学科：数学
专题：一元二次方程整数根问题
主讲教师：黄炜 北京四中数学教师
重难点易错点解析
题一：
题面：已知1是关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）
A． 1 B．﹣1 C． 0 D．无法确定
金题精讲
题一：
题面：关于x的一元二次方程的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+x2=7，则m的值是（ ）
A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 7
满分冲刺
题一：
题面：已知无实根，且a是实数，
化简．
题二：
题面：求证：关于x的方程有两个不相等的实数根．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：B
详解：根据题意得：(m﹣1)+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．
金题精讲
题一：
答案：B
详解：∵方程有两个正实数根，
∴．
又∵2x1+x2=7，∴x1=7－m．
将x1=7－m代入方程，得，
解得m=2或m=6．
∵，∴m=6．故选B．
满分冲刺
题一：
答案：a+3
详解：方程无实根，∴，
即解得当时，
题二：
答案：原方程有两个不相等的实数根
详解：，
∵，
∴，
∴原方程有两个不相等的实数根．学科：数学
专题：一元二次方程整数根问题
重难点易错点解析
题一：
题面：已知关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，则b与c的值分别为（ ）
A．b=﹣1，c=2 B．b=1，c=﹣2 C．b=1，c=2 D．b=﹣1，c=﹣2
金题精讲
题一：
题面：k取何值时，方程有两个相等的实数根 并求出这时方程的根．
满分冲刺
题一：
题面：已知是一元二次方程的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使为负整数的实数a的整数值．
题二：
题面：求证：无论k为何值，方程都没有实数根．
课后练习详解
重难点易错点解析
题一：
答案：D
详解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=﹣2，
∴x1+x2=b=1+(﹣2)=﹣1，x1 x2=c=1×(﹣2)=﹣2．
∴b=﹣1，c=﹣2．故选D．
金题精讲
题一：
答案：当时，方程为：
当时，方程为：
详解：根据题意，得
当或时，原方程有两个相等的实数根．
当时，方程为：
当时，方程为：．
满分冲刺
题一：
答案：（1）成立；（2）a的整数值有12，9，8，7．
详解：（ 1）成立．
∵是一元二次方程的两个实数根，
∴由根与系数的关系可知，；
∵一元二次方程有两个实数根，
∴△=4a2－4（a－6） a≥0，且a 6≠0，解得，a≥0，且a≠6．
由得，即．
解得，a=24＞0，且a－6≠0．
∴存在实数a，使成立，a的值是24．
（2）∵，
∴当为负整数时，a－6＞0，且a－6是6的约数．
∴a－6=6，a－6=3，a－6=2，a－6=1．∴a=12，9，8，7．
∴使为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7．
题二：
答案：方程都没有实数根．
详解：∵
∴无论k为何值，方程都没有实数根．学科：数学
专题：一元二次方程整数根
重难点易错点辨析
在解决整数根问题时，还是不要忽略了对二次项系数的讨论。
题一
题面：关于的方程的根都是整数，求符合条件的的整数值.
金题精讲
题一
题面：已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k 4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值.
判别式，考虑参数范围
满分冲刺
题一
题面：已知，关于的一元二次方程
⑴若，求证：方程有两个不相等的实数根；
⑵若的整数，且方程有两个整数根，求的值．
判别式，整数根
题二
题面：已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1 0.
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数.
判别式，整数根
讲义参考答案
重难点易错点辨析
题一
答案：当时，；
当时，（分离常数），
为整数
综上，的整数值为
金题精讲
题一
答案：(1)；(2)k 2.
满分冲刺
题一
答案：⑴证明：
∵， ∴.
∴方程有两个不相等的实数根．
⑵
∵方程有两个整数根，必须使且为整数．
又∵，
∴
∴．
为奇数，
∴．
题二
答案：（1）证明：△=(m+3)2 m
m2 m m
m2 m
(m+1)2
∵(m+1)2≥0
∴(m+1)2 ≥0
∴无论m取何实数时，原方程都有两个不相等的实数根
（2）解关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0得
要使原方程的根是整数根，必须使得(m+1)2 是完全平方数
设(m+1)2 a
则 a m a m 1 4
∵a m 与a m 1的奇偶性相同
可得或
解得或
将代入得符合题意；
∴当时，原方程的根是整数.
