高2024届高三第一学期期中考试
数学试题
（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设均为非空集合，且满足 ，则（）
A. B. C. D.
2. 已知命题，命题q：复数为纯虚数，则命题是的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
4. 《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知数列均为等差数列，且，设数列前项的和为，则（）
A.84 B. 540 C. 780 D. 920
6. 函数的最大值为（）
A. 2 B. C. 0 D.
7. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）
A60种 B. 150种 C. 180种 D. 300种
8. 已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（）
A. 样本众数为70
B. 样本的分位数为78.5
C. 估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
D. 该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人
10. 已知函数，下列说法正确的是（）
A. 在上单调递增
B. 的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称
C. 若对任意实数都成立，则
D. 方程有3个不同的实数根
11. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球次后球仍回到甲手里的概率为，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
12. 已知，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中，的系数为__________（用数字作答）．
14. 曲线在处的切线的倾斜角为，则______．
15. 定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则______．
16. 若是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数．则在区间上的最小值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在中，内角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，点在边上，且，求面积的最大值．
18. 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
男生 女生 合计
喜欢 120 100 220
不喜欢 80 100 180
合计 200 200 400
（1）根据表中数据，采用小概率值独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
（2）为弄清学生不喜欢电子竞技的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为，求的数学期望．
参考公式及数据：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
19. 已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，若对任意都有成立，求实数的取值范围．
20. 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
编号 1 2 3 4 5 6
企业总数量（单位：百个） 50 78 124 121 137 352
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据：，其中，
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
21. 已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；
（3）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
22. 已知函数．
（1）若函数是减函数，求的取值范围；
（2）若有两个零点，且，证明：．
(
1
)高2024届高三第一学期期中考试
数学试题
（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设均为非空集合，且满足 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出集合韦恩图，利用韦恩图即可得解.
【详解】集合的韦恩图，如图所示，
因为 ，
所以 ，
所以.
故选：C.
2. 已知命题，命题q：复数为纯虚数，则命题是的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】先将命题看成真命题求出 的取值，再根据充要条件与集合间的关系即可写出答案
【详解】
是纯虚数，，
故命题是的充要条件
故选：C
3. 已知向量，的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知得，根据投影向量的概念直接得解.
【详解】由，即，
则，即，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：B.
4. 《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出和，由可得出合适的选项.
【详解】由图形可知，，，
由勾股定理可得，
在中，由可得.
故选：D.
【点睛】本题考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题.
5. 已知数列均为等差数列，且，设数列前项的和为，则（）
A. 84 B. 540 C. 780 D. 920
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列性质可得数列是首项为的等差数列，利用等差数列前项和公式即可求得.
【详解】根据题意可设数列的公差分别为；
由可知，
即可知数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以可得，
即可得，
所以.
故选：D
6. 函数的最大值为（）
A. 2 B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用二倍角的正弦公式和两角和的余弦公式化简，再令，利用换元法求解即可.
【详解】，
令，则，
故，
则，
所以当时，，
所以函数的最大值为.
故选：A.
7. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）
A. 60种 B. 150种 C. 180种 D. 300种
【答案】B
【解析】
【分析】对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理求解即可．
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有种；
②三组人数为2、2、1，此时有种.
所以不同的报名方法共有60＋90＝150种．
故选：B．
8. 已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】转化为有两个不相等的实数根，构造，分和两种情况，求导，得到函数的单调性和极值情况，画出函数图象，数形结合得到实数的取值范围，得到答案.
【详解】由题意得有两个不相等的实数根，
令，
当时，，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，当时，恒成立，
当时，，则，
当时，，单调递增，
且，
画出的图象如下：
要想有两个不相等的实数根，则，
故有两个不相等的实数根，则.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（）
A. 样本的众数为70
B. 样本的分位数为78.5
C. 估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
D. 该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人
【答案】BC
【解析】
【分析】样本的众数应是区间中点75，故选项A错误.设样本的分位数为t，通过计算可判断t在区间内，计算区间，，所对应的矩形面积之和为0.8，即可求得样本的分位数为78.5，故选项B正确. 根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C正确.用样本中低于60分的频率估计总体频率，即可判断选项D错误.
【详解】对于选项A，样本的众数应是区间中点75，故选项A错误.
对于选项B，设样本的分位数为t，
因为左边两个矩形面积和为，
左边三个矩形面积和为.
因此t在区间内，所以，
解得，故选项B正确.
对于选项C，用样本平均分估计总体平均分，而样本的平均分为，故选项C正确.
对于选项D，样本中低于60分的学生的频率为，估计总体中低于60分的学生的人数约为，故选项D错误.
故答案为：BC.
10. 已知函数，下列说法正确的是（）
A. 在上单调递增
B. 的图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称
C. 若对任意实数都成立，则
D. 方程有3个不同的实数根
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性即可判断A；根据平移变换的原则及三角函数的奇偶性即可判断B；根据可得，再根据正弦函数的最值即可判断C；作出函数的图象，结合图象即可判断D.
【详解】对于A，由，得，
所以在上不具有单调性，故A错误；
对于B，的图象向右平移个单位长度得，
因为，
所以函数是偶函数，其图象关于轴对称，故B正确；
对于C，若对任意实数都成立，
则，
所以，即，故C正确；
对于D，方程根的个数，
即为函数交点的个数，
作出函数的图象，如图所示：
由图可知的根多于个，故D错误.
故选：BC.
11. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球次后球仍回到甲手里的概率为，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】AC选项，由题意得到，，；D选项，在C选项基础上，构造等比数列，得到通项公式；B选项，在D选项基础上求出答案.
