人教B版（2019）必修第二册 5.3概率 同步练习(含解析)

5.3概率同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．袋子中装有4个大小质地完全相同的球，其中1个红球、1个黄球、2个蓝球．从中任取2个小球，则这两个小球的颜色不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列命题中正确的是（ ）
A．有一批产品的次品率为0.05，则从中任意取出200件产品中必有10件是次品
B．抛100次硬币，结果51次出现正面，则出现正面的概率是0.51
C．随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
D．掷骰子100次，得点数为6的结果有20次，则出现6点的频率为0.2
4．从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测，记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A．任意两个事件均互斥
B．任意两个事件均不互斥
C．事件与事件对立
D．事件与事件对立
5．抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下列说法正确的是（ ）
A．抛掷硬币次，事件必发生次
B．抛掷硬币次，事件不可能发生次
C．抛掷硬币次，事件发生的频率一定等于
D．随着抛掷硬币次数的增多，事件发生的频率逐渐稳定在附近
6．为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲 乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲 乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ）
A．三次均未中靶 B．只有两次中靶
C．只有一次中靶 D．三次都中靶
8．抛郑两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币反面向上”，事件“第二枚硬币正面向上”，下列结论中正确的是（ ）
A．与为互斥事件 B．
C．与为相互独立事件 D．与互为对立事件
二、多选题
9．先后两次郑一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次郑出的点数之和是6”，表示事件“第二次郑出的点数是偶数”，表示事件“两次郑出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．事件，为互斥事件 B．事件，为对立事件
C． D．事件，为相互独立事件
10．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．
11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，定义事件：A=“”，B=“为奇数”，C=“”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件A与B互斥
B．事件A与B是对立事件
C．事件B与C相互独立
D．事件A与C相互独立
12．下列说法正确的是（ ）
A．设是两个随机事件，且，则
B．若，则事件与事件相互独立
C．一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D．从中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
三、填空题
13．某人抛掷一枚硬币100次，结果正面朝上53次，设正面朝上为事件A，则事件A出现的频率为 ．
14．某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为 .
15．在一次投篮比赛中，甲、乙、丙三人投篮命中的概率分别为，，，若每次投球三人互不影响，则在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率为 ．
16．甲 乙 丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约.甲表示只要面试合格就签约，乙 丙则约定；两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设甲面试合格的概率为，乙 丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响.则恰有一人面试合格的概率 ；至少一人签约的概率 .
四、解答题
17．甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙，丙、丁相互之间胜负的可能性相同.

(1)求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
(2)求甲获得冠军的概率；
(3)求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
18．甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，则由对方接着投掷．规定第1次由甲投掷．
(1)求第2次由甲投掷的概率；
(2)求前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率．
19．某电视台为宣传本省，随机对本省内15~65岁的人群抽取了人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第1组 0.5
第2组 18
第3组 0.9
第4组 9 0.36
第5组 3
(1)分别求出、、、的值；
(2)从第2 3 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
(3)求出直方图中，前三组（第1 2 3组）的平均年龄数（结果保留一位小数）？
20．某用人单位招聘毕业大学生设置了笔试、面试两个环节，先笔试后面试.笔试有两次机会，若第一次笔试通过，则进入面试环节，若没有通过，进行第二次笔试，两次笔试相互独立，若第二次笔试通过则进入面试环节，若仍不通过，则淘汰不予录用.面试只有一次机会，通过后即可录用.已知考生甲通过笔试的概率均为，通过面试的概率为.考生乙通过笔试的概率均为，通过面试的概率为.记“甲被录用”为事件A，“乙被录用”为事件B，事件A，B相互独立.求：
(1)；
(2)甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率.
21．袋中装有大小完全相同的3个红球，2个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2．
(1)每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；
(2)从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件{第一次取到的是红球}，事件{第二次取到了标记数字1的球}，求，，并判断事件A与事件B是否相互独立．
22．药品监督局检测某种产品的两个质量指标，，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
产品编号
质量指标
产品编号
质量指标
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
(2)在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据古典概型求概率，先求颜色相同概率，再用1减去颜色相同概率即得到颜色不同概率.
