绝密★考试结束前
2023 学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 4页满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题；本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1.直线 x y 1 0的倾斜角为 （ ）
A. B. C. D.
6 4 3 2
2.直线 l1的一个方向向量为a ( 1,2,1)，直线 l2 的一个方向向量为b (x,1, 3)，若 l1 l2 ，
则实数 x 的值为 （ ）
A.1 B. 2 C. 1 D.5
x2 y2
3.椭圆 1上一点M 到左焦点F1 距离为 2，则其到右焦点F2 的距离为 （ ）
25 9
A. 8 B.4 C.7 D. 6
4.若圆C : (x 1)2 (y 2)2 1与圆C : (x 5)2 (y 6)2 r2 相切，则 r （ ） 1 2
A.9 B.10 C.11 D.9或 11
5. 如图，一束光线从 A(1,0)出发，经直线 x y 1 0 反射后又经过点B(6, 5) ，则光线从 A
到 B 走过的路程为 （ ）
A. 55 B. 2 14 C. 58 D. 2 15
6. 如图，棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点M , N 分别是线段BB1, DD1的中点，记E
是线段MC1的中点，则点 E 到面 ANB1的距离为 （ ）
高二数学学科 试题第 1 页（共 6 页）
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2 3 2 1
A. B. C. D.
3 3 3 3
y
D1 C
1
A1 B1
A
N E
x
M
D
C
B A B
第 5题图 第 6题图
PA 2 2
7. 已知 A( 2,0)， B(2,0)，动点 P 满足 3 ，则点 P 的轨迹与圆 x y 4 相交的弦
PB
长等于 （ ）
4 3 2 6
A. 2 3 B. C. D. 6
3 3
8. 棱长为 2的菱形 ABCD中， BAD 60 ，将 ABD 沿对角线BD翻折，使 A 到P 的位置，
得到三棱锥P BCD，在翻折过程中，下列结论正确的是 （ ）
A. 三棱锥P BCD的体积的最大值为 3 B. CD PC
C.存在某个位置，使得CD PB D. 存在某个位置，使得CP 面BCD
P
D C
D
C
A B
B
二、选择题；本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分．
2 2
9.圆M : x y 4x 3 0，则下列说法正确的是 （ ）
A.点 (3,2) 在圆内 B.圆M 关于直线2x y 4 0对称
C. 圆M 的半径为 2 D.直线 x 3y 0与圆M 相切
高二数学学科 试题第 2 页（共 6 页）
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10.以下四个命题正确的有 （ ）
5
A. 直线 x 2y 2 0与直线2x 4y 1 0的距离为
2
B. 直线 l 过定点 (0, 1) ，点 A( 3, 4) 和 B(6,3) 到直线 l 距离相等，则直线 l 的方程为
x 3y 3 0
C.点 (1,2)到直线 x y 1 0 的距离为 2
D.已知a R ，则“直线ax 2y 1 0与直线 (a 1)x 2ay a 0垂直”是“a 3”的必要
不充分条件
11.下列说法正确的是 （ ）
1 5 1
A.在四面体OABC中，若OG OA OB OC ，则 A, B,C,G 四点共面
2 6 6
1
B.若G 是四面体OABC的底面三角形 ABC 的重心，则OG (OA OB OC)
3
C.已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1 的棱长均为 1，且 BAD BAA1 DAA
，则
1 60
对角线 A1C 2
D.若向量 p mx ny kz ，则称 (m,n,k) 为 p 在基底 x, y, z 下的坐标，已知向量 p 在单位
1 3
正交基底 a,b,c 下的坐标为 (1,2,3) ，则向量 p 在基底 a b,a b,c 下的坐标为 ( , ,3)
2 2
2 2
5 1 x y
12. 离心率为 的椭圆称为“黄金椭圆”，在椭圆 1(a b 0) 中，A1, A2 ，B1, B2
2 a2 b2
分别是椭圆的左、右顶点和上、下顶点，F1, F2 是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上的动点，则下
列选项中，能使椭圆是“黄金椭圆”的有 （ ）
2 y
A．PF B11 x 轴且PO A2B1 B． F1F2 A1F1 A2F2 P
C．四边形 A1B1A2B2的内切圆过F1 D． A2B2 F1B2
A1 F1 F A x2 2
B2
高二数学学科 试题第 3 页（共 6 页）
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非选择题部分
三、填空题；本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13.已知空间中三点 A( 3,0,4)，B( 1,1,2)，C( 2,0,2) ，则 ABC的面积为_______.
2 2
14.已知椭圆C ： 2x y 1，则椭圆的短轴长为_______.
15. 已知 a R ，过定点 M 的动直线 ax y 3a 1 0 与过定点 N 的动直线 x ay 3a
1 0相交于点 P ，则 PM PN 的最大值是_______.
16. 已知一张纸上画有半径为 4的圆O，在圆O内有一个定点 A ，且OA 2，折叠纸片，使圆
上某一点 A '刚好与 A 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当 A '取遍圆上所有点
时，所有折痕与OA '的交点形成的曲线记为C .则曲线C 上的点到点O的最大距离为_______.
