人教B版（2019）必修第二册 4.4幂函数 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第二册 4.4幂函数 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 754.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-13 10:44:31 | ||
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文档简介
4.4幂函数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（ ）
A．（） B．
C． D．
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C．2 D．3
5．已知幂函数的图象经过点，则函数为（ ）
A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数
C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数
6．图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3
7．已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
8．下列函数在递减，且图像关于y轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知是幂函数，则的值可能为（ ）
A．11 B．9 C．1 D．
10．已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．是定义域内的增函数
C．是偶函数 D．值域为
11．下列函数中在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
12．下列说法中正确的有（ ）
A．“”是“”成立的充分不必要条件
B．命题p：，均有，则p的否定：，使得
C．若a，b，，当时，，
D．若实数x，y满足，则
三、填空题
13．求“方程的解”有如下解题思路：构造函数.其表达式为，易知函数在上是减函数，且，故原方程存唯一解.类比上述解题思路，不等式的解集为 .
14．己知幂函数在区间上单调递增，则 ．
15．实数x，y满足，则 .
16．已知幂函数在上单调递增，则实数 ；函数的单调递增区间为 ．
四、解答题
17．已知幂函数在上单调递减.
(1)求m的值；
(2)若，求a的取值范围.
18．已知幂函数在上单调递增.
(1)求的值：
(2)若，求函数在区间上的值域.
19．已知幂函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
20．已知幂函数的图像关于轴对称.
(1)求实数的值；
(2)设函数，求的定义域和单调递增区间.
21．已知幂函数满足：①在区间上是严格增函数；②函数图像关于原点对称.
(1)求同时满足①②的幂函数的表达式.
(2)在（1）条件下，图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，恰好和函数的图像重合，求函数的表达式.
22．已知幂函数的图象关于点中心对称;
(1)求该幂函数的解析式；
(2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像；
(3)根据中图像，直接写出不等式的解集，
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.
所以，，则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递增，则，解得.
故选：B．
2．A
【分析】设出幂函数解析式，将点的坐标代入即可求解.
【详解】设幂函数，将点代入得，所以.
所以幂函数的解析式为，要使函数有意义，则，
故函数的解析式为（）.
故选：A.
3．C
【分析】对，，分别化简放缩，利用指数函数单调性，即可求出.
【详解】由题，，
设函数，因为，所以单调递增，
因为，所以.
因为，所以，
所以，
故选：C
4．B
【分析】根据幂函数定义代入计算可得.
【详解】将点代入可得，解得.
故选：B
5．A
【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，从而利用奇偶性及单调性求解即可.
【详解】设，由题意得，所以，
其定义域为R，又，所以函数为奇函数，
任取，因为，
所以，所以函数单调递增，
故选：A
6．D
【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a的值.
【详解】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点
则，又
则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上，
点C在幂函数图像上，
则曲线对应的指数分别为
故选：D
7．B
【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.
【详解】由得或，
时，在上是增函数，不合题意，
时，，在上是减函数，满足题意，
所以，
，则，，是奇函数，因此，
所以，即，
故选：B.
8．D
【分析】根据幂函数性质，逐一判断即可.
【详解】根据幂函数性质，知函数、，在上递增，ABC都不是；
而在上递减，且为偶函数，图象关于y轴对称，D是.
故选：D
9．AD
【分析】利用幂函数系数为，解方程即可求得的取值.
【详解】根据幂函数定义可知，即；
可得，解得或.
故选：AD
10．ABD
【分析】根据待定系数法结合已知求得，然后即可根据幂函数的性质，判断得出答案.
【详解】设幂函数，
因为幂函数图象过点，
所以，解得，
所以.
所以，的定义域为，值域为，故A、D项正确；
又，所以是定义域内的增函数，故B项正确；
因为的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，故C错误.
故选：ABD.
11．BC
【分析】根据常见函数的性质，及函数奇偶性、单调性的定义判断.
【详解】对于A，的定义域为，则为非奇非偶函数，故A错误；
对于B，在定义域内既是奇函数又是增函数，故B正确；
对于C，定义域为，，则是奇函数，
当时，单调递增；当时，单调递增；
所以在定义域上是增函数，故C正确；
对于D，定义域为，不是定义域上的增函数，如，故D错误.
故选：BC.
12．ACD
【分析】对于A：根据不等式性质分析判断；对于D：根据全称命题的否定为特称命题分析判断；对于C：根据一元二次方程的判别式分析判断；对于D：根据指数函数和对数函数的单调性分析判断.
