第12章 全等三角形 单元测试（含答案）2023-2024学年人教版八年级上册数学

《第12章 全等三角形》单元测试卷
班级 姓名
一．选择题（每小题3分，共36分）
如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为BC上一点，DE⊥AB于E，并且DE＝DC，F为AC
上一点，则下列结论中正确的是（　　）
A．DE＝DF B．BD＝FD C．∠1＝∠2 D．AB＝AC
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　）
A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性
3．如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（　　）
A．12 B．7 C．2 D．14
4．如图，AB＝AC，DB＝DC则直接由“SSS”可以判定（　　）
A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE C．△EBD≌△ECD D．以上答案都不对
第4题图 第5题图 第7题图
5．如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD＝4cm，则点D到AB的距离为（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．不能确定
6．下列画图的语句中，正确的为（　　）
A．画直线AB＝10cm B．画射线OB＝10cm
C．延长射线BA到C，使BA＝BC D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交
7．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（　　）
A．58° B．64° C．122° D．124°
8．如图，△ABC≌△ADC，则与∠BAC相等的角是（　　）
∠ACD B．∠ADC C．∠DAC D．∠ACB
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝10cm，点D到AB的距离为4cm，则BD的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
10．如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（　　）
A．∠ABC＝∠AED B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．AC＝DE
11．如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是（　　）
A．∠ABC＝∠DCB B．AB＝DC C．AC＝DB D．∠A＝∠D
12．如图所示，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD； ③∠BAC＝∠BAD； ④BC＝BD，能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
第12题图 第14题图 第15题图 第16题图
填空题（每小题4分，共16分）
1 13. 在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，AB＝3cm，AC＝5cm，那么DE＝　 　cm．
如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD=AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE=12cm，则DE的长为　　cm．
如图，△ADB≌△ECB，若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为　 　．
如图，在△ABC中，BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，BF与AD相交于E．若AD＝BD，BC＝8cm，
DC＝3cm，则AE＝　 　cm．
解答题（共68分）
17．（8分）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．
求证：△AOB≌△COD．
18.（8分）如图，点A、B、D、E在同一条直线上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF．
求证：△ABC≌△DEF．
19.（8分）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BF＝CE，
求证：△ABC≌△DEF．
20.（8分）如图，点C、E、B、F在一条直线上，AB⊥CF于B，DE⊥CF于E，AC＝DF，AB＝DE．
求证：CE＝BF．
21．（8分）已知：如图AB，CD相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠B＝90°，求证：∠CAD＝∠BDA．
22．（10分）如图，△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF；
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）求证：AC∥DF．
23．（10分）公路上，A，B两站相距25千米，C、D为两所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，如图，已知DA＝15千米，现在要在公路AB上建一报亭H，使得C、D两所学校到H的距离相等，且∠DHC＝90°，问：H应建在距离A站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？
如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．
若S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，求AC的长．
25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
26．（12分）已知AE⊥AB，DA⊥AC，AE＝AB，AD＝AC．直线MN过点A，交DE、BC于点M、N．
（1）若AM是△EAD中线，求证：AN⊥BC；
（2）若AN⊥BC，求证：EM＝DM．
参考答案
1．解：（1）在直角三角形DCF中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到DF＞DC，又DC＝DE，所以DF＞DE，
故A选项错误；
（2）△BDE与△DCF，只满足∠DEB＝∠DCF＝90°，DC＝DE的条件，不能判定两个三角形全等，故不能得到BD＝FD，
另一方面，假设BD＝FD，
在Rt△DBE与△DFC中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DFC（HL），
∴∠B＝∠DFC，
而图中∠B大小是固定的，∠DFC的大小随着F的变化而变化，故上述假设是不成立的，
故B选项错误；
（3）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC＝DE，
利用角平分线的判定，
DC是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
故C选项正确；
（4）在直角三角形ABC中，利用斜边长度大于直角边长度，可以得到AB＞AC，
故D选项错误，
故选：C．
2．解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．
故选：B．
3．解：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，CB＝CE，
