人教B版（2019）必修第二册 4.2对数与对数函数 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第二册 4.2对数与对数函数 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 763.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-13 10:21:26 | ||
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文档简介
4.2对数与对数函数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．定义域为的函数满足：当时，，且对任意的实数，均有，记则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的偶函数在上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知，则（ ）
A．0 B．4 C． D．4046
7．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
8．今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（ ）（参考数据:）
A．年 B．年 C．年 D．年
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．的最大值为
C．的图象关于成中心对称
D．的递减区间是
10．已知，，，则（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为
C．的最小值为3 D．的最小值为
11．已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．图象关于直线对称 D．图象关于点对称
12．若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．方程的解为 ．
14．若，是方程的两个根，则 ．
15．一台实验室抽气机，每次能抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.5%，则至少要用该抽气机抽 次.
16．已知函数，则 ，函数的值域为 .
四、计算题
17．计算：
(1)
(2)
五、解答题
18．已知函数是定义域为的奇函数，满足．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)求不等式的解集．
19．已知函数（其中且）是奇函数．
(1)求，的值并判断函数的单调性；
(2)已知二次函数满足，且其最小值为．若对，都，使得成立，求实数的取值范围．
20．已知函数，.
(1)当，时，求满足的x的值；
(2)当，时，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值.
21．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性.
22．已知函数（）．
(1)求的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并求函数的单调区间．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性比较大小.
【详解】由已知，
，
，即，
所以，
故选：A.
2．D
【分析】根据函数在上的解析式以及，将的范围利用表达式化到上代入计算即可得出结果.
【详解】由可得，
所以，由可得，
即，所以；
易知，可得，
所以；
显然，
又可得；
显然，所以
；
可得
.
故选：D
3．A
【详解】根据指、对数函数单调性可得，结合偶函数的性质分析判断.
【分析】因为，即，
又因为，即，
可得，
由题意可知：在上单调递减，所以.
故选：A.
4．D
【分析】根据对数函数单调性和定义域分析求解.
【详解】因为在定义域内单调递增，
若，则，解得，
所以的取值范围为.
故选：D.
5．B
【分析】根据题意，由对数的运算可得，再结合偶函数的性质以及函数的单调性，即可比较大小.
【详解】因为偶函数在上单调递减，
所以函数在单调递增，且，，又，，
所以，，
所以，即.
故选：B
6．B
【分析】化简后得到，从而求出结果.
【详解】，定义域为R，
其中
，
故.
故选：B
7．B
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以，
,
,当且仅当，即等号成立
故选：B.
8．B
【分析】根据已知条件得,解方程组求出的值,当时,在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得:,解得,
所以,
当时,得,即,
两边取对数得,
所以,
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要年.
故选:B.
9．AC
【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，根据指数函数的单调性进行判断；对于C，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于D，根据对数函数的定义域即可判断..
【详解】对于A，函数的定义域为，
由得，
则函数的定义域为，A正确；
对于B，函数在R上单调递减，且，
则，即当时，
函数取得最小值，无最大值，B错误；
对于C，函数的图象的对称中心为，
将函数的图象先向左平移2个单位，
再向上平移1个单位得到函数的图象，
则函数的图象的对称中心为，C正确，
定义域，D错误.
故选：AC
10．BCD
【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断A； 利用消元法结合二次函数的性质即可判断B；利用基本不等式结合对数运算即可判断C；利用基本不等式结合指数运算即可判断 D.
【详解】由题意可得，当且仅当时，等号成立，则A错误；
,
，，，,
当时，的最小值为，则B正确；
因为，且，所以，所以，
,当且仅当时，等号成立，则C正确；
,当且仅当时，等号成立，则D正确；
故选：BCD.
11．AC
【分析】选项AB，将函数转化为复合函数，研究单调性；选项C，由可证明；选项D，特值法.
【详解】选项AB，由，，
令，则，
当时，单调递增，
单调递增，则函数单调递增，
故A正确，B错误；
选项C，法一：，，
，
则，则图象关于对称；
法二：，
是偶函数，
则其图象关于对称，
因为的图象则由的图象向右平移个单位得到，
所以的图象关于对称，
故C正确；
选项D，由，则，
则图象不关于对称.