【详解】对于选项A：当时，能推出，即充分性成立；
由不能推出，例如：，满足，
但，即必要性不成立
所以“”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；
对于选项B：命题p：，均有，
则命题p的否定：，使得，故B错误；
对于选项C：因为，可知，即为一元二次方程，
且，方程有两个不相等的实数根，
所以，，故C正确；
对于选项D：因为函数在R上单调递减，
若实数x，y满足，则，
又因为函数在R上单调递增，
当时，则，故D正确．
故选：ACD．
13．
【分析】类比题目构造函数过程，对不等式进行整理变形为，由其结果特征，构造函数，根据函数单调性，求解不等式.
【详解】设，易知函数在上是增函数，
不等式变形为，
即，
即，
所以即，
解得或，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
14．
【分析】利用幂函数的定义与单调性即可得解.
【详解】因为是幂函数，所以，
所以或，
当时，，显然在上单调递增，满足题意；
当时，，在上单调递减，不满足题意；
所以.
故答案为：.
15．2
【分析】将方程组中的方程，形式化成相同，构造函数，确定函数为单调递增函数，即可求得结论．
【详解】方程组可化为
设，由于均为单调递增函数，所以函数为单调递增函数
,
故答案为：2
16． 2 （或）
【分析】先利用幂函数的定义与单调性求得的值，再利用对数函数与复合函数的单调性即可求得的单调递增区间.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得，
又在上单调递增，
所以，则；
于是，
由，解得，则的定义域为，
又，其开口向下，对称轴为，
所以在（或）上单调递增，在（或）上单调递减，
又在其定义域内单调递减，
所以的单调递增区间为（或）．
故答案为：；（或）．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出m的值；
（2）由解不等式得出a的取值范围.
【详解】（1）解：由幂函数的定义可得，即，解得或.
因为在上单调递减，所以，即，
则.
（2）设，是R上的增函数.
由（1）可知，即，
则，解得，
即a的取值范围为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为幂函数可得出实数的值，结合函数在上单调递增，由此可得出函数的解析式；
（2）利用二次函数的单调性可求得函数在上的值域.
【详解】（1）因为函数为幂函数，则，解得或.
当时，函数在上单调递减,不合乎题意；
当时，函数在上单调递增，合乎题意.
综上所述，.
（2）由（1）可得,，
所以函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，，.
因此，函数在区间上的值域为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为幂函数求得参数p的值，结合单调性即可求得函数解析式；
（2）假设存在实数，（），使函数在上的值域为，根据函数单调性可得相应关系式，推出，整理化简后可得，利用换元法结合二次函数性质即可求得n的范围，即可得出结论.
【详解】（1）由是幂函数，
可得，解得或；
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，
故．
（2）由题意知，则在定义域上单调递减，
若实数，（），使函数在上的值域为，
则，两式相减，得，
故，
而，所以，即，
将该式代入，
得，
令，由，知，即，
故，所以，
由于在上单调递减，所以，
故存在实数，（），使函数在上的值域为，
此时实数的取值范围为.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第二问的探究问题，解答时要能根据函数的单调性得出之间的关系式，从而推出n关于的关系式，换元后转化为二次函数问题，即可得出结论.
20．(1)
(2)定义域为，增区间为.
【分析】（1）由题知，进而解方程并根据图像关于y轴对称求解即可；
（2）由（1）可得，求出定义域结合单调性定义可得解.
【详解】（1）由题，解得或，
又因为的图像关于轴对称，所以为偶函数，
则为偶数，从而；
（2）由（1）得，，
由，解得或，
所以函数的定义域为，
任取，且，
，
，，且，
所以当时，有，即成立，
所以函数在上单调递增，
当时，有，即成立，
所以函数在上单调递减，
故函数的增区间为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的性质得出的值，结合函数的奇偶性得出答案；
（2）根据函数图像的变换规律得出结果.
【详解】（1）∵幂函数在区间上是严格增函数，
∴，即解得，
又∵，∴或.
当时，为偶函数，图像关于轴对称，不满足②，
当，为奇函数，图像关于原点对称，满足②.
故
（2）由（1）知，
图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，得到的图像，即.
22．(1)
(2)答案见解析
(3).
【分析】（1）根据函数 是幂函数，由得到或 再根据图象关于点中心对称求解；
（2）由（1）得到作图求解；
（3）根据（2）中图象求解.
【详解】（1）解：因为函数 是幂函数，
所以 解得 或
①当 时，函数 定义域是 f（x）的图象关于原点对称，
②当 时，函数的图象关于y轴对称，
则 所以幂函数f（x）的解析式是；
（2）由（1）知，其的定义域是
在定义域上的图象，如图所示.
