人教B版（2019）必修第二册 4.5增长速度的比较 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教B版（2019）必修第二册 4.5增长速度的比较 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 777.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-13 10:54:57 | ||
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文档简介
4.5增长速度的比较同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数增长速度最快的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
1.99 3 4 5.1 8
0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
如下四个模拟函数，能近似地反映这些数据的规律的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
3 9 27 81
2
以下函数中最符合变量与的对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，有成立
B．，，有成立
C．，，有成立
D．，，有成立
8．已知某函数的图象 (如图)， 则该函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （ ）
A．的增长速度最快， 的增长速度最慢
B．的增长速度最快， 的增长速度最慢
C．的增长速度最快， 的增长速度最慢
D．的增长速度最快， 的增长速度最慢
10．（多选题）已知函数，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数和的图象可能有两个交点
B．，当时，恒有
C．当时，，
D．当时，方程有解
11．在同一坐标系中，对于函数与的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与有两个交点
B．，当时，恒在的上方
C．与有三个交点
D．，当时，恒在的上方
12．下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x（月）的函数图象，则该厂（ ）
A．前3个月的月产量逐月增加 B．第5月的月产量比第4个月少
C．第6月的月产量与第5个月持平 D．第3个月结束后开始减产，直至停产
三、填空题
13．对于任意正整数n， .（填“>”，“<”或“=”）
14．函数在区间上的平均变化率为 .
15．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他8台未感染病毒的计算机.现有5台计算机被第1轮病毒感染，那么被第4轮病毒感染的计算机有 台.
16．若，则使成立的的取值范围是 ，使成立的的取值范围是 ．
四、解答题
17．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且.
(1)请指出图中曲线分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断的大小．
18．已知函数的定义域为D．若对于任意，且，都有，则称函数为“凸函数”．
（1）判断函数①，②与③是“凸函数”的序号是（只需写出结论）；
（2）若函数（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围；
（3）写出一个定义在上的“凸函数”，满足．（只需写出结论）．
19．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且.请指出图中曲线分别对应的函数；
20．某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：
时间月 1 2 3 4
浮萍的面积 3 5 9 17
现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且.
(1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；
(2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据交集以及指数函数、二次函数图象等知识确定正确答案.
【详解】如图，集合为函数图象的点集，集合为函数图象的点集，
两函数的图象有三个交点，所以的元素个数为个.
故选：C
2．A
【分析】根据奇偶性、区间函数值符号及对应幂、指数复合函数的增长趋势，应用排除法确定答案即可.
【详解】由且定义域，即是偶函数，排除D；
当时，，即，此时，排除C；
当趋向时，、均趋向，但随变大，的增速比快，
所以趋向于，排除B.
故选：A.
3．A
【分析】根据基本初等函数的性质，以及初等函数的增长速度，即可求解.
【详解】由函数为单调递增的指数函数，函数为二次函数，为递增的对数函数，为递增的一次函数，
根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快．
故选：A.
4．D
【分析】结合表格所给数据以及函数增长快慢确定答案.
【详解】A项增长速度不变，不符合题意；
B项增长越来越快，不符合题意；
C项，当时，增长越来越快，不符合题意；
D项，当时，增长越来越慢，符合题意；
故选：D.
5．D
【分析】根据题意，将，，分别代入选项中的函数，逐项验证比较，即可求解.
【详解】由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，
即，，，
对于A中，函数，当时，和0.76相差较大；
对于B 中，函数，当时，和0.4相差较大；
对于C中，函数，当时，和0.4相差较大；
对于D中，函数，当时，，当时，，
当时，和0.76相差0.04，
综合可得，选用函数关系较为近似．
故选：D.
6．D
【分析】根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢，再依次判断每个选项函数的增长速度得到答案.
【详解】根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢，
对选项A：增长速度不变，不满足；
对选项B：时，增长速度越来越大，不满足；
对选项C：时，增长速度越来越大，不满足；
对选项D：函数的增长速度越来越慢，满足.
故选：D
7．A
【分析】根据不同函数类型的增长速度，即可得到答案.
【详解】因为，所以函数、、均为单调递增函数.
而且各类函数的增长速度为：指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数.
所以，，，有成立.
故选：A.
