人教B版（2019）必修第二册 4.6函数的应用（二） 同步练习（含解析）

4.6函数的应用（二）同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数，若函数有且只有一个零点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知为定义在上的函数，其图象关于y轴对称，当时，有，且当时，，若方程（）恰有5个不同的实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙（墙长），其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口（不需材料），共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
5．函数在下列哪个区间存在零点（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是定义域为且周期为4的奇函数，当时，，，则下列结论错误的是（ ）
A． B．函数的图象关于对称
C．的最大值为 D．函数有8个零点
7．若是定义域为上的单调函数，且对任意实数都有，其中是自然对数的底数，则 （　　）
A．4 B．
C． D．
8．下列命题中正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定是“，使得”
B．函数的零点有2个
C．用二分法求函数在区间内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1
D．函数在上只有一个零点，且该零点在区间上
二、多选题
9．设函数（）（ ）
A．在上单调递减
B．当为偶数时，为偶函数
C．有两个零点
D．当为奇数时，在上单调递增
10．已知函数且），则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有4个零点，则
B．当时，函数有4个零点
C．若函数有2个零点，则
D．当时，函数有2个零点
11．用表示不超过的最大整数，例如，，.已知，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．，都有
D．与图象所有交点的横坐标之和为
12．若函数恰有三个零点，则a的值可能为（ ）
A．－1 B．6 C．1 D．2
三、填空题
13．已知关于的方程恰有2个实数解，则实常数的取值范围是 .
14．已知为定义在上的奇函数，当，，且关于直线对称，设方程的正数解从小到大依次为、、、、，且对无穷多个，总存在实数，使得成立，则实数的最小值为 .
15．声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 倍.
16．已知函数
①当时，的值域为 ；
②若关于的方程恰有个正实数解，则的取值范围是 ．
四、解答题
17．已知，一次函数的图象是线段，二次函数的图象是开口向下的抛物线．
(1)①若抛物线与线段相切，求实数m的值；
②若抛物线与线段只有一个交点，求实数m的取值范围；
(2)求证：抛物线与线段恰有两个不同交点的充要条件是.
18．对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”．
(1)若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数；
(2)设，求证：当时，函数是函数的“从属函数”；
(3)若定义在上的函数和的图像均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要非充分条件．
19．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2024年新增300万元资金购买一项新技术，并利用该技术生产某款新手机，通过市场调研发现，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价预定为6000元，且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2024年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
20．已知幂函数在上单调递增.
(1)求的函数解析式；
(2)设，若的零点至少有一个在原点右侧，求实数的取值范围；
(3)若，，，若，求满足条件的的取值范围.
21．薇甘菊，翠绿的叶子，清新的花朵加上曼妙的名称，让人觉得它是一种很友好、人畜无害的植物.殊不知，它却是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它所到之处，树木枯萎、花草调零.某省是受薇甘菊侵害的“重灾区”，2017年该省受薇甘菊侵害的面积为公顷，2018年该省受薇甘菊侵害的面积进一步蔓延至公顷.经测算，该省受薇甘菊侵害的面积（单位：公顷）与年数满足关系式，其中（单位：公顷）为该省受薇甘菊侵害的面积的初始值，2017年，2018年对应的年数分别为0，1.
(1)求的值；
(2)试估计2024年该省受薇甘菊侵害的面积达到多少个单位？（参考数据：取，结果保留两位小数，1个单位公顷）
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】由有解得出，同时否定，时有两根，由大根等于的最小值可得值，然后再判断各选项．
【详解】显然有解，因此，，
若，则只有一个零点，但此时无实解，无零点，
所以，，，
由得，由题意，解得（舍去），所以时只有一个零点，它只满足C，
故选：C．
2．C
【分析】由已知式得出函数的周期性，求出一个周期内函数的解析式，从而得出在整个定义域内的图象，观察图象得出参数范围．
【详解】当时，有，所以，
所以函数在上是周期为2的函数，
从而当时，，有，
又，，
即，又易知为定义在R上的偶函数，
所以可作出函数的图象与直线有5个不同的交点，

