基本不等式
1 基本不等式
若，则 (当且仅当时，等号成立).
① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.
② 基本不等式的几何证明
(当点重合，即时，取到等号)
③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
2 基本不等式及其变形
(调和均值几何均值算术均值平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
① ，积定求和；
② ，和定求积：
③ (联系了与平方和)
④ (联系了与平方和)
3 对勾函数
① 概念 形如的函数.
② 图像
③ 性质
函数图像关于原点对称，
在第一象限中，当时，函数递减，当时，函数递增.
④ 与基本不等式的关系
由图很明显得知当时，时取到最小值，
其与基本不等式时取到最小值是一致的.
【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解
情况1 一正：
求函数的最值.
情况2 二定：定值
求函数的最值.
情况3 三等：取到等号
求函数的最值.
【题型二】基本不等式运用的常见方法
方法1 直接法
【典题1】设，则三个数、、 ( )
．都大于4 至少有一个大于4
至少有一个不小于4 至少有一个不大于4
【典题2】设，下列不等式中等号能成立的有( )
① ； ② ；
③ ； ④ ；
A．个 B．个 C．个 D．个
【典题3】已知实数，满足，则的最大值为 .
方法2 凑项法
【典题1】若，则函数的最小值为 .
【典题2】若，则的最小值是 ．
【典题3】设，则的最小值是 ．
方法3 凑系数
【典题1】若，则的最大值是 ．
【典题2】已知为正数，，则的最大值为 ．
方法4 巧法
【典题1】已知，，，则的最大值是 ．
【典题2】已知，，且，则的最小值是 ．
【典题3】设，，若，则的最小值为 ．
方法5 换元法
【典题1】若，则的最大值为 .
【典题1】若，，则的最大值 .
【典题2】设是正实数，且，则的最小值是 .
方法6 不等式法
【典题1】已知，且，则的取值范围是 .
【典题2】 已知，，，则的取值范围是 .
巩固练习
1 (★★) 已知，则与的比较 ．
2 (★★) 已知，，若，则的最大值为 ．
3 (★★) 若，，且，则的最小值是 ．
4 (★★) 函数的最小值为 ．
5(★★) 已知实数，则的最大值为 ．
6 (★★) [多选题]下列说法正确的是( )
的最小值是 的最小值是
的最小值是 的最大值是
7 (★★★) [多选题]设，，且，则下列结论正确的是( )
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．恒成立
8(★★★)若实数，，满足，以下选项中正确的有( )
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
9 (★★★) 已知正实数，满足，则的最小值为 ．
10 (★★★) 若正数满足，则的最大值为 ．
11 (★★★) 已知，则的最小值是 ．
12 (★★★) 已知，，，则的最大值为 ．
13 (★★★) 若正数满足1，则的最小值为 ．
14 (★★★★) 已知实数，，且满足，则的最小值是 ．
15 (★★★★) 已知，，则的最大值是 ．
16 (★★★★) 设实数满足，则的最小值是 .
挑战学霸
方程的实数解的个数为 ．
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1 基本不等式
若，则 (当且仅当时，等号成立).
① 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数.
② 基本不等式的几何证明
(当点重合，即时，取到等号)
③运用基本不等式求解最值时，牢记：一正，二定，三等.
一正指的是；二定指的是是个定值，三等指的是不等式中取到等号.
2 基本不等式及其变形
(调和均值几何均值算术均值平方均值)
以上不等式把常见的二元关系(倒数和，乘积，和，平方和)联系起来，我们要清楚它们在求最值中的作用.
① ，积定求和；
② ，和定求积：
③ (联系了与平方和)
④ (联系了与平方和)
3 对勾函数
① 概念 形如的函数.
② 图像
③ 性质
函数图像关于原点对称，
在第一象限中，当时，函数递减，当时，函数递增.
④ 与基本不等式的关系
由图很明显得知当时，时取到最小值，
其与基本不等式时取到最小值是一致的.
【题型一】对基本不等式“一正，二定，三等”的理解
情况1 一正：
求函数的最值.
【误解】，故最小值是.
【误解分析】误解中套用基本不等式，，当忽略了的前提条件！
【正解】 ，
(当取到等号)
，
故函数的最大值为，没有最小值.
情况2 二定：定值
求函数的最值.
【误解】
【误解分析】套用基本不等式，满足均为正数，但是最后求不出最值，因为不是一定值.
【正解】.(当时取到等号)
(通过凑项得到定值“”)
故函数的最小值为，没有最大值.
情况3 三等：取到等号
求函数的最值.
【误解】，即最小值为.