故D错误.
故选：AC.
12．ACD
【分析】设，即可得到的单调性，再由，计算出、，即可判断.
【详解】设，则在上为增函数，
，
，
，，故B正确；
，
当时，，
此时，有；
当时，，此时，有，
所以A、C、D均错误．
故选：ACD．
13．/
【分析】由对数运算性质可得答案.
【详解】由题，.
故答案为：.
14．
【分析】由对数运算法则利用韦达定理即可求得结果.
【详解】根据题意由根与系数的关系可知，，
所以，
即.
故答案为：
15．6
【分析】设至少抽n次，由求解.
【详解】解：设至少抽n次，则由题意得：，
即，则，
而，
所以，
故答案为：6
16． 2
【分析】根据分段函数解析式代入计算即可求得；利用二次函数单调性以及对数函数单调性分别求出对应函数值域即可求得的值域为.
【详解】易知，所以；
当时，；
当时，，易知在上是单调递增函数，
所以，
综上可知的值域为.
故答案为：2；
17．(1)
(2)0
【分析】（1）先将根式转化为分数指数幂，再利用运算性质计算；
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由，即，又，解得，则可得的解析式，
（2）由函数的单调性定义，即可得出答案．
（3）根据函数的奇偶性以及单调性，即可结合对数函数的单调性求解.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，所以，
又因为，解得，所以，
，故当，时，是奇函数，
故
（2）设，
则，
因为，
所以，，，
所以，
即，所以在上为增函数．
（3）由于是上的函数，
所以，解得，
由为奇函数以及得，
又在上为增函数．所以，
故，解得，
故 ，
因此解集为
19．(1)，，函数在上单调递增
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性求出，的值，利用函数结构判断单调性.
（2）根据二次函数的对称性与单调性求出在值域与值域，再根据包含关系求出参数范围.
【详解】（1）由条件可知函数的定义域为，由是奇函数知，
即，解得，
所以，
又，
于是对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，解得，
所以，
又，
因在上单调递增，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，
于是函数在上单调递增．
（2）由（1）知当时，函数的值域为
又根据条件得且，
所以在时单调减，时单调增；
当时，，则函数的值域为，
因为对，都，使得成立，
所以，所以，解得，
因此实数的取值范围为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得的值.
（2）化简不等式，利用换元法、分离常数法，结合函数的单调性求得的取值范围，进而求得的最大值.
【详解】（1）因为，时，，
又因为，所以
所以，所以，即；
（2），，所以
所以，
故，
因为对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，所以，
又因为
由对勾函数的单调性可知，时y有最小值，
所以，所以，
所以m的最大值为.
【点睛】求解含参数的不等式恒成立问题，可考虑直接分析法，也可以考虑分离参数法进行求解.求解分式型式子的最值，可以考虑换元法、判别式法等方法进行求解，解题过程中往往需要结合函数的单调性、基本不等式、二次函数的性质等知识.
21．(1)
(2)偶函数
【分析】（1）根据对数型函数的定义域即可求解定义域；
（2）根据奇偶性的定义即可判断奇偶性.
【详解】（1）要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为.
（2）由（1）可知，函数的定义域为，关于原点对称.
对任意，则.
因为，
所以由函数奇偶性可知，函数为偶函数.
22．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数的解析式列出函数有意义时满足的不等式，即可求得答案；
（2）根据函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；结合复合函数的单调性的判断方法可求得函数的单调区间.
