黑龙江省牡丹江市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

牡丹江市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数 学 试 卷
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．圆心为且过点的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如果双曲线上一点到它的右焦点的距离是，那么点到它的左焦点的距离是（ ）
A． B． C．或 D．不确定
4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
5.已知直线于圆交于两点，若，则=（ ）
A.± B.±1 C.±2 D±
6.已知双曲线的右焦点为为虚轴上的端点，是中点，为坐标原点，交双曲线右支于，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.2 C. D.
7．已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（ ）
A． B．3 C． D．2
8．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列说法正确的是(
A.已知直线与直线垂直， 则的值为0
B.已知直线与直线平行，则的值为
C.点到直线的距离的最大值是
D.已知,,直线上有一动点,当取得最小值时，点的坐标(, )
10.以下四个命题表述正确的是( )
A.若圆上有且仅有两个不同的点到直线的距离为1，则的取值范围
B.点为圆上的点，则的最大值为25
C.两圆与的公共弦所在的直线方程为
D.圆与圆恰有三条公切线
11.下列说法正确的是( )
A.抛物线的焦点为为抛物线上一点，则以线段为直径的圆与轴相切
B.抛物线=的准线方程是，则=
C.中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程为
D.双曲线,直线与双曲线交于两点，若的中点坐标是，则直线的斜率为2
12.已知椭圆的左右焦点分别为 长轴长为4，点 P在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是( )
A.离心率的取值范围为 B. 当离心率为时,的最大值为
C.存在点Q使得.=0 D. 的最小值为1
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.两平行直线与间的距离为______.
14.已知椭圆的一个焦点为,则______.
15.若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且经过点,则双曲线的标准方程是____.
16. 已知抛物线,圆,设为坐标原点，过圆心的直线与圆交于点,直线分别交抛物线于点(点不与点重合).记的面积为,的面积为 ,则的最大值为______.
四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题 10分，其它每题 12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
17.(1)已知两点求线段的垂直平分线的方程.
(2)求经过两条直线和的交点,且平行于直线的方程.
18. 分别根据下列条件求圆的标准方程：
(1)圆心在直线上,半径为2，且与直线相切；
(2)过三点.
19. 已知椭圆 C的方程,椭圆左、右焦点分别为,点P是椭圆上的一点，.
(1)求的面积；
(2)在椭圆上找一点，使它到直线的距离最短，并求出最短距离.
20.如图，地在地东偏北方向，相距处，地与东西走向的高铁线（近似看成直线）相距已知曲线形公路上任意一点到地的距离等于到高铁线的距离，现要在公路旁建造一个变电房（变电房与公路之间的距离忽略不计），分别向地、地送电．
(1)试建立适当的直角坐标系，求曲线形公路所在曲线的方程；
(2)问变电房应建在相对地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出最短长度．
21.已知双曲线C：一个焦点F到渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在点N，使得为定值？如果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由．
22.椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求面积的最大值；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.