【误解分析】在误解中把，满足了“一正二定”，但忽略了能否取到等号？若，则显然方程无解，即不等式取不到等号，只能说明，那它有最小值么？
【正解】，令，则，
因为对勾函数在上单调递增，当时，取得最小值.
故的最小值为，无最大值.
【题型二】基本不等式运用的常见方法
方法1 直接法
【典题1】设，则三个数、、 ( )
．都大于4 至少有一个大于4
至少有一个不小于4 至少有一个不大于4
【解析】假设三个数且且，
相加得：，
由基本不等式得：；；；(直接使用基本不等式)
相加得：，与假设矛盾；
所以假设不成立，三个数、、至少有一个不小于．
故选：．
【点拨】本题利用了反证法求解，当遇到“至少”“至多”等的字眼可考虑反证法：先假设，再推导得到矛盾从而证明假设不成立.
【典题2】设，下列不等式中等号能成立的有( )
① ； ② ；
③ ； ④ ；
A．个 B．个 C．个 D．个
【解析】，，，当时取到，所以①成立，
，当时取到，显然②成立，
，运用基本不等式不能取等号，此时，显然不成立，
，当时成立，
故正确的有三个，故选：．
【点拨】
① 直接使用基本不等式求解最值时，一是要做到“一正二定三等”，二是要选择适当的式子充当.
② 连等问题
本题中④ ，当时成立，
这里连续用到基本不等式，这要注意连等问题，即要确定两个等号是否能同时取到，
是当时取到等号，是当时取到等号，
即要同时满足方程组才行，而方程组有解，
即是成立的，当取到等号.
再看一例子：设，求的最小值.
误解1：，.
误解2：.
以上两种解法问题在哪里呢？
【典题3】已知实数，满足，则的最大值为 .
【解析】 (分子、分母均为二次项同除)
，当且仅当时取等号，
，故最大值为．
【点拨】要用基本不等式的直接法求解需要寻找“乘积为定值的两个式子”，比如与，，与之类的.
方法2 凑项法
【典题1】若，则函数的最小值为 .
【解析】，当且仅当时取等号．
函数的最小值为．
【点拨】把凑项成，目的是使得与的乘积为定值.
【典题2】若，则的最小值是 ．
分析：三项都不能乘积为定值，而与乘积为定值的分别是与
，而它们的和刚好是，故想到令，完成凑项.
【解析】
当且仅当，，即时取等号，
(用了两次基本不等式，要注意是否能同时取到等号)
故的最小值是.
【典题3】设，则的最小值是 ．
【解析】 ；
(这里巧妙地完成凑项)
．
当且即当且，即时取等号，
的最小值为．
【点拨】凑项的目的是使得“为定值”，它需要一定的技巧！本题观察到的分母之和，刚好是所求式子的第三项.
方法3 凑系数
【典题1】若，则的最大值是 ．
【解析】，且，
则，
当且仅当即时等号成立，即的最大值为.
【点拨】基本不等式的变形，和定求积(若为定值，可求的最值).
本题中不是定值，故通过凑系数，使得为定值从而求出最值.
本题仅是二次函数最值问题，这里重在体会下“和定求积”.
【典题2】已知为正数，，则的最大值为 ．
【解析】因为，
则，
(这里用到了不等式，遇到二次根式可利用平方去掉根号)
当且仅当时，取得最大值．
【点拨】
① 不等式把，两者联系在一起，知和为定值，可求积的最值.
② 平时做题要多注意常见二元关系：倒数和、积、和、平方和，能够灵活使用以下不等式能够达到快速解题的效果.
方法4 巧法
【典题1】已知，，，则的最大值是 ．
【解析】 (当时取到等号)
(加“1” 巧妙的把与，与联系起来)
相加得
即，故最大值为.
【典题2】已知，，且，则的最小值是 ．
【解析】
，
当且仅当时，即时等号成立，
故的最小值为.
【点拨】本题的方法很多，比如消元法、换元法等，但属巧法最简洁了！
【典题3】设，，若，则的最小值为 ．
【解析】若，则，(凑项再利用巧法)
则，
又由，则，当时取到等号，
则，即的最小值为.
方法5 换元法
【典题1】若，则的最大值为 .
【解析】令，则，，
原式，
当且仅当即时等号成立.
故的最大值为.
【点拨】本题是属于求函数的最值问题，它常用到基本不等式或对勾函数，换元法是常见手段.
【典题1】若，，则的最大值 .
【解析】设，(遇到二次根式，用换元法达到去掉根号的目的)
则，
(这相当已知求的最大值，想到算术均值平方和均值)
即，故最大值为.