【详解】（1）要使此函数有意义，则有，即，
解得或，故此函数的定义域为．
（2）由（1）可得的定义域关于原点对称，
∵，
∴为奇函数．
，
设，，
则函数在区间和区间上均单调递减，
所以当时，在上单调递增，
故在，上单调递减；
当时，在上单调递减，
故在，上单调递增．
故当时，的单调递减区间为，，无单调递增区间；
当时，的单调递增区间为，，无单调递减区间．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．定义域为的函数满足：当时，，且对任意的实数，均有，记则（ ）
A． B． C． D．
3．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的偶函数在上单调递减，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知，则（ ）
A．0 B．4 C． D．4046
7．函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C． D．
8．今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（ ）（参考数据:）
A．年 B．年 C．年 D．年
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．的最大值为
C．的图象关于成中心对称
D．的递减区间是
10．已知，，，则（ ）
A．的最小值为4 B．的最小值为
C．的最小值为3 D．的最小值为
11．已知函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．图象关于直线对称 D．图象关于点对称
12．若，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．方程的解为 ．
14．若，是方程的两个根，则 ．
15．一台实验室抽气机，每次能抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.5%，则至少要用该抽气机抽 次.
16．已知函数，则 ，函数的值域为 .
四、计算题
17．计算：
(1)
(2)
五、解答题
18．已知函数是定义域为的奇函数，满足．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)求不等式的解集．
19．已知函数（其中且）是奇函数．
(1)求，的值并判断函数的单调性；
(2)已知二次函数满足，且其最小值为．若对，都，使得成立，求实数的取值范围．
20．已知函数，.
(1)当，时，求满足的x的值；
(2)当，时，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值.
21．已知函数.
(1)求函数的定义域；
(2)判断函数的奇偶性.
22．已知函数（）．
(1)求的定义域；
(2)判断函数的奇偶性，并求函数的单调区间．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性比较大小.
【详解】由已知，
，
，即，
所以，
故选：A.
2．D
【分析】根据函数在上的解析式以及，将的范围利用表达式化到上代入计算即可得出结果.
【详解】由可得，
所以，由可得，
即，所以；
易知，可得，
所以；
显然，
又可得；
显然，所以
；
可得
.
故选：D
3．A
【详解】根据指、对数函数单调性可得，结合偶函数的性质分析判断.
【分析】因为，即，
又因为，即，
可得，
由题意可知：在上单调递减，所以.
故选：A.
4．D
【分析】根据对数函数单调性和定义域分析求解.
【详解】因为在定义域内单调递增，
若，则，解得，
所以的取值范围为.
故选：D.
5．B
【分析】根据题意，由对数的运算可得，再结合偶函数的性质以及函数的单调性，即可比较大小.
【详解】因为偶函数在上单调递减，
所以函数在单调递增，且，，又，，
所以，，
所以，即.
故选：B
6．B
【分析】化简后得到，从而求出结果.
【详解】，定义域为R，
其中
，
故.
故选：B
7．B
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】函数（且）的图象恒过定点,所以，
,
,当且仅当，即等号成立
故选：B.
8．B
【分析】根据已知条件得,解方程组求出的值,当时,在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得:,解得,
所以,
当时,得,即,
两边取对数得,
所以,
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要年.
故选:B.
9．AC
【分析】对于A，由复合函数的定义域的求法判断；对于B，根据指数函数的单调性进行判断；对于C，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于D，根据对数函数的定义域即可判断..
【详解】对于A，函数的定义域为，
由得，
则函数的定义域为，A正确；
对于B，函数在R上单调递减，且，
则，即当时，
函数取得最小值，无最大值，B错误；
对于C，函数的图象的对称中心为，
将函数的图象先向左平移2个单位，
再向上平移1个单位得到函数的图象，
则函数的图象的对称中心为，C正确，
定义域，D错误.
故选：AC
10．BCD
【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断A； 利用消元法结合二次函数的性质即可判断B；利用基本不等式结合对数运算即可判断C；利用基本不等式结合指数运算即可判断 D.
【详解】由题意可得，当且仅当时，等号成立，则A错误；
,
，，，,
当时，的最小值为，则B正确；
因为，且，所以，所以，
,当且仅当时，等号成立，则C正确；
,当且仅当时，等号成立，则D正确；
故选：BCD.
11．AC
【分析】选项AB，将函数转化为复合函数，研究单调性；选项C，由可证明；选项D，特值法.
【详解】选项AB，由，，
令，则，
当时，单调递增，
单调递增，则函数单调递增，
故A正确，B错误；
选项C，法一：，，
，
则，则图象关于对称；
法二：，
是偶函数，
则其图象关于对称，
因为的图象则由的图象向右平移个单位得到，
所以的图象关于对称，
故C正确；
选项D，由，则，
则图象不关于对称.