四、解答题；本题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （本小题 10分）已知直线 l1 : x 2y 4 0，直线 l2 在 y 轴上的截距为 3，且 l2 l1
（1）求直线 l2的方程
（2）直线 l3 过 l1与 l2的交点，且 l3 与直线3x 2y 0平行，求直线 l3 的方程
18. （本小题 12分）如图，在正方体 ABCD A1B C D 中， E 为 BB 的中点． 1 1 1 1
（1）求证： A1C 平面 AB D ； 1 1
（2）求直线CC 与平面1 AD E 所成角的正弦值． 1
高二数学学科 试题第 4 页（共 6 页）
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19. （本小题 12分）圆C 过点 A(4,2) 和B(1,3) ，圆心C 在直线 y x 1上
（1）求圆C 的标准方程
（2）直线 l 经过点P(1, 1) ，且被圆C 所截得的弦长为 4，求直线 l 的方程
x2 y2
20. （本小题 12分）已知O为坐标原点，F1( 1,0)是椭圆C : 1(a b 0)的左焦点，
a2 b2
点 P 是椭圆的上顶点，以点 P 为圆心且过F1 的圆恰好与直线 x 2 相切
（1）求椭圆C 的方程
（2）斜率为 1的直线 l 交椭圆C 于 A, B两点，求 AOB 面积的最大值
高二数学学科 试题第 5 页（共 6 页）
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21. （本小题 12分）如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD 平面 ABCD，
PA AD 2 ， BD 4 ， AB 2 3 ， BD 是 ADC 的平分线，且 BD BC ，二面角
P AB D 的大小为60
（1）若 E 是棱PC 的中点，求证： BE 平面PAD
（2）求平面PAB与平面PCD所成的二面角的夹角的余弦值
P
E
D
C
A
B
22. （本小题 12分） 已知圆O的方程为 x2 y2 16，与 x 轴的正半轴交于点 N ，过点M (3,0)
作直线与圆O交于 A 、 B 两点。
（1）若坐标原点O到直线 AB 的距离为 1，求直线 AB 的方程； y
S
（2）如右图所示，作一条斜率为 1的直线交圆于R, S 两点，连接PS,PR ，
R
试问是否存在锐角 NPS, NPR ，使得 NPS NPR 为定值？若
O N x
存在，求出该定值，若不存在，说明理由。 P
高二数学学科 试题第 6 页（共 6 页）
{#{QQABCYQQoggAABBAAQgCQwUwCgAQkAGCCAoOREAAMAABgRFABAA=}#}2023 学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
一、选择题；本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1.B 2.C 3.A 4.D 5.C 6.D 7.A 8.C
二、选择题；本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分．
9.BD 10.ACD 11.BCD 12.CD
三、填空题；本题共 4小题，每小题 5分，共 20分
3
13. 14. 2 15.4 16. 3
2
四、解答题；本题共 6个小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.（1）直线 l2： y = 2x 3 4 分
x + 2y 4 = 0
（2）联立方程 ，得交点坐标为 (2,1)
y = 2x 3 2 分
设直线 l3 : 3x 2y +m = 0 ，直线 l3 过点 (2,1)
m = 4 2 分
直线 l3 ：3x 2y 4 = 0 2 分
18. 解：（Ⅰ）由正方体的性质可知，BC ⊥面 ABB1A1 ，则BC ⊥ AB1，又 AB1 ⊥ A1B ，BC A1B = B
AB1 ⊥面 A1BC ，则 AB1 ⊥ A1C
同理B1D1 ⊥ A1C ， B1D1 AB1 = B1
A1C ⊥平面 AB1D1 5 分
（Ⅱ）解法一：以 A为原点，AD、AB 、AA1 分别为 x、y 和 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
高二数学学科 试题 第 1 页（共 4 页）
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1
设正方体的棱长为 a，则 A(0 ，0， 0) ， A1(0，0， a) ， D1(a ，0， a) ， E(0 ， a， a) ，
2
1
AA1 = (0,0,a) ， AD1 = (a,0,a) ， AE = (0,a, a) ， 2 分
2
a(x + z) = 0 m AD = 0
设平面 AD1E 的法向量为m = (x, y, z) ，则
1
，即 1 ，
m AE = 0 a(y + z) = 0 2
令 z = 2 ，则 x = 2 ， y = 1， m = ( 2 ， 1， 2) ， 2 分
m AA 2a 2
设直线 AA1 与平面 AD1E 所成角为 ，则 sin =| cos m， AA
1 ， 2 分
1 |=| |= =
| m | | AA | a 3 31
2
故直线CC1 与平面 AD1E 所成角的正弦值为 ． 1 分
3
1
解法二：设正方体的棱长为 2a ，则 AD1 = 2 2a ， AE = 5a， ED1 = 3a ， S AA D = 2a 2a = 2a
2 ，
1 2
AD2 + AE2 ED2 8a2 + 5a2 9a2 10
