福建省泉州市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

泉州市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在空间直角坐标系中，向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.在正方体中，与向量相反的向量是（ ）
A. B. C. D.
3.若直线经过，两点，则的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线：与：之间的距离为，则（ ）
A.13 B.13或-7 C.7 D.7或-13
5.已知是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，且平面平面，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.已知圆：与圆：关于直线对称，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.在三棱锥中，为的中点，点在线段上，若，则（ ）
A. B.1 C. D.
8.已知圆：，点，，在圆上存在点，使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知直线：，：，则下列结论正确的是（ ）
A. 的斜率为 B. 在轴上的截距为-2
C.若，则 D.若，则
10.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
11.在菱形纸片中，E，F分别为，的中点，O是菱形的中心，，，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知曲线：，圆：，则（ ）
A.当或时，曲线与圆没有公共点
B.当时，曲线与圆有1个公共点
C.当时，曲线与圆有2个公共点
D.当时，曲线与圆有4个公共点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为____________
14.圆：与圆：的公切线条数为____________.
15.已知直线：与圆：交于P，Q两点，且为正三角形，则_____________
16.中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种被称为“羡除”的几何体，该几何体是三个面均为梯形，其他两个面为三角形的五面体.如图，现有一羡除，平面平面，，，四边形，均为等腰梯形，，M，N，P分别为，，的中点，则二面角的平面角的余弦值为____________
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知平行四边形的三个顶点分别为，，.
（1）求直线的方程；
（2）求平行四边形的面积.
18.（12分）
在平行六面体中，，，E为线段上更靠近A的三等分点.
（1）用向量，，表示向量；
（2）求；
（3）求.
19.（12分）
如图，在直三棱柱中，，，P，Q，R分别是，，的中点.
（1）证明：平面.
（2）求到平面的距离.
20.（12分）
已知圆：，直线：.
（1）证明：过定点.
（2）求被圆截得的最短弦长.
21.（12分）
已知为圆：上一动点，点，为的中点.
（1）求的轨迹方程；
（2）若为圆上一动点，在直线：上存在点，使得最小，求的最小值.
22.（12分）
如图，在圆锥中，是底面圆的直径，C，D是圆上的两点，，，为母线上的一点.
（1）证明：平面平面.
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求.
泉州市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学参考答案
1.D .
2.A与向量相反的向量是.
3.C由题意得的斜率为，所以的倾斜角为
4.B易得，则，得或-7.
5.B由题意得，则，得，，所以在上的投影向量为.
6.C由题意得，，则的中点的坐标为，.由圆与圆关于对称，得的斜率为.因为的中点在上，所以，即.
7.D设，则
，
所以得.
8.C如图，构造圆：，当圆与圆有且仅有一个公共点时，，
即圆与圆的关系可以为相切或相交，所以得.
9.AC 的斜截式方程为，则的斜率为，在轴上的截距为-1.若，则，得.若，则，得.
10.BC因为，所以，，共面，A错误.
不存在，，使得，所以，，不共面，B正确.
不存在，，使得，所以，，不共面，C正确.
因为，所以，，共面，D错误.
11.ACD由题意得，，，，，因为为钝角，所以.
12.ACD由，得或，设：，：，
易得过定点，过定点，当与圆M相切时，由，得或，
当与圆M相切时，由，得或.
当或时，与圆M相离，与圆M相离，则曲线C与圆M没有公共点.
当时，与圆M相交，与圆M相离，则曲线C与圆M有2个公共点.
当时，与圆M相交，与圆M相切，则曲线C与圆M有3个公共点.
当时，与圆M相交，与圆M相交，则曲线C与圆M有4个公共点.
13. 关于平面的对称点的坐标为.
14.4由题意得，，圆M与圆N的半径之和为1+3=4，因为，所以圆M与圆N外离，则圆M与圆N的公切线条数为4.
15.2或-4 由题意得，圆M的半径为，则点M到的距离为.由，得或-4.
16. 过A作，垂足为O，过O作，垂足为Q，以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，
设平面的法向量为，则取，则，，得.
易得平面的一个法向量为，二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为.
17.解：（1）直线的方程为，即.
（2）由题意得.
因为到直线的距离为，
所以平行四边形的面积为.
18.解：（1）由题意得.
（2）
.
（3）由题意得，
所以
.
19.（1）证明：∵，，，∴平面，以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
，，，，，
∴平面的一个法向量为，
∵，∴，平面.
备注：第一问也可以不建立空间直角坐标系，取的中点，先证明，再证明平面.
（2）解：由（1）得，，，
设平面的法向量为，则取，则，，
得，
∴到平面的距离为.
20.（1）证明：的方程可化为，
联立得
所以过定点（4，-1）
（2）解：由题意得，圆M的半径为4
设，当，且垂足为P时，被圆M截得的弦长最短.
此时，
所以被圆截得的最短弦长为.
21.解：（1）设，，则得
因为A在圆O上，所以，则，化简得，
故Q的轨迹方程为.
（2）如图，设圆的圆心为，
设O关于对称的点为，则得，即.
易得，则当，M，N三点共线时，最小，
最小值为.
因为，所以的最小值为.
22.（1）证明：连接.
∵，，∴四边形为菱形，∴.
∵平面，平面，∴.
∵，平面，∴平面.
∵平面，∴平面平面.
（2）解：以为原点，的中垂线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，
设，∵直线与平面所成角的正弦值为，∴，
即.
，，
设平面的法向量为，则
取，得，，
∴平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
化简得，得，即或（舍去）.