8．A
【分析】根据函数值的趋势分析进行判断即可.
【详解】由图像，
对于B， .所以不符合图象；
对于C，所以不符合图象；
对于D，所以不符合图象，
最后可以确定只有A符合题意，
故选：A.
9．ACD
【分析】做出三个函数的图象，结合图象，即可求解
【详解】画出函数的图象，如图所示，
结合图象，可得三个函数中，
当时，函数增长速度最快，增长速度最慢.
所以选项B正确；选项ACD不正确.
故选：ACD.
10．AD
【分析】根据函数的单调性，零点存在性定理以及函数的增长速度逐一判断即可.
【详解】对于选项,因为，，所以点为函数和图象的交点，
又因为，，且和单调递增，
所以和的图象在区间有一个交点，
当时，函数的增长速度比函数的增长速度要快，则它们的图象不再有交点，故正确；
对于选项, 和在区间上都是单调递增，一次函数保持固定的增长速度，
而对数函数增长的速度越来越慢，
由于的增长慢于的增长，
因此总会存在一个，当时，恒有，故错误；
对于选项,当时，和关于对称，
在直线上方, 在直线下方，
所以不存在使，故错误；
对于选项,时，，则和均过点，
所以方程有解，故D正确.
故选：AD.
11．CD
【分析】通过试值找到两函数在时两个关键的交点坐标，从而在同一坐标系中作出两函数图像， 通过图像即可判断选项.
【详解】，，，， ，
则可在同一坐标系内作出两函数图像如下图所示：
显然两函数有三个交点，故A错误，C正确，
由图易得当时，恒在的上方，故B错误，D正确，
故选：CD.
12．ACD
【分析】根据图象的性质可得正确的选项.
【详解】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确.
从3月开始到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度变小，
且第6月的月产量与第5个月持平，故CD正确，B错误.
故选：ACD
13．>
【分析】判断n=1、2、3、4的大小关系，结合、的增长速度判断大小关系》
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
……
在上随自变量的增大，的增长速度会超过并远远大于的增长速度.
故答案为：>
14．
【分析】根据函数平均变化率求法即可求得答案.
【详解】由题意，函数的平均变化率为：.
故答案为：.
15．2560
【分析】根据给定条件列出被第4轮病毒感染的计算机台数的表达式，再经计算即得解.
【详解】依题意，相邻两轮被病毒感染的计算机台数，后一轮是前一轮的8倍，
所以被第4轮病毒感染的计算机台数为.
故答案为：2560
16．
【分析】画出指对幂函数的图象，数形结合法判断不等关系下对应x的范围即可.
【详解】在同一平面直角坐标系中作出，，在上的图象如下．
由图得，若，则，
若，则或．
故答案为：，
17．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据图像得到答案.
（2）计算得到，，根据图像得到当时，，当时，，得到答案.
【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为
（2）因为，，，，
所以，，
所以，，
从图像上可以看出：当时，，所以.
当时，，所以.
又由函数的单调性易知，，
所以.
18．（1）③；（2）；（3）.
【解析】（1）根据题意可依次算出①②③三个函数所对应的的关系式，然后判断是否为负，即满足“凸函数”的定义.
（2）根据函数定义域为R，对于任意的且，可知，解不等式，可求出的范围.
（3）根据定义域，结合幂函数的性质，可确定一个复合函数满足“凸函数”的定义，如.
【详解】（1）③
（2）函数定义域为R，对于任意的且，
根据题意 ，因为，所以.
（3）（注：答案不唯一）
【点睛】对于新定义的题型，重点在理解定义，确定知识点.
本题的思路为：要计算出的关系式，然后根据“凸函数”的定义，可知.
19．
【分析】由指数函数与幂函数的增长速度，或者图象所过象限分析即可.
【详解】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：对应的函数为，对应的函数为.
20．(1)模型②，
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据表格数据选择函数模型，然后求解析式；
（2）根据指数幂运算公式计算.
【详解】（1）应选择函数模型②.
依题意，得，
解得，
所以关于的函数解析式为.
（2）.
