1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词和存在量词
1充分条件与必要条件
概念
一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出.
这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件.
如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题，
即既有，又有，就记作，
此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件.
② 是的______条件(填写是否充分、必要)
完成此题型，可思考
从左到右，若则充分，若则不充分；
从右到左，若则必要，若则不必要.
Eg：帅哥是男人的______条件.
从左到右，显然若是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；
从右到左，若是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围
命题对应集合，
若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件.
备注 若，则称为小范围，为大范围.
Eg1：帅哥是男人的______条件.
设集合帅哥，集合男人，显然，帅哥是小范围，推得出男人这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.
Eg2：是的不充分必要条件，因为.
结论
① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则；
③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则；
⑤ 若是的充要条件，则.
2 全称量词与存在量词
① 全称量词
短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题对中任意一个，有成立，记作．
Eg：对所有末位数是的数能被整除，.
② 存在量词
短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题存在中的一个，使成立，记作.
Eg：至少有一个质数是偶数，.
③ 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.
Eg：的否定是.
是真命题，是假命题.
【题型一】 充分条件与必要条件
【典题1】 设，则是的 ( )
充分不必要条件 必要不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
【典题2】 若是正整数，则充要条件是( )
有一个为
且
【典题３】 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
巩固练习
1 (★★) 已知则“”的一个必要不充分条件是 ( )
．
2 (★★★) 设，命题，命题，则是的 ( )
.充分不必要条件 .必要不充分条件 .充分必要条件 .既不充分也不必要条件
3 (★★) 在关于的不等式中，“”是“恒成立”的( )
.充分不必要条件 .必要不充分条件 .充要条件 .既不充分也不必要条件
4 (★★★) 已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 .
5 (★★★) 已知，：关于的不等式恒成立．
(1)当时成立，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【题型二】 全称量词与存在量词
【典题1】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
； 所有可以被整除的整数，末位数字都是；
； 存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
【典题2】若命题“时，”是假命题，则的取值范围 ．
巩固练习
1 (★) 命题“”的否定是 .
2 (★★) 若命题，”是假命题，则实数的取值范围是 ．
3 (★★) 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ．
挑战学霸
设数集满足下列两个条件：
(1)，；(2)或，则．
现给出如下论断：
①中必有一个为；②中必有一个为；
③若且，则；④存在互不相等的，使得．
其中正确论断的个数是( )
中小学教育资源及组卷应用平台
A． B． C． D．21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词和存在量词
1充分条件与必要条件
概念
一般地，若，则为真命题，是指以为已知条件通过推理可以得出.
这时，我们就说，由可以推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件.
如果若，则和它的逆命题若，则均是真命题，
即既有，又有，就记作，
此时即是的充分条件也是必要条件，我们说是的充要条件.
② 是的______条件(填写是否充分、必要)
完成此题型，可思考
从左到右，若则充分，若则不充分；
从右到左，若则必要，若则不必要.
Eg：帅哥是男人的______条件.
从左到右，显然若是个帅哥，那他肯定是男人，即充分；
从右到左，若是男人，他不一定是帅哥了，即不必要；故答案是充分不必要.
③ 从集合的角度理解－－小范围推得出大范围
命题对应集合，
若，则，即是的充分条件；若，则，即不是的充分条件.
备注 若，则称为小范围，为大范围.
Eg1：帅哥是男人的______条件.
设集合帅哥，集合男人，显然，帅哥是小范围，推得出男人这个大范围，即充分条件；故答案是充分不必要条件.
Eg2：是的不充分必要条件，因为.
结论
① 若是的充分不必要条件，则；② 若是的必要不充分条件，则；
③ 若是的充分条件，则； ④ 若是的必要条件，则；
⑤ 若是的充要条件，则.
2 全称量词与存在量词
① 全称量词
短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示．
含有全称量词的命题称为全称命题．
全称命题对中任意一个，有成立，记作．
Eg：对所有末位数是的数能被整除，.
② 存在量词
短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示．
含有存在量词的命题称为特称命题．
特称命题存在中的一个，使成立，记作.
Eg：至少有一个质数是偶数，.
③ 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，它们的真假性是相反的.
Eg：的否定是.
是真命题，是假命题.
【题型一】 充分条件与必要条件
【典题1】 设，则是的 ( )
充分不必要条件 必要不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
【解析】可知，而，．
反之不成立，例如a，，满足，但不成立.
