人教A版2019必修第一册 4.1指数 课件（共24张PPT）

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4.1指数
复习导入
问题1：初中我们就已经学方根，立方根。同学们是否还记得它们是怎样定义的吗？
问题2：一个数的平方根有几个？立方根有几个？
一个数的平方根有2个，立方根有1个
新知探究
一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且
是奇数
是偶数
正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数
正数的次方根有两个，
这两个数互为相反数
例如：，
例如：，，
注：①负数没有偶次方根；
②的任何次方根都是，
新知探究
式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
问题1：表示的次方根，那么一定成立吗？
不一定，例如：
可以得到：
问题2：一定成立吗？
一定成立
练习巩固
总结：①②
例1：求下列各式的值：
(1) (2) ; (3); (4).
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4)
练习巩固
变式1：化简：
(1) (2)
(3).
解：(1)
(2)显然，有意义，所以.
即
(3)
新知探究
问题3：若，试化简，，
①
②
③
追问1：观察上述式子，你能发现什么吗？
当根式的被开方数（看成幂的形式）的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
新知探究
追问2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？
可以，把根式表示为分数指数幂的形式时，例如，把，等写成下列形式：
新知探究
由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是
于是，在条件下，根式都能写成分数指数幂形式.
新知探究
问题4：与所表达的意义是否相同，你发现了什么？
； 无意义，
分数指数不能随意约分，因为约分之后可能会改变根式有意义的条件
规定了分数指数幂的意义后，幂中指数的取值范围就从整数拓展到了有理数.
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数均有下面的运算性质.
(1);
(2);
(3)
练习巩固
例2：求值：
(1)
解：(1)
(2)
变式2：(1)
解： (1)
(2)
练习巩固
例3：用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中）
(1)
解：(1)
(2)
练习巩固
变式3：将下列根式化成分数指数幂形式.
解：(1)
(2).
(3)
(4)
练习巩固
例4：计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)； (2)；
(3)().
解：(1)
(2)
练习巩固
例4：计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)； (2)；
(3)().
解：(3)()
新知探究
当指数是无理数时，的意义是什么？
问题5：根据的不足近似值和过剩近似值(如下表)，利用
计算工具计算相应的，的近似值并填入表中，观察它们的变化趋势，你有什么发现？
新知探究
都趋向于同一个数，我们可以通过它们逐步逼近的结果，它是一个确定的实数.这个过程可以用下图表示.
新知探究
(1);
(2);
(3)
一般地，无理数指数幂为无理数是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂中指数的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.整数指数幂的运算性质也适应于实数指数幂，即对于任意实数均有下面的运算性质.
练习巩固
练习1：设,求的值.
解：原式,
而∴分情况讨论：
当时，原式；
当时，原式.
综上，
练习巩固
练习2：用分数指数幂表示下列各式：
解：(1)
(2)；
(3)
练习巩固
练习3：计算下列各式（式中字母都是正数）.
.
解：(1)原式
(2)原式；
(3)原式
练习巩固
练习4：化简或计算下列各式：
解：(1)原式
(2)原式
练习巩固
练习5：已知，求下列各式的值：
解：将两边同时平方，得：.
(1)
(2)将两边同时平方，得：.∴
(3)
小结
①②
(1);
(2);
(3)