理由：依题意，得，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数增长速度最快的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
1.99 3 4 5.1 8
0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
如下四个模拟函数，能近似地反映这些数据的规律的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠面积增加数（万公顷）关于年数（年）的函数关系较为接近的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：
3 9 27 81
2
以下函数中最符合变量与的对应关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，则下列命题中正确的是（ ）
A．，，有成立
B．，，有成立
C．，，有成立
D．，，有成立
8．已知某函数的图象 (如图)， 则该函数的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设，当时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论中，错误的是 （ ）
A．的增长速度最快， 的增长速度最慢
B．的增长速度最快， 的增长速度最慢
C．的增长速度最快， 的增长速度最慢
D．的增长速度最快， 的增长速度最慢
10．（多选题）已知函数，，，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数和的图象可能有两个交点
B．，当时，恒有
C．当时，，
D．当时，方程有解
11．在同一坐标系中，对于函数与的图象，下列说法正确的是（ ）
A．与有两个交点
B．，当时，恒在的上方
C．与有三个交点
D．，当时，恒在的上方
12．下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x（月）的函数图象，则该厂（ ）
A．前3个月的月产量逐月增加 B．第5月的月产量比第4个月少
C．第6月的月产量与第5个月持平 D．第3个月结束后开始减产，直至停产
三、填空题
13．对于任意正整数n， .（填“>”，“<”或“=”）
14．函数在区间上的平均变化率为 .
15．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，并感染其他8台未感染病毒的计算机.现有5台计算机被第1轮病毒感染，那么被第4轮病毒感染的计算机有 台.
16．若，则使成立的的取值范围是 ，使成立的的取值范围是 ．
四、解答题
17．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，，且.
(1)请指出图中曲线分别对应的函数；
(2)结合函数图象，判断的大小．
18．已知函数的定义域为D．若对于任意，且，都有，则称函数为“凸函数”．
（1）判断函数①，②与③是“凸函数”的序号是（只需写出结论）；
（2）若函数（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围；
（3）写出一个定义在上的“凸函数”，满足．（只需写出结论）．
19．函数和的图象如图所示．设两函数的图象交于点，且.请指出图中曲线分别对应的函数；
20．某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：
时间月 1 2 3 4
浮萍的面积 3 5 9 17
现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且.
(1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；
(2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据交集以及指数函数、二次函数图象等知识确定正确答案.
【详解】如图，集合为函数图象的点集，集合为函数图象的点集，
两函数的图象有三个交点，所以的元素个数为个.
故选：C
2．A
【分析】根据奇偶性、区间函数值符号及对应幂、指数复合函数的增长趋势，应用排除法确定答案即可.
【详解】由且定义域，即是偶函数，排除D；
当时，，即，此时，排除C；
当趋向时，、均趋向，但随变大，的增速比快，
所以趋向于，排除B.
故选：A.
3．A
【分析】根据基本初等函数的性质，以及初等函数的增长速度，即可求解.
【详解】由函数为单调递增的指数函数，函数为二次函数，为递增的对数函数，为递增的一次函数，
根据一次函数、指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快．
故选：A.
4．D
【分析】结合表格所给数据以及函数增长快慢确定答案.
【详解】A项增长速度不变，不符合题意；
B项增长越来越快，不符合题意；
C项，当时，增长越来越快，不符合题意；
D项，当时，增长越来越慢，符合题意；
故选：D.
5．D
【分析】根据题意，将，，分别代入选项中的函数，逐项验证比较，即可求解.
【详解】由题意，最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，
即，，，
对于A中，函数，当时，和0.76相差较大；
对于B 中，函数，当时，和0.4相差较大；
对于C中，函数，当时，和0.4相差较大；
对于D中，函数，当时，，当时，，
当时，和0.76相差0.04，
综合可得，选用函数关系较为近似．
故选：D.
6．D
【分析】根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢，再依次判断每个选项函数的增长速度得到答案.
【详解】根据表格给出的数据，函数的增长速度越来越慢，
对选项A：增长速度不变，不满足；
对选项B：时，增长速度越来越大，不满足；
对选项C：时，增长速度越来越大，不满足；
对选项D：函数的增长速度越来越慢，满足.
故选：D
7．A
【分析】根据不同函数类型的增长速度，即可得到答案.
【详解】因为，所以函数、、均为单调递增函数.
而且各类函数的增长速度为：指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数.