【详解】总的基本事件有6个，这两个小球的颜色相同的情况只有1种，
所以这两个小球的颜色相同的概率为，故这两个小球的颜色不同的概率为．
故选：D.
2．C
【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于，再列不等式求n取值.
【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半.
刮第1张卡前，下注50元：
若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少；
若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加；
所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少；
所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可，
由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种，
所以且，故或5，即n至少为4.
故选：C
【点睛】关键点点睛：问题化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于为关键.
3．D
【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断．
【详解】对于A，实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，
并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05，
则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，A错误；
对于B，100次并不是无穷多次，
只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为，故B错误；
对于C，根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，C错误；
对于D，频率估计概率，频率为出现的次数与重复试验的次数的比值，
抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是，D正确.
故选：D.
4．C
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念判断即可.
【详解】从一批产品中随机抽取件产品进行质量检测，
则可能情况有：件产品都是次品，件产品是次品，件产品是次品，件产品是次品；
记“件产品都是次品”为事件，“件产品都不是次品”为事件，“件产品不都是次品”为事件，
则事件、事件可能同时发生，故事件与事件不互斥，故A错误；
事件与事件不可能同时发生，故事件与事件互斥，
但是事件与事件可以都不发生，如出现件产品是次品或件产品是次品时，
故事件与事件不对立，故B、D错误；
事件“件产品不都是次品”，包含“件产品是次品”，“件产品是次品”，“件产品是次品”；
故事件与事件对立，故C正确；
故选：C
5．D
【分析】根据频率与概率的关系可得答案.
【详解】不管抛掷硬币多少次，事件A发生的次数是随机事件，故ABC错误；
随着抛掷硬币次数的增多，事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小；
故选：D
6．B
【分析】利用事件的相互独立性求解.法一，所求事件转化为互斥事件的和事件，利用概率加法公式求解即可；法二，利用对立事件的概率和为，间接法可得.
【详解】设事件“甲猜对”，“乙猜对”，“几何队至少猜对一个成语”，
所以，则.
由题意知，事件相互独立，则与，与，与也相互独立，
法一：，且两两互互斥，
则
.
法二：事件的对立事件“几何队一个成语也没有猜对”，即，
则.
故选：B.
7．A
【分析】根据互斥事件的概念分析判断.
【详解】样本空间为：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有两次中靶”和“三次都中靶”，
事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有两次中靶”和“三次都中靶”，
所以选项B、C、D中的事件与事件“至少有一次中靶”不互斥，
事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”互斥，故A正确，B、C、D错误；
故选：A.
8．C
【分析】由相互独立事件及互斥事件、对立事件的定义以及古典概率依次判断即可.
【详解】由相互独立事件的定义知，A与B为相互独立事件，C正确；
事件可以同时发生，则A与B不是互斥事件，也不是对立事件，A错误；D错误；
，B错误.
故选：C.
9．CD
【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断AB，写出基本事件空间判断CD.
【详解】因为A事件包含两次掷出点数分别为（3，3），所以事件A，可以同时发生，故A错误；
因为事件“第二次郑出的点数是偶数”与事件“至少出现一个奇数点”可以同时发生，如事件（1,2），故B错误；
因为基本事件空间为，，，，，
，共36个基本事件，至少出现一个奇数的事件共有27个，所以，故C正确；
因为根据C选项可知，，，，
所以，故D正确.
故选：CD
10．ABC
【分析】根据频率与概率的关系，结合各选项的描述判断正误.