∵CE＝5，AC＝7，
∴CB＝5，DC＝7，
∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．
故选：A．
4．解：在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
故选：A．
5．解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE的长即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE，
∵CD＝4cm，
∴DE＝4cm，即点D到AB的距离为4cm．
故选：C．
6．解：A、错误．直线没有长度；
B、错误．射线没有长度；
C、错误．射线有无限延伸性，不需要延长；
D、正确．
故选：D．
7．解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
即O点到BA和BC的距离相等，O点到CA和CB的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×64°
＝122°．
故选：C．
8．解：∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，
故选：C．
9．解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4cm，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6（cm），
故选：C．
10．解：A、∵△ABC≌△ADE，
∴∠ABC＝∠AED，但∠ABC与∠AED不一定相等，本选项结论不成立，不符合题意；
B、∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，本选项结论成立，符合题意；
C、∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AB与AE不一定相等，本选项结论不成立，不符合题意；
D、∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，AC与DE不一定相等，本选项结论不成立，不符合题意；
故选：B．
11．解：在△ABC和△DCB中，
∵∠ACB＝∠DBC，BC＝BC，
A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB（ASA），
故A能证明；
B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，
故B不能证明；
C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB（SAS），
故C能证明；
D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB（AAS），
故D能证明；
故选：B．
12．解：①当AC＝AD时，由∠C＝∠D＝90°，AC＝AD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
②当∠ABC＝∠ABD时，由∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
③当∠BAC＝∠BAD时，由∠C＝∠D＝90°，∠BAC＝∠BAD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（AAS）；
④当BC＝BD时，由∠C＝∠D＝90°，BC＝BD且AB＝AB，可得Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）；
故选：D．
13．解：如图：
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF中（AAS），
∴AB＝DE，
∵AB＝3cm，
∴DE＝3cm，
故答案为：3．
12
50°
2
17．证明：∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC﹣∠AOD＝∠BOD﹣∠AOD，
即∠COD＝∠AOB，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SAS）．
18．证明：∵AC∥DF，
∴∠CAB＝∠FDE(两直线平行，同位角相等),
又∵BC∥EF，
∴∠CBA＝∠FED(两直线平行，同位角相等),
在△ABC和△DEF中，
,
∴△ABC≌△DEF(ASA)．
19．证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
20．证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠ABC＝∠DEF＝90°．
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
∴BC＝EF．
∴BC﹣BE＝EF﹣BE．
即：CE＝BF．
21．证明：∵∠C＝∠B＝90°
在△ACD与△DBA中，
．
∴△ACD≌△DBA（HL）．
∴∠CAD＝∠BDA．
22．解：（1）∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
（2）由（1）知：△ABC≌△DEF，
∴∠DFE＝∠ACB，
∴AC∥DF
23．解：∵∠DHC＝90°，
∴∠AHD+∠CHB＝90°，
∵DA⊥AB，
∴∠D+∠AHD＝90°，
∴∠D＝∠CHB，
在△ADH和△BHC中，，
∴△ADH≌△BHC（AAS），
∴AD＝BH＝15千米，AH＝BC，
∵A，B两站相距25千米，
∴AB＝25千米，
∴AH＝AB﹣BH＝25﹣15＝10千米，
∴学校C到公路的距离是10千米．
答：H应建在距离A站10千米处，学校C到公路的距离是10千米．
24．解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，
∴DF＝DE＝2．
又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝5，
∴9＝×5×2+×AC×2，
∴AC＝4．
25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
26．证明：（1）如图，延长AM至F，使MF＝AM，
∵AM是△EAD中线，
∴EM＝DM，
在△EMF和△DMA中，
，
∴△EMF≌△DMA（SAS），
∴∠DAM＝∠F，EF＝AD，
∵AD＝AC，
∴EF＝AC，
∵AE⊥AB，DA⊥AC，
∴∠BAC＝360°﹣90°×2﹣∠DAE＝180°﹣∠DAE，
∵∠AEF＝180°﹣∠F﹣∠EAM＝180°﹣∠DAM﹣∠EAM＝180°﹣∠DAE，
∴∠BAC＝∠AEF，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（SAS），
∴∠EAF＝∠B，
∵AE⊥AB，
∴∠EAF+∠BAN＝90°，
∴∠B+∠BAN＝90°，
在△ABN中，∠ANB＝180°﹣（∠B+∠BAN）＝180°﹣90°＝90°，
∴AN⊥BC；
（2）如图，过点E作EF∥AD交AM的延长线于F，
则∠F＝∠DAM，
∵DA⊥AC，
∴∠DAM+∠CAN＝90°，
∵AN⊥BC，
∴∠CAN+∠C＝90°，
∴∠F＝∠DAM＝∠C，
∵AE⊥AB，DA⊥AC，
∴∠BAC＝360°﹣90°×2﹣∠DAE＝180°﹣∠DAE，
∵∠AEF＝180°﹣∠F﹣∠EAM＝180°﹣∠DAM﹣∠EAM＝180°﹣∠DAE，
∴∠BAC＝∠AEF，
在△ABC和△EAF中，
，
∴△ABC≌△EAF（AAS），
∴EF＝AC，
∵AD＝AC，
∴EF＝AD，
在△EFM和△DAM中，
，
∴△EFM≌△DAM（AAS），
∴EM＝DM．