所以，解得，
故选：C．
【点睛】方法点睛：函数零点个数与方程的解的个数问题，通常把方程进行变形，化为一个函数图象与一条直线的交点个数，然后利用函数的性质如奇偶性、单调性等作出图象，观察图象可得结论．
3．C
【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解.
【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有，
所以为定值，设，可得，
又由，可得，解得或（舍去），
所以，则方程，即，即，
则关于的方程恰有两个实数根，即，
即函数和有两个交点，
设，则，即且，可得，
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
所以，且，当时，，
要使得方程恰有两个实数根，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故选：C.
4．C
【分析】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，面积，再利用二次函数的性质解答即可．
【详解】设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是，
面积，
墙长，所以，
解得，
对称轴方程，
抛物线开口向下，，函数在上递减，
当时，最大为（），
故选：C．
5．C
【分析】首项判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
【详解】函数定义域为,
当时恒成立，当时单调递增，单调递增且大于零恒成立，单调递增，
根据复合函数的单调性可知在上单调递增，
又，，
即，所以的零点位于区间内.
故选：C
6．D
【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，由于是定义域为且周期为4的奇函数，故，，
同理，+，故选项A正确；
对于选项C，因为是周期为4的函数，故也是周期为4的函数，
当时，，
所以时，，故，
得到时，，
当时，，，
得到时，，
则当时，， ，
当时，，，
当时，，，
则当时，，
所以，，
易知，也是周期为4的周期函数，函数图像如图所示，在x处有最大值，
故，故选项C正确；
对于选项B，由图像知，对称轴为，
易知，k＝1时，，故选项B正确；
对于选项D，画出与的图像，
因为时，，时，；时，；时，，
如图所示，y＝g(x)与y共由9个交点，故选项D错误．
故选：D.
【点睛】关键点晴：本题的关键在于利用函数的周期性，从而得出的图像，利用图像，数形结合来解决问题.
7．B
【分析】由已知令，令，得，得，从而，然后求函数值.
【详解】∵是定义域为上的单调函数，且，
∴在上存在唯一一个实数使得，
于是.
令，得，即.
画出与的图像如图所示：
由图像可知，与的图像在上只有1个交点，
且是方程的解，
所以，故.
故选:B.
8．D
【分析】根据全称命题的否定判断A，根据指数函数和二次函数的图象判断B，根据二分法的性质判断C，根据零点存在性定理及函数单调性判断D.
【详解】选项A：命题“，都有”的否定是“，使得”，选项A错误；
选项B：函数的零点的个数即与图象交点的个数，

根据图象可知函数的零点有3个，选项B错误；
选项C：因为区间的长度为，次二分后长度为，次二分后长度为，
次二分后长度为，次二分后长度为，
所以至少需要次二分后，才能使精确度达到，选项C错误；
选项D：由对数函数和反比例函数的单调性可知在上单调递增，
又，，
所以由零点存在性定理可知函数在上只有一个零点，且该零点在区间上，选项D正确；
故选：D
9．BCD
【分析】根据幂函数的性质判断A、B、D，令，求出方程的解，即可判断C.
【详解】对于A：因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，故A错误；
对于B：当为偶数时的定义域为，且，
所以为偶函数，故B正确；
对于C：令，则，则，所以或，
当为偶数时，由，解得，由，方程无解；
当为奇数时，由解得，由，解得；
综上可得有两个零点、，故C正确；
对于D：当为奇数时的定义域为，且，
所以为奇函数，
又在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确；
故选：BCD
10．BC
【分析】根据题意，得到与都是偶函数，结合时，与的图象的交点，分类讨论，画出两个函数的图象，即可求解.
【详解】令，则，与都是偶函数，
只需考虑时，与的图象的交点；
当时，作出函数，的图象，如图（1）所示，
可得函数，的图象有两个交点，
所以当时，函数的零点个数为2；
当时，作出函数，的图象，此时两个函数图象的交点个数取决于方程的解的个数，与的函数图象关于对称，
故临界情况是与都与相切，
此时有，可得，即，所以，
当时，时，函数，的图象有3个交点，如图（2）所示，
当时，函数，的图象有2个交点，如图（3）所示；
当时，函数，的图象有1个交点，如图（4）所示．
综上所述：当时，函数的图象有2个零点；
当或时，函数的图象有4个零点；
当时，函数的图象有6个零点.
故选：BC．

11．ACD
【分析】A、B由函数新定义及奇偶性定义判断；C作差法比较大小；D令可得，结合新定义求得，讨论求的根，即可判断.
【详解】A：，对；
B：，错；
C：，则，
对于，都有，故，对；
D：令，又，
所以，可得，
当时，满足，即2为图象交点的横坐标；
当时，，则，即为图象交点的横坐标；
当时，，则，故1不为图象交点的横坐标；
当时，，则，即为图象交点的横坐标；
综上，图象所有交点的横坐标之和为，对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项，注意令结合分类讨论求对应根为关键.
12．BCD
【分析】根据函数解析式，在上有两个零点，在上有一个零点，则有，可得a可能的值.
【详解】函数恰有三个零点，
时，，函数有两个零点0和6，
则时，有一个零点，所以，即，
BCD选项都符合.
故选：BCD
13．
【分析】首先注意到是方程的一个解，然后当时，分离变量并通过数形结合将问题等价转换为函数和的图象有且仅有一个交点，由此画出图象分析即可求解.
【详解】当时，方程成立，故是方程的一个解，
当时，将方程变形为，
不妨设，
则由题意可知函数和的图象有且仅有一个交点，
在同一平面直角坐标系中分别画出两函数图象，如下图所示：
当且仅当时，函数和的图象有且仅有一个交点，满足题意.
故答案为：.
14．
【分析】分析可知，函数是周期为的周期函数，作出函数和的图象，结合图象可知，的几何意义为函数两条渐近线的距离，结合，可得出的最小值.
【详解】因为函数为定义在上的奇函数，则，且，
又因为函数的图象关于直线对称，则，
所以，，
所以，函数是周期为的周期函数，
作出函数和的图象如下图所示：
方程的正数解从小到大依次为、、、、，
则的几何意义为函数两条渐近线的距离，由图可知，，
故对任意的，，
对无穷多个，总存在实数，使得成立，则，
即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式恒成立，解题的关键在于理解的几何意义为函数两条渐近线的距离，利用数形结合思想求出的值，进而可得出实数的取值范围.
15．
【分析】根据所给声音强度与声音的等级的函数关系求解.
【详解】由，即，可知，
声音强度，
设喷气式飞机起飞时声音强度与一般说话时声音强度分别为，
故强度之比，
故答案为：
16．
【分析】①当时，分别判断两段的值域，取并集得的值域；
②方程恰有个正实数解，则轴左边的函数图像翻折到右边，与右边的图像有两个交点，作出图像判断的取值范围.
【详解】①当时，，
时，，函数单调递减，；
时，，函数单调递增，，
所以的值域为；
②函数
关于的方程恰有个正实数解，
则轴左边的函数图像翻折到右边，与轴右边的图像有两个交点，
分别作出函数的图像，
其中函数与的图像相交于点和