【详解】对于A: 从中任取100件，可能有10件，A错误；
对于B: 做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的频率是，不是概率为，B错误；
对于C:多次重复试验中事件发生的频率在某一常数附近，此常数为概率，与描述不符，C错误；
对于D:10000次的界定没有科学依据，“不一定很准确"的表达正确，试验次数越多，频率越稳定在概率值附近，但并非试验次数越多，频率就等于概率，D正确.
故选: ABC.
11．AD
【分析】根据题意，利用列举法，结合互斥事件、对立事件的概念，可判定A正确，B不正确；再由相互独立事件的判定方法，可判定C不正确，D正确.
【详解】抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，
用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，
定义事件：A=“”，B=“为奇数”，C=“”，
对于A中，事件包含的基本事件为，
事件包含的基本事件为，
事件与不能同时发生，所以事件与为互斥事件，所以A正确；
对于B中，事件与不能同时发生，但能同时不发生，所以不是对立事件，所以B错误；
对于C中，事件“”，可得，又由且，
则，所以事件与不相互独立，所以C错误；
对于D中，由，且，则满足，
所以事件与相互独立，所以D正确.
故选：AD.
12．BD
【分析】由互斥事件可判断A；由相互独立事件可判断B；由对立事件可判断C；由古典概率可判断D.
【详解】对于A，是两个随机事件，且，
当互斥时，则，故A错误；
对于B，若，则，
，所以事件与事件相互独立，故B正确；
对于C，事件“至多一次击中”包括：两次均未击中和两次击中一次，故C错误；
对于D，从中任取2个不同的数，可能的情况有：，
取出的2个数之差的绝对值为2的情况有：，
所以其概率为：，故D正确.
故选：BD.
13．/0.53
【分析】根据频率的概念进行计算即可.
【详解】事件A出现的频率为.
故答案为：
14．/
【分析】先罗列出所有情况，再罗列出符合要求的情况，最后算概率即可.
【详解】设装变形金刚玩具的盒子分别为，
装积木玩具的盒子为.则从这5个盒子中选出2个盒子的不同选法有
，
共10种不同方法；
恰好选到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的不同选法有
，共4种不同方法，故所求概率，
故答案为：
15．
【分析】分别根据独立事件以及对立、互斥事件的概率计算得出恰有两人投篮命中的概率以及三人均命中的概率，相加即可得出答案.
【详解】由已知可得，一次投球中，三人中恰有两人投篮命中的概率；
一次投球中，三人投篮均命中的概率.
所以，在一次投球中，三人中至少有两人投篮命中的概率.
故答案为：.
16．
【分析】利用互斥事件的概率加法和相互独立事件的概率乘法公式，求得恰有一人面试合格的概率，在分别求得甲签约，乙、丙没有签约、甲未签约，乙、丙都签约和甲乙丙三人都签约的概率，即可求得至少一人签约的概率.
【详解】由题意，恰有一个人面试合格的概率为：
，
甲签约，乙、丙没有签约的概率为；
甲未签约，乙、丙都签约的概率为
甲乙丙三人都签约的概率为，
所以至少一人签约的概率为.
故答案为：；.
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）乙在第1场、第4场均负，利用独立事件的乘法公式进行求解；
（2）分析出甲获胜的情况，得到各个情况下的概率，相加后得到答案；
（3）分乙的决赛对手是甲，丙，丁，分析出各场比赛胜负情况，求出相应的概率，相加后得到答案.
【详解】（1）乙连负两场，即乙在第1场、第4场均负，
∴乙连负两场的概率为；
（2）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，
∴甲获得冠军的概率为：．
（3）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲1胜3胜，乙1负4胜5胜；甲1负4胜5胜，乙1胜3胜，
∴甲与乙在决赛相遇的概率为：．
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种：
乙1胜3胜，丙2胜3负5胜；乙1胜3负5胜，丙2胜3胜，
若考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为：
，
若乙的决赛对手是丁，和乙的决赛对手是丙情况相同，
∴乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为：．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，列出所以满足要求的情况数，然后结合古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，乙恰好投掷2次的情况分三种，分别计算出其对应概率，相加即可得到结果.