（3）观察（2）中图象得，故函数g（x）的单调递增区间是：和单调递减区间是：
不等式的解集是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．幂函数的图象过点，则此函数的解析式为（ ）
A．（） B．
C． D．
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C．2 D．3
5．已知幂函数的图象经过点，则函数为（ ）
A．奇函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数
C．奇函数，且在上是减函数 D．偶函数，且在上是增函数
6．图中、、为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（ ）
A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3
7．已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
8．下列函数在递减，且图像关于y轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知是幂函数，则的值可能为（ ）
A．11 B．9 C．1 D．
10．已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．是定义域内的增函数
C．是偶函数 D．值域为
11．下列函数中在其定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
12．下列说法中正确的有（ ）
A．“”是“”成立的充分不必要条件
B．命题p：，均有，则p的否定：，使得
C．若a，b，，当时，，
D．若实数x，y满足，则
三、填空题
13．求“方程的解”有如下解题思路：构造函数.其表达式为，易知函数在上是减函数，且，故原方程存唯一解.类比上述解题思路，不等式的解集为 .
14．己知幂函数在区间上单调递增，则 ．
15．实数x，y满足，则 .
16．已知幂函数在上单调递增，则实数 ；函数的单调递增区间为 ．
四、解答题
17．已知幂函数在上单调递减.
(1)求m的值；
(2)若，求a的取值范围.
18．已知幂函数在上单调递增.
(1)求的值：
(2)若，求函数在区间上的值域.
19．已知幂函数满足．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
20．已知幂函数的图像关于轴对称.
(1)求实数的值；
(2)设函数，求的定义域和单调递增区间.
21．已知幂函数满足：①在区间上是严格增函数；②函数图像关于原点对称.
(1)求同时满足①②的幂函数的表达式.
(2)在（1）条件下，图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，恰好和函数的图像重合，求函数的表达式.
22．已知幂函数的图象关于点中心对称;
(1)求该幂函数的解析式；
(2)设函数，在直角坐标系中做出函数的图像；
(3)根据中图像，直接写出不等式的解集，
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.
所以，，则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递增，则，解得.
故选：B．
2．A
【分析】设出幂函数解析式，将点的坐标代入即可求解.
【详解】设幂函数，将点代入得，所以.
所以幂函数的解析式为，要使函数有意义，则，
故函数的解析式为（）.
故选：A.
3．C
【分析】对，，分别化简放缩，利用指数函数单调性，即可求出.
【详解】由题，，
设函数，因为，所以单调递增，
因为，所以.
因为，所以，
所以，
故选：C
4．B
【分析】根据幂函数定义代入计算可得.
【详解】将点代入可得，解得.
故选：B
5．A
【分析】根据幂函数的定义结合题意求出函数解析式，从而利用奇偶性及单调性求解即可.
【详解】设，由题意得，所以，
其定义域为R，又，所以函数为奇函数，
任取，因为，
所以，所以函数单调递增，
故选：A
6．D
【分析】利用特值验证即可区分出三个幂函数图象分别对应的指数a的值.
【详解】在题给坐标系中，作直线，分别交曲线于A、B、C三点
则，又
则点A在幂函数图像上，点B在幂函数图像上，
点C在幂函数图像上，
则曲线对应的指数分别为
故选：D
7．B
【分析】由幂函数的定义与性质求得函数解析式，确定其是奇函数，然后利用单调性与奇偶性可判断.
【详解】由得或，
时，在上是增函数，不合题意，
时，，在上是减函数，满足题意，
所以，
，则，，是奇函数，因此，
所以，即，
故选：B.
8．D
【分析】根据幂函数性质，逐一判断即可.
【详解】根据幂函数性质，知函数、，在上递增，ABC都不是；
而在上递减，且为偶函数，图象关于y轴对称，D是.
故选：D
9．AD
【分析】利用幂函数系数为，解方程即可求得的取值.
【详解】根据幂函数定义可知，即；
可得，解得或.
故选：AD
10．ABD
【分析】根据待定系数法结合已知求得，然后即可根据幂函数的性质，判断得出答案.
【详解】设幂函数，
因为幂函数图象过点，
所以，解得，
所以.
所以，的定义域为，值域为，故A、D项正确；
又，所以是定义域内的增函数，故B项正确；
因为的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，故C错误.
故选：ABD.
11．BC
【分析】根据常见函数的性质，及函数奇偶性、单调性的定义判断.
【详解】对于A，的定义域为，则为非奇非偶函数，故A错误；
对于B，在定义域内既是奇函数又是增函数，故B正确；
对于C，定义域为，，则是奇函数，
当时，单调递增；当时，单调递增；
所以在定义域上是增函数，故C正确；
对于D，定义域为，不是定义域上的增函数，如，故D错误.
故选：BC.
12．ACD
【分析】对于A：根据不等式性质分析判断；对于D：根据全称命题的否定为特称命题分析判断；对于C：根据一元二次方程的判别式分析判断；对于D：根据指数函数和对数函数的单调性分析判断.