【详解】A选项，第一次传球后到乙或丙手里，故，
第二次传球，乙或丙有的概率回到甲手里，故，A正确；
C选项，为传球次后球仍回到甲手里的概率，要想传球次后球仍回到甲手里，
则第次传球后球不在甲手里，在乙，丙手里，且下一次传球有的概率回到甲手里，
故，C正确；
D选项，由C选项知，即，
设，故，所以，
解得，
故，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
故，故，D正确，
B选项，由D选项可知，B错误.
故选：ACD
12. 已知，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意可得，分别限定出的取值范围即可得，可知A错误；利用作差法可得B正确，C错误；构造函数利用导数判断出其单调性即可得D正确.
【详解】由可得，，
对于A，易知，则，所以，
易知，即，所以，所以，且
即可得，可知A错误；
对于B，，
由A可知，则，，所以；
可知，所以，即B正确；
对于C，，
则，
即可得，即C错误；
对于D，构造函数，其中，
则，当时，，即在上单调递增，
因为，所以，即，可得，
即，所以，
又，因此，即D正确.
故选：BD
【点睛】方法点睛：指数式与对数式比较大小问题时，作差是最常用的方法之一，当式子结构相似时可考虑构造函数并利用导数得出单调性也可比较其大小.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 的展开式中，的系数为__________（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【详解】要得到项需分别与展开式中的项相乘，
展开式中通项为，
所以项的系数为，
故答案为：10
14. 曲线在处的切线的倾斜角为，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】求导，根据导数的几何意义可得，再结合齐次式问题运算求解.
【详解】因为，可得，
由题意可知：，
所以
，
即.
故答案为：.
15. 定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据“等比差”数列的概念可得，进而得解.
【详解】由数列为“等比差”数列，
则，
所以，即数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，，
则，
所以，
故答案为:.
16. 若是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数．则在区间上的最小值为______．
【答案】##1.75
【解析】
【分析】由为奇函数，为偶函数，求出的解析式，判断在区间的单调性即可求出答案.
【详解】因为为奇函数，为偶函数，
所以，
解得：，
因为在上单调递减，在上单调递减，
在上单调递减，
所以上单调递减，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 在中，内角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，点在边上，且，求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理以及二倍角公式化简即可得，即可知；
（2）结合（1）中结论，由余弦定理可得，利用不等式即可求出，再由向量比例关系可知，即可求出结果.
【小问1详解】
根据，由正弦定理可得，
由二倍角公式可得，又因为，
所以，即可得，
即，所以，即；
【小问2详解】
如下图所示：
由（1）可知，即，可得
又，解得，当且仅当时，等号成立；
所以，
由可得，
所以面积的最大值为.
18. 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
男生 女生 合计
喜欢 120 100 220
不喜欢 80 100 180
合计 200 200 400
（1）根据表中数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
（2）为弄清学生不喜欢电子竞技原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为，求的数学期望．
参考公式及数据：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01
2.072 2.706 3.841 5.024 6635
【答案】（1）采用小概率值的独立性检验，能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及对立事件概率和为1，即可求解．
（3）结合二项分布的期望公式，即可求解．
【小问1详解】
列联表如下表所示：
男生 女生 合计
喜欢
不喜欢
合计
零假设该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别无关，
，
，
采用小概率值的独立性检验，可推断不成立，即能认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关，
【小问2详解】
采用分层抽样的方法从抽取的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4，女生的人数为5，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名男生”的概率为．
【小问3详解】
由题意可知喜欢电子竞技的概率为，所以，
故．
19. 已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，若对任意都有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，得，再利用累乘法即可得解；
（2）先利用错位相减法求出，即可求得，再求出的最大值，即可得解.
【小问1详解】
由，
得，
则当时，，
所以，
当时，上式成立，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
，
，
，
．
因此，
，
当，即，
当时，，即，
最大项，．
20. 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
编号 1 2 3 4 5 6
企业总数量（单位：百个） 50 78 124 121 137 352
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据：，其中，
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）令，利用最小二乘法求出，即可得解；
（2）由根据相互独立事件概率的乘法公式计算即可得到答案.
【小问1详解】
令，
，
则，
，所以，
所以；
【小问2详解】
设甲公司获得“优胜公司”为事件，
则，
所以甲公司获得“优胜公司”的概率为．
21. 已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；
（3）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义求出在处的切线斜率即可求得切线方程；
（2）利用导函数求出函数在上的单调性，利用极值点定义即可求得实数的取值范围为；
（3）根据题意将不等式转化为在恒成立，求出的单调性即可求得的取值范围是.
【小问1详解】
若时，，则，
，
可得在点处的切线方程为，
即．
【小问2详解】
函数，则，
令得，
①若，则在上恒成立，
此时在上单调递增，无极值，不符合题意，
②若，则与情况如下：
0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
若在上恰有一个极小值点，则需满足，
解得，
即实数的取值范围为．
【小问3详解】
易知，所以可化为，
又，所以可得，
即对于任意恒成立，
令，则，
又，所以，
又可得
即在上单调递减，所以，
可得，
即实数的取值范围为．
22. 已知函数．
（1）若函数是减函数，求的取值范围；
（2）若有两个零点，且，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）在上恒成立，参变分离在上恒成立，构造函数求出的最大值，从而求出的取值范围；
（2）由零点得到，令，从而得到，，，构造，求导得到其单调性，从而证明出结论.
【小问1详解】
的定义域为，
，
函数是减函数，故在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，且，
故，解得，
故的取值范围是；
【小问2详解】
若有两个零点，则，
得．
，令，则，
故，
则，
，
令，则，
令，则，
在上单调递增，
，
，则在上单调递增，
，即，
故.
【点睛】极值点偏移问题，若等式中含有参数，则消去参数，由于两个变量的地位相同，将特征不等式变形，如常常利用进行变形，可构造关于的函数，利用导函数再进行求解.
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