结合图像可知方程恰有个正实数解，为和，需要，
所以的取值范围为.
故答案为：；.
17．(1)①，②或；
(2)证明见解析.
【分析】（1）①根据相切关系，联立直线与抛物线得且 ，令求参数，结合抛物线性质确定参数值；
②根据直线与抛物线交点个数，令且 ，讨论、，结合抛物线性质求参数范围；
（2）由抛物线与线段恰有两个不同交点，即在内有两个不等实根，求参数范围，即可证充要性.
【详解】（1）①抛物线与线段相切，

则直线与抛物线联立得且 ，
由得：或；
若，则抛物线对称轴，且，显然交点不在线段上；
所以，此时抛物线的对称轴只能在内，故；
②若抛物线与线段AB只有一个交点，由①知满足要求；
令且 ，若，则或，
所以，且，则，
但时有或，不满足题设，故，
综上，所求实数m的取值范围是或；
（2）抛物线与线段恰有两个不同交点，即在内有两个不等实根，
只需，故充要条件是．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“从属函数”的定义和偶函数的性质可证对任意，恒成立，即可证明是偶函数；
（2）不妨设，当时，利用放缩法可证，即可得证函数是函数的“从属函数”；
（3）可通过举反例证明非充分，必要性，即证：函数是函数的“从属函数”，若函数在上为严格增函数或严格减函数，则函数在上是严格增函数或严格减函数，分情况讨论得证.
【详解】（1）因为是上的偶函数，故对任意的都有．又是上的“从属函数”，于是恒成立，即对任意的成立，故是偶函数；
（2）不妨设，当时，在上是严格增函数，有．
而，
所以，
因此，当时，函数是函数的“从属函数”；
（3）举反例不具备充分性.
令，显然在上是严格增函数，
因为，
所以函数是函数的“从属函数”，但在上不是单调函数．
因此不是的充分条件．
必要性证明，即证：函数是函数的“从属函数”，
若函数在上为严格增函数或严格减函数，
则函数在上是严格增函数或严格减函数．
任取，且，有，即对任意，且，有．
下面证明：对任意的实数，有或成立．
若存在，，使得且…①，
其中不妨设…②，
当①或②式中有等号成立时，则与（其中）矛盾！
当①②两式中等号均不成立时，考虑，
因为，
由连续函数的零点存在定理知，必存在使得，
也与（其中）矛盾！
同理可证且也不可能.
【点睛】思路点睛：第二问利用放缩法即可得证，第三位可通过举反例证明非充分，必要性利用定义可得答案.
19．(1)
(2)当年产量为50（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是4300万元
【分析】（1）由题意，根据利润等于收入减去成本即可求出结果；
（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以.
（2）当时，，
∴当时，，
当时，，
当且仅当，即时，，
因此当年产量为50（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是4300万元.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据幂函数的定义及单调性即可求解解析式；
（2）由（1）得，分类讨论研究函数的零点即可求解；
（3）由题意，令，分类讨论去掉绝对值即可求解.
【详解】（1）由，解得或，
当时，不合题意；当时，满足条件，
所以.
（2）设，
（ⅰ）若，则满足条件；
（ⅱ）若，由，易知满足条件；．
（ⅲ）若，由，可知两根同号，
则，解得，∴，
综上，.所以的取值范围是.
（3），，，
由得，令，，则.
（ⅰ）若，则，此时无解；
（ⅱ）若，则，从而，解得，此时；
（ⅲ）若，则，则，即，解得；
（ⅳ）若，则，则，即，解得；
综上，，即.
所以的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：对于一元二次函数型零点问题，要注意根据函数类型讨论，结合一元二次函数图象与性质分析零点分布，注意讨论的完整性.
21．(1)1.06
(2)66.93个单位
【分析】（1）根据和时，的值即可得解；
（2）结合（1）代入公式即可得解.
【详解】（1）根据题意可得，当时，，
当时，，
所以；
（2）由（1）可得，
则2024年该省受薇甘菊侵害的面积将达到
个单位.
答案第1页，共2页
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