集合的基本运算
并集、交集、补集
并集 交集 补集
概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集. 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集.
记号 (读作:并) (读作:交) (读作:的补集)
符号
图形 表示
结论
若，则； 若，则.
3 运算律
① 交换律 ，；
② 结合律 ，；
③ 分配律 ，；
④ 德摩根律 ，.
【典题1】离散型集合运算
已知集合，
则的元素个数为 .
【典题2】连续型集合运算
已知全集集合则集合
【典题3】设，其中，如果，求实数的取值范围.
【典题4】已知且，求的取值范围.
巩固练习
1(★) 已知集合，，，则( )
A． B． C． D．
2(★) 已知集合且，则( )
3(★★)设都是的子集，如果叫做集合的长度，则集合的长度的最小值是( )
A． B． C． D．
4(★) 设集合则 .
(★★) 设集合，集合中所有元素之和为，则实数的取值集合为： ．
6(★)已知集合若，
则 .
(★★) 设其中，如果，则实数的取值范围 ．
(★★) 已知集合则实数的取值集合为 .
9(★★) 已知集合，集合．
若，求的值；(2)若，求的取值范围．
10(★★★) 已知集合，或，是否存在实数，
使？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
11(★★★) 设集合
（1）若，求实数的值；
（2）若，．求实数的取值范围．
12(★★★★) 已知集合且．
(1)证明：若则是偶数；
(2)设且求实数的值；
(3)设求证：；并求满足的的值．
13(★★★★) 集合任取
这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为 .
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)集合的基本运算
并集、交集、补集
并集 交集 补集
概念 由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的并集. 由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，称为集合与的交集. 对于集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，称为集合相对于全集的补集.
记号 (读作:并) (读作:交) (读作:的补集)
符号
图形 表示
结论
若，则； 若，则.
3 运算律
① 交换律 ，；
② 结合律 ，；
③ 分配律 ，；
④ 德摩根律 ，.
【典题1】离散型集合运算
已知集合
则的元素个数为 .
【解析】 则
的元素个数为．
【典题2】连续型集合运算
已知全集集合则集合 .
【解析】
．
【点拨】关于集合的运算，先看清楚集合的元素，把集合化简成最简单的形式，当涉及到不等式可以借助数轴.
【典题3】设，其中，如果，求实数的取值范围.
【解析】 ，，解得或．
．
，(利用图理解下这个结论)
可能为．
方程的．
①当，即时，此时，适合题意．
②当，即时，得，适合题意．
③当，即时，方程由两个不等根，若为，
则必须满足，解得．(韦达定理)
综上可知：实数的取值范围是．
【点拨】遇到子集的问题:，不要漏了的情况.
【典题4】已知且，求的取值范围.
【解析】 由题意
，
(此时画数轴分析下，会清晰很多
则易知是方程的根，且)
是方程的一个根，即并且另一个根在上，
(此时还是试试画出满足条件的函数图象，体会下数形结合的威力
)
设函数则其中
解得.
【点拨】在处理类似本题集合综合运算时，多结合图象进行思考.
巩固练习
1(★) 已知集合，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】 选B.由，，，
得，，，，选B.
2(★) 已知集合且，则( )
【答案】
【解析】 ，，
或，
或，
①时，，，集合错误，不满足集合元素的互异性，
；
②时，，，满足，即成立；
③时，，，，不成立，
综上得，，．
故选：．
3(★★)设都是的子集，如果叫做集合的长度，则集合的长度的最小值是( )
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由，且，求出]，
由，且，求出，
分别把的两端值代入求出：，
或，，
所以，或．
所以或
综上所述，集合的长度的最小值是．
故选：．
4(★) 设集合则 .
【答案】
【解析】解不等式，得，
集合，
又集合，
.
(★★) 设集合，集合中所有元素之和为，则实数的取值集合为： ．
【答案】
【解析】求解一元二次方程可得，，且，
当，或时，结合集合的互异性，可知中所有元素之和为，
否则，解得：，
综上可得，实数的取值范围是．
6(★)已知集合若，则 .
【答案】
【解析】，且，
，
，
．
(★★) 设其中，如果，则实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】由中方程变形得：，
解得：或，即，
由，其中，且，
分两种情况考虑：
若时，，即，满足题意；
若时，，即，
此时把代入得：，即或(舍去)；
把代入得：或，
综上，的范围为．
(★★) 已知集合则实数的取值集合为 .
【答案】
【解析】集合2或．
．
若，即时，满足条件．
若，即m≠0时，集合，
要使．则
解得或m．
故或或．
9(★★) 已知集合，集合．
(1)若，求的值；(2)若，求的取值范围．
【答案】 (1) (2)
【解析】 (1)，，
，，
或，即或，
时，，，不满足，舍去，
；
(2)，，
解得，
的取值范围为．
10(★★★) 已知集合，或，是否存在实数，
使？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】 或
【解析】若，分和讨论：
(1)若，则，解得，此时．
(2)若，要使，则应有
即，所以．
综上，当时，或；
当或时，．
11(★★★) 设集合
（1）若，求实数的值；
（2）若，．求实数的取值范围．
【答案】 (1) 或 (2)
【解析】由得或，故集合．
（1） ，代入中的方程，得，
或;
当时，满足条件；
当时，满足条件；
综上，的值为或．
（2），，
①若，则适合；
②若，则时，，，不合题意；
当，此时需且
将代入的方程得；
将代入的方程得
综上，的取值范围是
或或．
12(★★★★) 已知集合且．
(1)证明：若则是偶数；
(2)设且求实数的值；
(3)设求证：；并求满足的的值．
【解析】 (1)因不妨设
则
由 可得 因为所以为偶数．
(2)因为不妨设由可得
由(1)可得 所以即
又因为 则或者
当时 不符合，当时 符合题意 即
(3)证明：因为则设
则
显然此时符合集合定义，
因为推出 可得
故．
13(★★★★) 集合任取
这三个式子中至少有一个成立，则的最大值为 .
【解析】 不妨假设若集合中的正数个数大于等于，
由于和均大于于是有从而矛盾！
所以集合中至多有3个正数，同理集合中最多有个负数，
取满足题意，所以的最大值为.
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