是的充分不必要条件．故选：．
【点拨】
① 以为已知，可以推出这个结论，所以是的充分条件；若要判断某个命题是对的，只能去证明它；
② 证明推不出，即判断某个命题是错的，举一个反例就行，这点做非解答题时多多注意，可称之为取特殊值否定法；
③ 思考：本题可从集合的角度去判断么？
【典题2】 若是正整数，则充要条件是( )
有一个为
且
【解析】，
，
是正整数，，，
则，，，
若，则，
即或，即有一个为，
即充要条件是有一个为，故选．
【点拨】
本题求充要条件就相当于“当是正整数，由可以等价推导出什么结论”；
② 是充要条件就是相当于两个命题是等价的，这个很重要，有一种数学思想叫做“等价转化”，在推导问题的过程中经常遇到它，这需要严谨的逻辑分析.
【典题３】 若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【解析】由得或，即不等式的解集为，
由得，
若，则不等式的解为，此时不等式的解集为为，
若，则不等式的解集为，
若，不等式的解集为，
(求解含参的不等式，注意分类讨论)
若是的必要不充分条件，则，
(从集合的角度去思考充分必要条件问题)
则当时，不满足条件．
当时，则满足，即，得，
当时，则满足，得，得．
综上实数的取值范围或.
【点拨】
① 本题涉及含参的一元二次不等式的求解，要注意两个根的大小比较，才有了
的分类；
② 从集合的角度去理解充分条件和必要条件，记住“小范围推得出大范围”.
巩固练习
1 (★★) 已知则“”的一个必要不充分条件是 ( )
．
【答案】
【解析】由已知可得：A是既不充分也不必要条件；B是充分不必要条件；C是必要不充分条件；D是充要条件．故选：．
2 (★★★) 设，命题，命题，则是的 ( )
.充分不必要条件 .必要不充分条件 .充分必要条件 .既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】若，即有；
若，显然有；
若，则，
而，，所以，
故可以推出．
若，当时，如果，不等式显然成立，此时有；
如果，则有，因而；
当时，，此时有，
因而，故可以推出．
故选：．
3 (★★) 在关于的不等式中，“”是“恒成立”的( )
.充分不必要条件 .必要不充分条件 .充要条件 .既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】在关于的不等式中，
当时，，
恒成立，
当时，，
恒成立，
是恒成立的充要条件．
故选：C．
4 (★★★) 已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】命题，，即，
是的必要不充分条件，
，，解得．
实数的取值范围为．
5 (★★★) 已知，：关于的不等式恒成立．
(1)当时成立，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】(1)，，，
实数的取值范围为：．
(2)，
设，，
是的充分不必要条件，
①由(1)知，时，，满足题意；
②时，，满足题意；
③时，，满足题意；
④，或时，设，
对称轴为，由得或，
或，
或，
或
综上可知：
【题型二】 全称量词与存在量词
【典题1】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
； 所有可以被整除的整数，末位数字都是；
； 存在一个四边形，它的对角线互相垂直．
【解析】全称命题，当时，结论不成立，所以为假命题．
命题的否定：.
全称命题，所有可以被整除的整数，末位数字都是或；为假命题．
命题的否定：存在可以被整除的整数，末位数字不都是；(这里不能写“都不是”)
特称命题，，所以结论不成立，为假命题．
命题的否定：
特称命题，菱形的对角线互相垂直，真命题．
命题的否定：任意的四边形，它的对角线不互相垂直．
【点拨】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
【典题2】若命题“时，”是假命题，则的取值范围 ．
【解析】 是假命题，
该命题的否定是真命题，
即方程在上有解，
，解得.
【点拨】
①命题与命题的否定的真假性相反；
②正面不好证明，可从反面入手.
巩固练习
1 (★) 命题“”的否定是 .
【答案】
【解析】因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题的否定是．
2 (★★) 若命题，”是假命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】 []
【解析】命题的否定为，
命题”是假命题，
为真命题，
则，解得．
实数的取值范围是：[]．
3 (★★) 已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】命题为真命题
等价于上有解，
令，则等价于，
，
挑战学霸
设数集满足下列两个条件：
(1)，；(2)或，则．
现给出如下论断：
①中必有一个为；②中必有一个为；
③若且，则；④存在互不相等的，使得．
其中正确论断的个数是( )
A． B． C． D．
【解析】由(2)知不属于(①不成立)，
由(1)可推出对于任意，
等于中的某一个，
不妨设，
，(由(1)知②成立)，
若③中，则，
由(1)知，即，
时③成立，
同理有时③成立和时③成立，
下面讨论时，
，若，则，③成立(最后会证到即可能等于1)，
若，则中的某个等于1，
不妨设，由知，
由(1)知，又(即)，(即)，(即)，
，
同理有，
，，，
，③成立，
综上，对于任意，有成立，即③成立，
由即的讨论可知
当时，，(联立解出)
此时，④成立，
若即，则，由1知，
若，则，不可能，
若，则，不可能，
若，则，不可能，
，
，
同理有，
的平方根有且只有两个值，
那么中至少有两个相同，这与同属于矛盾，
不存在即的情况，
④成立．
故选：．
中小学教育资源及组卷应用平台
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