【点拨】
① 本题本来是“已知求的最大值 ”，通过换元法后变成
“已知求的最大值 ”.显然问题比问题看起来更舒服些，故换元法就能把问题的表示形式转化为令人“顺眼”些.
你说不更简洁？
是的，它们的解法本质是一样的，换元法本质是“整体思想”.用上换元法更容易找到解答思路.
② 本题还有其他的解法，可多思考体会下数学思维的魅力！
【典题2】设是正实数，且，则的最小值是 .
【解析】令，，则，；
由题意得为正实数，且；
(以上纯是运算，没太大难度，作到这就相当于“已知，求最小值”，较易想到巧“1”法)
．
当且仅当即取到等号，
即的最小值是.
【点拨】本题再次让你体验到换元法能把问题转化为更简单的形式，本题是分母“换元”，“宁愿分子复杂些，也想分母简单些”就这么朴素的想法！
方法6 不等式法
【典题1】已知，且，则的取值范围是 .
分析：相当是“关于与的方程”，而由基本不等式又确定了“关于与的不等关系”，那用“消元思想”不就得到的不等式么？！其范围就有了！
【解析】，，
由得代入不等式可得，
整理可得，，
解得.
【典题2】 已知，，，则的取值范围是 .
【解析】，，
(这要确定与的关系，想法与上题相似，利用与的等式关系与不等关系最终得到关于的不等式)
而
，解得，
的取值范围是．
巩固练习
1 (★★) 已知，则与的比较 ．
【答案】
【解析】已知，
因为，且，
所以，
解得，
所以的值小于．
2 (★★) 已知，，若，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】正数，满足，
，，
解得，
故，当且仅当时取等号．
的最大值为
3 (★★) 若，，且，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】，且，
，
当且仅当，即时等号成立，
4 (★★) 函数的最小值为 ．
【答案】
【解析】令，；
(当且仅当，即时，等号成立)，
故函数，的最小值为，
5(★★) 已知实数，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】由于，
所以，
故：，(当且仅当时，等号成立)．
6 (★★) [多选题]下列说法正确的是( )
的最小值是 的最小值是
的最小值是 的最大值是
【答案】
【解析】由基本不等式可知，时，，当且仅当即时取等号，故正确；
：，当时取得等号，故正确；
：，令，则，
因为在上单调递增，当时，取得最小值，故错误；
：在时，没有最大值，故错误．
故选：．
7 (★★★) [多选题]设，，且，则下列结论正确的是( )
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．恒成立
【答案】
【解析】因为，，且，
对于，，
当且仅当时取等号，故选项错误；
对于，，
当且仅当，时取等号，故选项正确；
对于，，
当且仅当时取等号，故选项正确；
对于，当时，，但，故选项错误．
故选：．
8(★★★)若实数，，满足，以下选项中正确的有( )
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】
实数，，，
整理得：，当且仅当时取，故选项错误；
(，
当且仅当时取，故选项错误；
，，
，
当且仅当时取，
，故选项错误；
，
，
，当且仅当时取，故选项正确，
故选：．
9 (★★★) 已知正实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】正实数，满足，
则，
当且仅当且即，时取等号，
10 (★★★) 若正数满足，则的最大值为 ．
【答案】
正数满足，
，解得，
，
当且仅当时等号成立，
的最大值为．
11 (★★★) 已知，则的最小值是 ．
【答案】
，则
，
12 (★★★) 已知，，，则的最大值为 ．
【答案】
，．
则
，
令，
则，
令，即，
可得，
由，
当且仅当，时上式取得等号，
可得，
则的最大值为，
13 (★★★) 若正数满足1，则的最小值为 ．
【答案】
正数，满足1，，且；
1变形为，，
，；，
，
当且仅当4(a－1)，即时取“”(由于，故取，
的最小值为；
14 (★★★★) 已知实数，，且满足，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】实数，，且满足，
，，
又，
，当且仅当时取，
故答案为：．
15 (★★★★) 已知，，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】
，
令，则，
当且仅当时取等号，
函数，在[4，+∞)上单调递增，
的最小值为：，
，
．
的最大值为：．
故答案为：．
16 (★★★★) 设实数满足，则的最小值是 .
【答案】
【解析】方法1
令， ，
则
再令
则
当且仅当时取到等号，
方法2
令，则，
当且仅当时取到等号.
挑战学霸
方程的实数解的个数为 ．
【答案】1
【解析】由题意知，
设 ①，
则 ②，
所以①+②得
(当且仅当时等号成立)
所以，
又因为(当且仅当时等号成立)，
所以
当且仅当时等号成立，
因此实数解的个数为.
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