故D错误.
故选：AC.
12．ACD
【分析】设，即可得到的单调性，再由，计算出、，即可判断.
【详解】设，则在上为增函数，
，
，
，，故B正确；
，
当时，，
此时，有；
当时，，此时，有，
所以A、C、D均错误．
故选：ACD．
13．/
【分析】由对数运算性质可得答案.
【详解】由题，.
故答案为：.
14．
【分析】由对数运算法则利用韦达定理即可求得结果.
【详解】根据题意由根与系数的关系可知，，
所以，
即.
故答案为：
15．6
【分析】设至少抽n次，由求解.
【详解】解：设至少抽n次，则由题意得：，
即，则，
而，
所以，
故答案为：6
16． 2
【分析】根据分段函数解析式代入计算即可求得；利用二次函数单调性以及对数函数单调性分别求出对应函数值域即可求得的值域为.
【详解】易知，所以；
当时，；
当时，，易知在上是单调递增函数，
所以，
综上可知的值域为.
故答案为：2；
17．(1)
(2)0
【分析】（1）先将根式转化为分数指数幂，再利用运算性质计算；
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由，即，又，解得，则可得的解析式，
（2）由函数的单调性定义，即可得出答案．
（3）根据函数的奇偶性以及单调性，即可结合对数函数的单调性求解.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，
所以，所以，
又因为，解得，所以，
，故当，时，是奇函数，
故
（2）设，
则，
因为，
所以，，，
所以，
即，所以在上为增函数．
（3）由于是上的函数，
所以，解得，
由为奇函数以及得，
又在上为增函数．所以，
故，解得，
故 ，
因此解集为
19．(1)，，函数在上单调递增
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性求出，的值，利用函数结构判断单调性.
（2）根据二次函数的对称性与单调性求出在值域与值域，再根据包含关系求出参数范围.
【详解】（1）由条件可知函数的定义域为，由是奇函数知，
即，解得，
所以，
又，
于是对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，解得，
所以，
又，
因在上单调递增，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，
于是函数在上单调递增．
（2）由（1）知当时，函数的值域为
又根据条件得且，
所以在时单调减，时单调增；
当时，，则函数的值域为，
因为对，都，使得成立，
所以，所以，解得，
因此实数的取值范围为．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得的值.
（2）化简不等式，利用换元法、分离常数法，结合函数的单调性求得的取值范围，进而求得的最大值.
【详解】（1）因为，时，，
又因为，所以
所以，所以，即；
（2），，所以
所以，
故，
因为对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，所以，
又因为
由对勾函数的单调性可知，时y有最小值，
所以，所以，
所以m的最大值为.
【点睛】求解含参数的不等式恒成立问题，可考虑直接分析法，也可以考虑分离参数法进行求解.求解分式型式子的最值，可以考虑换元法、判别式法等方法进行求解，解题过程中往往需要结合函数的单调性、基本不等式、二次函数的性质等知识.
21．(1)
(2)偶函数
【分析】（1）根据对数型函数的定义域即可求解定义域；
（2）根据奇偶性的定义即可判断奇偶性.
【详解】（1）要使函数有意义，则，解得，
故函数的定义域为.
（2）由（1）可知，函数的定义域为，关于原点对称.
对任意，则.
因为，
所以由函数奇偶性可知，函数为偶函数.
22．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数的解析式列出函数有意义时满足的不等式，即可求得答案；
（2）根据函数奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；结合复合函数的单调性的判断方法可求得函数的单调区间.
【详解】（1）要使此函数有意义，则有，即，
解得或，故此函数的定义域为．
（2）由（1）可得的定义域关于原点对称，
∵，
∴为奇函数．
，
设，，
则函数在区间和区间上均单调递减，
所以当时，在上单调递增，
故在，上单调递减；
当时，在上单调递减，
故在，上单调递增．
故当时，的单调递减区间为，，无单调递增区间；
当时，的单调递增区间为，，无单调递减区间．
答案第1页，共2页
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