所以 由（Ⅰ）知 所以 即.
（2014·新课标Ⅱ，文17）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2.
（Ⅰ）求C和BD；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积.
（2014·17）解析：（Ⅰ）在△BCD中，BC=3，CD=2，由余弦定理得：BD2 = BC2+CD2-2BC·CDcosC = 13 -12cosC ①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，由余弦定理得：BD2 = AB2+AD2 -2AB·ADcosA = 5-4cosA = 5+4cosC ②，由①②得：，则C=60°，.
（Ⅱ）∵，，∴，则.
（2013·新课标Ⅰ，理17）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝，故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α，在△PBA中，由正弦定理得，
化简得cos α＝4sin α，所以tan α＝，即tan∠PBA＝.
（2013·新课标Ⅱ，17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.
解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B ①， 又A＝π-(B+C)，故sin A＝sin(B+C)＝sin Bcos C+cos Bsin C ②，由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以.
（Ⅱ）△ABC的面积. 由已知及余弦定理得. 又a2＋c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为.
（2012·新课标Ⅰ，17）已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．
（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，．
解析：（1）根据正弦定理，得，，，
因为，
所以，
即，（1）
由三角形内角和定理，得，
代入（1）式得，
化简得，
因为，所以，即，
而，，从而，解得．
（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，
则，化简得，
从而解得，．
（2012·新课标Ⅰ，文17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，.
（Ⅰ）求；（Ⅱ）若=2，△ABC的面积为，求，.
【解析】（1）根据正弦定理，得， ，
因为，
所以，
化简得，
因为，所以，即，
而，，从而，解得．
（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，
则，化简得，
从而解得，．
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