【详解】（1）掷出的骰子的点数的样本点总数为36．
记事件“掷出的点数之和为3的倍数”，
则，有12个样本点．
．
故第2次由甲投掷的概率为．
（2）前4次投掷中，乙恰好投掷2次的情况分以下三种：
第一种情况，第1，2次由甲投掷，第3，4次由乙投掷，其概率为，
第二种情况，第1，3次由甲投掷，第2，4次由乙投掷，其概率为，
第三种情况，第1，4次由甲投掷，第2，3次由乙投掷，其概率为．
故前4次投掷中，乙恰好投掷2次的概率为．
19．(1)，，，
(2)
(3)
【分析】（1）先算出第4组的总人数，再根据频率分布直方图得到第4组的频率，从而可计算总人数，最后计算出相应组人数后利用统计结果表可得的值；
（2）先利用分层抽样求得第2、3、4组抽取的人数，再利用列举法及古典概型概率的求法即可得解；
（3）利用频率分布直方图平均数的求法即可求得所求.
【详解】（1）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，
再结合频率分布直方图可知，
所以，
，
，
.
（2）由（1）可知第2、3、4组回答正确的共有人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，第2组抽取（人），记为；
第3组抽取（人），记为；第4组抽取（人），记为；
所以从6人随机抽取2人的基本事件有，共15件，
其中所抽取的人中恰好没有第3组的人（记为事件）的基本事件有，共3件，
所以，即所抽取的人中恰好没有第3组人的概率为.
（3）根据题意，
得前三组（第1 2 3组）的频率为，
所以前三组（第1 2 3组）的平均年龄数.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由题意事件A包含“第一次笔试通过、面试通过”和“第一次笔试不通过、第二次笔试通过、面试通过”两种可能，从而可求；
（2）先求出“乙被录用”的概率，再由恰有一个人被录用分为“甲被录用且乙不被录用”和“乙被录用且甲不被录用”两种情况，进而可求出概率.
【详解】（1）由于“甲被录用”为事件A，事件A包含“第一次笔试通过、面试通过”和“第一次笔试不通过、第二次笔试通过、面试通过”两种可能，
则.
（2）由（1）知，则“甲不被录用”的概率，
由题意“乙被录用”的概率，“乙不被录用”的概率为，
由于甲乙两人恰有一个人被录用的事件为，事件A，B相互独立，
所以.
所以甲乙两人恰有一个人被该用人单位录用的概率为.
21．(1)
(2)， ，事件A与事件B不相互独立
【分析】（1）先设事件，然后求出抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率和抽到的是蓝2红1或者蓝1红2的概率，然后相加即可；
（2）分别求出“第一次取到的是红球”的概率和“第二次取到了标记数字1的球”的概率，然后通过判断是否成立来判断相互独立性.
【详解】（1）记事件C“取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3”
事件D“第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3”，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：，
事件E“第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3”即抽到的是蓝2
红1或者蓝1红2的概率，
则所求的概率为
（2）记3个红球分别为，，其中，表示红球标数字1，表示红球标数字2，记2个蓝球分别为，其中表示蓝球标数字1，表示蓝球标数字2
则从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个共有20个结果的样本空间
其中事件共12结果；
其中事件共12个结果；
其中事件共7个结果，
“第一次取到的是红球”的概率，
“第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1概率，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，
概率．
因为成立，所以事件A与事件B不相互独立
22．(1)0.6；
(2).
【分析】（1）根据题设得到产品编号与综合指标的表格，应用古典概型的概率求法求一等品率；
（2）列举法求事件的概率即可.
【详解】（1）由题设可得如下表格，
产品编号
2 4 8 3 6 5 3 2 1 6
又则核定该产品为一等品，故一等品共有6个，所以一等品率为；
（2）由题意，一等品中随机抽取2件产品有
，共15种，
其中事件为，共10种
所以．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页