由余弦定理知， cos EAD1 =
1 1 = = ，
2 AD1 AE 2 2 2a 5a 10
3 10
sin EAD ， 1 =
10
1
S EAD = AD1 AE sin EAD1 = 3a
2， 3 分
1 2
设点 A1到平面 EAD1的距离为 h，
VA1 EAD =V1 E AA ， 1D
1
h 3a2
1 4
= 2a 2a
2 ， h = a ， 1 分
3 3 3
高二数学学科 试题 第 1 页（共 4 页）
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4
a
h 2
设直线 AA 与平面 AD E 所成角为 ，则 sin = = 3 = ． 2 分 1 1
AA1 2a 3
2
故直线CC 与平面 AD1E 所成角的正弦值为 ． 1 分 1
3
y = 3x 5
19.（1） AB 的中垂线方程为 y = 3x 5，联立 ，知C(2,1) ，则 r = 5
y = x 1
圆C
2
的标准方程是 (x 2) + (y 1)2 = 5 6 分
2
（2）若直线 l 的斜率不存在，直线 l ： x =1，弦长2 5 1 = 4，成立 1 分
若直线 l 的斜率存在，设直线 l ： y +1= k(x 1)，圆心C 到直线 l 的距离为 1
k 2 3 3 7
得 =1， k = ，则直线 l ： y = x
k 2 +1 4 4 4 4 分
3 7
直线 l ： x =1或 y = x
4 4 1 分
x2 2
20. （1）a = 2,c =1 椭圆C 的方程为 + y =1
2 4 分
（2）设 A(x , y ), B(x , y ) ，直线 l ： y = x +m1 1 2 2
y = x +m
2 2
联立方程 x2 ，得3x + 4mx + 2m 2 = 02 2 分
+ y =1
2
l C =16m2 12(2m2 2) 0 m2直线 交椭圆 于 A, B 两点 ，得 3 1 分
2m24m 2
x1 + x2 = ， x1x2 =
3 3 1 分
2 4 3 m
2
弦长 AB = 1+ k x1 x2 =
3 1 分
m
又点O 到直线 l 的距离d =
2 1 分
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1 1 4 3 m2 m 2 4 2 2 2 3 9 2 S = AB d = = m +3m = (m )2 +
2 2 3 2 3 3 2 4 2 1 分
当m2
3 6 2
= ，即m = 时取得等号 Smax =
2 2 2 1 分
E
F
21. 解：（1）取CD中点 F ，连接 BF , EF
BD ⊥ BC BF = DF ，则 FDB = FBD
而 BD是 ADC 的平分线，则 FDB = ADB ，从而 FBD = ADB ，则BF AD ， 2 分
BF 不在平面PAD 内， AD 平面PAD ，则BF 平面 PAD
E, F 分别是PC,CD的中点，则EF PD ，
EF 不在平面PAD 内，PD 平面PAD ，则EF 平面 PAD ，又EF BF = F
平面 BEF 平面PAD BE 平面PAD 3 分
（2）由题知，BA ⊥ AD ，又面PAD ⊥面 ABCD，得 BA ⊥面PAD
则 PAD是二面角P AB D 的平面角， 2 分
即 PAD = 60
， PAD 是等边三角形，如图建系
P(0,0, 3), B(2 3, 1,0), D(0,1,0),C(4 3,5,0)
z
设平面PAB的一个法向量为n1 = (x, y, z) ，
y
n 1 AP = 0 2 3x = 0
则 ，得 ，令 z =1，则n1 = (0, 3,1)
n1 AB = 0
1 分
y + 3z = 0
同理平面PCD的一个法向量n1 = ( 1, 3,1) ， 1 分
x
设平面PAB与平面PCD的夹角为
n1 n2 5
则 cos = =
n 51 n2
2 分
5
平面 PAB与平面PCD的夹角的余弦值为
5 1 分
22.（1）若直线 AB 的斜率不存在，距离为 3，不符合 1 分
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3k 2
若直线 AB 的斜率存在，设直线 AB ： y = k(x 3)，由 =1，得 k =
k 2 +1 4 3 分
2 3 2 2 3 2
直线 AB 的方程为 y = x 或 y = x +
4 4 4 4 2 分
（2）设直线RS ： y = x +m， R(x1, y1)， S (x2 , y2 )
y y
记 k = 1 = tan NPR ， k = 21 2 = tan NPS
x1 + 4 x2 + 4 1 分
x2 + y2 =16
联立方程 ，得2x
2 2mx +m2 16 = 0 1 分
y = x +m
m2 16
x1 + x2 = m， x x ， 1 2 =
2
m2 16
y1 + y2 = (x1 + x2 ) + 2m = m， y1y2 = ( x1 +m)( x2 +m) =
2 1 分
y1 y+ 2
tan NPS + tan NPR x + 4 x + 4
tan( NPS + NPR) = = 1 2
1 tan NPS tan NPR y y
1 1 2
x1 + 4 x2 + 4
2x1x2 + (m 4)(x + x= 1 2
)+8m 4m+16
= =1
x1x2 + 4(x1 + x2 )+16 y1y2 4m+16 2 分
NPS , NPR 都是锐角 0 NPS + NPR
NPS + NPR = 为定值 1 分
4
高二数学学科 试题 第 1 页（共 4 页）
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