【详解】对于选项A：当时，能推出，即充分性成立；
由不能推出，例如：，满足，
但，即必要性不成立
所以“”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；
对于选项B：命题p：，均有，
则命题p的否定：，使得，故B错误；
对于选项C：因为，可知，即为一元二次方程，
且，方程有两个不相等的实数根，
所以，，故C正确；
对于选项D：因为函数在R上单调递减，
若实数x，y满足，则，
又因为函数在R上单调递增，
当时，则，故D正确．
故选：ACD．
13．
【分析】类比题目构造函数过程，对不等式进行整理变形为，由其结果特征，构造函数，根据函数单调性，求解不等式.
【详解】设，易知函数在上是增函数，
不等式变形为，
即，
即，
所以即，
解得或，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
14．
【分析】利用幂函数的定义与单调性即可得解.
【详解】因为是幂函数，所以，
所以或，
当时，，显然在上单调递增，满足题意；
当时，，在上单调递减，不满足题意；
所以.
故答案为：.
15．2
【分析】将方程组中的方程，形式化成相同，构造函数，确定函数为单调递增函数，即可求得结论．
【详解】方程组可化为
设，由于均为单调递增函数，所以函数为单调递增函数
,
故答案为：2
16． 2 （或）
【分析】先利用幂函数的定义与单调性求得的值，再利用对数函数与复合函数的单调性即可求得的单调递增区间.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得，
又在上单调递增，
所以，则；
于是，
由，解得，则的定义域为，
又，其开口向下，对称轴为，
所以在（或）上单调递增，在（或）上单调递减，
又在其定义域内单调递减，
所以的单调递增区间为（或）．
故答案为：；（或）．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出m的值；
（2）由解不等式得出a的取值范围.
【详解】（1）解：由幂函数的定义可得，即，解得或.
因为在上单调递减，所以，即，
则.
（2）设，是R上的增函数.
由（1）可知，即，
则，解得，
即a的取值范围为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为幂函数可得出实数的值，结合函数在上单调递增，由此可得出函数的解析式；
（2）利用二次函数的单调性可求得函数在上的值域.
【详解】（1）因为函数为幂函数，则，解得或.
当时，函数在上单调递减,不合乎题意；
当时，函数在上单调递增，合乎题意.
综上所述，.
（2）由（1）可得,，
所以函数在上为减函数，在上为增函数，
所以，，.
因此，函数在区间上的值域为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为幂函数求得参数p的值，结合单调性即可求得函数解析式；
（2）假设存在实数，（），使函数在上的值域为，根据函数单调性可得相应关系式，推出，整理化简后可得，利用换元法结合二次函数性质即可求得n的范围，即可得出结论.
【详解】（1）由是幂函数，
可得，解得或；
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，
故．
（2）由题意知，则在定义域上单调递减，
若实数，（），使函数在上的值域为，
则，两式相减，得，
故，
而，所以，即，
将该式代入，
得，
令，由，知，即，
故，所以，
由于在上单调递减，所以，
故存在实数，（），使函数在上的值域为，
此时实数的取值范围为.
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第二问的探究问题，解答时要能根据函数的单调性得出之间的关系式，从而推出n关于的关系式，换元后转化为二次函数问题，即可得出结论.
20．(1)
(2)定义域为，增区间为.
【分析】（1）由题知，进而解方程并根据图像关于y轴对称求解即可；
（2）由（1）可得，求出定义域结合单调性定义可得解.
【详解】（1）由题，解得或，
又因为的图像关于轴对称，所以为偶函数，
则为偶数，从而；
（2）由（1）得，，
由，解得或，
所以函数的定义域为，
任取，且，
，
，，且，
所以当时，有，即成立，
所以函数在上单调递增，
当时，有，即成立，
所以函数在上单调递减，
故函数的增区间为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的性质得出的值，结合函数的奇偶性得出答案；
（2）根据函数图像的变换规律得出结果.
【详解】（1）∵幂函数在区间上是严格增函数，
∴，即解得，
又∵，∴或.
当时，为偶函数，图像关于轴对称，不满足②，
当，为奇函数，图像关于原点对称，满足②.
故
（2）由（1）知，
图像先向左平移了2个单位，再向上平移了1个单位，得到的图像，即.
22．(1)
(2)答案见解析
(3).
【分析】（1）根据函数 是幂函数，由得到或 再根据图象关于点中心对称求解；
（2）由（1）得到作图求解；
（3）根据（2）中图象求解.
【详解】（1）解：因为函数 是幂函数，
所以 解得 或
①当 时，函数 定义域是 f（x）的图象关于原点对称，
②当 时，函数的图象关于y轴对称，
则 所以幂函数f（x）的解析式是；
（2）由（1）知，其的定义域是
在定义域上的图象，如图所示.
（3）观察（2）中图象得，故函数g（x）的单调递增区间是：和单调递减区间是：
不等式的解集是.
答案第1页，共2页
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