所以，，，有成立.
故选：A.
8．A
【分析】根据函数值的趋势分析进行判断即可.
【详解】由图像，
对于B， .所以不符合图象；
对于C，所以不符合图象；
对于D，所以不符合图象，
最后可以确定只有A符合题意，
故选：A.
9．ACD
【分析】做出三个函数的图象，结合图象，即可求解
【详解】画出函数的图象，如图所示，
结合图象，可得三个函数中，
当时，函数增长速度最快，增长速度最慢.
所以选项B正确；选项ACD不正确.
故选：ACD.
10．AD
【分析】根据函数的单调性，零点存在性定理以及函数的增长速度逐一判断即可.
【详解】对于选项,因为，，所以点为函数和图象的交点，
又因为，，且和单调递增，
所以和的图象在区间有一个交点，
当时，函数的增长速度比函数的增长速度要快，则它们的图象不再有交点，故正确；
对于选项, 和在区间上都是单调递增，一次函数保持固定的增长速度，
而对数函数增长的速度越来越慢，
由于的增长慢于的增长，
因此总会存在一个，当时，恒有，故错误；
对于选项,当时，和关于对称，
在直线上方, 在直线下方，
所以不存在使，故错误；
对于选项,时，，则和均过点，
所以方程有解，故D正确.
故选：AD.
11．CD
【分析】通过试值找到两函数在时两个关键的交点坐标，从而在同一坐标系中作出两函数图像， 通过图像即可判断选项.
【详解】，，，， ，
则可在同一坐标系内作出两函数图像如下图所示：
显然两函数有三个交点，故A错误，C正确，
由图易得当时，恒在的上方，故B错误，D正确，
故选：CD.
12．ACD
【分析】根据图象的性质可得正确的选项.
【详解】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确.
从3月开始到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度变小，
且第6月的月产量与第5个月持平，故CD正确，B错误.
故选：ACD
13．>
【分析】判断n=1、2、3、4的大小关系，结合、的增长速度判断大小关系》
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
……
在上随自变量的增大，的增长速度会超过并远远大于的增长速度.
故答案为：>
14．
【分析】根据函数平均变化率求法即可求得答案.
【详解】由题意，函数的平均变化率为：.
故答案为：.
15．2560
【分析】根据给定条件列出被第4轮病毒感染的计算机台数的表达式，再经计算即得解.
【详解】依题意，相邻两轮被病毒感染的计算机台数，后一轮是前一轮的8倍，
所以被第4轮病毒感染的计算机台数为.
故答案为：2560
16．
【分析】画出指对幂函数的图象，数形结合法判断不等关系下对应x的范围即可.
【详解】在同一平面直角坐标系中作出，，在上的图象如下．
由图得，若，则，
若，则或．
故答案为：，
17．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据图像得到答案.
（2）计算得到，，根据图像得到当时，，当时，，得到答案.
【详解】（1）对应的函数为，对应的函数为
（2）因为，，，，
所以，，
所以，，
从图像上可以看出：当时，，所以.
当时，，所以.
又由函数的单调性易知，，
所以.
18．（1）③；（2）；（3）.
【解析】（1）根据题意可依次算出①②③三个函数所对应的的关系式，然后判断是否为负，即满足“凸函数”的定义.
（2）根据函数定义域为R，对于任意的且，可知，解不等式，可求出的范围.
（3）根据定义域，结合幂函数的性质，可确定一个复合函数满足“凸函数”的定义，如.
【详解】（1）③
（2）函数定义域为R，对于任意的且，
根据题意 ，因为，所以.
（3）（注：答案不唯一）
【点睛】对于新定义的题型，重点在理解定义，确定知识点.
本题的思路为：要计算出的关系式，然后根据“凸函数”的定义，可知.
19．
【分析】由指数函数与幂函数的增长速度，或者图象所过象限分析即可.
【详解】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知：对应的函数为，对应的函数为.
20．(1)模型②，
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据表格数据选择函数模型，然后求解析式；
（2）根据指数幂运算公式计算.
【详解】（1）应选择函数模型②.
依题意，得，
解得，
所以关于的函数解析式为.
（2）.
理由：依题意，得，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以.
答案第1页，共2页
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