学科：数学
专题：一元二次方程的公共根
金题精讲
题一：
题面：若两个关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0只有一个公共的实数根，求a的值
满分冲刺
题一：
题面：已知两个二次方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0有一个公共根为1，求证：二次方程
x2+x+＝0也有一个根为1．
题二：
题面：已知a＞2，b＞2，试判断关于x的方程x2 (a+b)x+ab=0与x2 abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由．
课后练习详解
金题精讲
题一：
答案：a= 2
详解：设两个方程的公共根为，则有
①
②
① ②得，即
因为只有一个公共根，所以a≠1，所以=1
把=1代入x2+x+a=0得12+1+a=0， a= 2．
满分冲刺
题一：
答案：二次方程x2+ x+＝0也有一个根为1．
详解：∵x=1是方程x2+ax+b=0和x2+cx+d=0的公共根，
∴a+b+1=0，c+d+1=0，
∴a+c+b+d+2=0，
∴b+d= a c 2 ①
把①代入方程x2+x+=0，得：x2+x 1 =0，
(x2 1)+(x 1)=0，(x 1)( x+1+)=0，
∴x1=1，x2= 1 ．故二次方程x2+x+=0也有一个根为1．
题二：
答案：关于x的两个方程没有公共根．
详解：不妨设关于x的方程x2 （a+b）x+ab=0与x2 abx+（a+b）=0有公共根，设为x0，则有 整理，可得（x0+1）（a+b-ab）=0
∵a＞2， b＞2，∴a+b≠ab，∴x0= 1
把x0= 1代入①得，1+a+b+ab=0这是不可能的
所以，关于x的两个方程没有公共根．
①
②学科：数学
专题：一元二次方程的公共根
金题精讲
题一：
题面：一元二次方程的某个根，也是一元二次方程的根，求k的值．
满分冲刺
题一：
题面：已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰有一个公共实数根，求 ++的值．
题二：
题面：设，且1 ab2 ≠0，则
．
课后练习详解
金题精讲
题一：
答案：k的值为 7或．
详解：解得．
把代入得，解得k= 7．
把代入得，解得k=．
∴k的值为 7或．
满分冲刺
题一：
答案：3.
详解：设三个关于x的一元二次方程的公共实数根为t，
则at2+bt+c=0①，bt2+ct+a=0②，ct2+at+b=0③，①+②+③得(a+b+c)t2+(a+b+c)t+(a+b+c)=0，
∴(a+b+c)(t2+t+1)=0，
而t2+t+1=(t+)2+，∵(t+)2≥0，
∴t2+t+1＞0，∴a+b+c=0，∴a+b= c，
原式====
===3．
题二：
答案： 32
详解：解得，
解得．
∵，∴．
又∵1－ab2≠0，∴．∴。∴．
∴学科：数学
专题：一元二次方程公共根
金题精讲
题一
题面：设方程和有公共根，求的值．
判别式，考虑参数范围
满分冲刺
题一
题面：三个二次方程，，有公共根．
⑴ 求证：；
⑵ 求公共根的值．
判别式，整数根
题二
题面：二次项系数不相等的两个二次方程
和(其中，为正整数)有一个公共根，求
的值．
判别式，整数根
讲义参考答案
金题精讲
题一
答案：设公共根为，则
①
②
①②得
∴
当时，
∴
经检验均合题意
∴．
满分冲刺
题一
答案：⑴ 设上述三个方程的公共根为，则有
，，
三式相加并提取公因式可得，
又，故，
(2)公共根为或．
题二
答案： ，
故两根为和
同理，的两根为和．
由题意可知，，故或．
均可化简为：，即
由，为正整数，故或，解得，．
也可采取与之前相同的解法：
设公共根为，
则，
消去项并因式分解可得，(由已知可得)
若，则有(或)，与已知矛盾；
若，解法同上．
故．
