福建省福州市马尾区2024届高三上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 福建省福州市马尾区2024届高三上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 648.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-13 13:40:51 | ||
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文档简介
福州市马尾区2024届高三上学期期中考试数学科试卷
（考试时长：120分钟 满分：150 ）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.设复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知全集为，集合，满足，则下列运算结果一定为的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ）
A.2 B. C.2或 D.或
4.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，.“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：.当，时，（ ）
A. B. C. D.
5.若的展开式中二项式系数和为，所有项系数和为，一次项系数为，则（ ）
A.4095 B.4097 C. D.
6.已知角的大小如图所示，则（ ）
A. B. C. D.4
7.已知，，且，则的最小值为（ ）
A.3 B. C.4 D.6
8.设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2022项之和为（ ）
A.4044 B.4045 C.4046 D.4047
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知直线：，其中，下列说法正确的是（ ）
A.当时，直线与直线垂直
B.若直线与直线平行，则
C.直线过定点
D.当时，直线在两坐标轴上的截距相等
10.已知函数，则（ ）
A.的最大值为3 B.的最小正周期为
C.的图像关于直线对称 D.在区间上单调递减
11.已知同底面的两个正三棱锥和均内接于球，且正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是（ ）.
A.平面
B.设三棱锥和的体积分别为和，则
C.平面截球所得的截面面积是球表面积的倍
D.二面角的正切值为
12.已知函数，则（ ）
A.函数的零点是
B.不等式的解集是
C.设，则在上不是单调函数
D.对任意的，都有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等比数列的公比为2，前项和为，且6，，成等差数列，则______.
14.若，则______.
15.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星（分割成6个不同区域）涂色，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的区域）的颜色不同，则不同的涂色方案共有______.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，线段与轴交于点，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在中，，，分别为角，，所对的边长，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
18.已知数列为等差数列，其前项和为，且，，数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19.为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图G4-1所示，已知，.
（1）若从该苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
（2）从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的重量情况如下：
为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
重量范围（单位：）
个数 2 4 2
20.在长方体中，，点是棱上一点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的的大小为，求的值.
21.已知椭圆：的离心率为，焦距为2.
（1）求籿圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆相交于，两点，且.
①求证：的面积为定值；
②椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由.
22.已知函数.
（1）设，是函数图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0；
（2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立.
答案
单选1-8DDCB CCAB
多选9.AC 10.BC 11.BCD 12.BD
填空13. 14. 15.96 16.
解答17.解：
（1）由正弦定理，得，
即.
所以.
从而，
因为，所以.
（2）因为，
由（1）知，，
解得，
所以.
所以，.
所以.
所以的面积为.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）数列为等差数列，其前项和为，且，
设数列的首项为，公差为，则
解得，，所以.
（2）数列.
当时，，所以.
当时，，所以
，
故
19.解：（1）已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，由正态分布的对称性可知，，所以从该苹果园中随机采摘1个苹果，该苹果的重量在内的概率为0.2.
（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
1 2 3
所以.
20.（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.
不妨设，
则，，，，，，，.
因为，所以，于是，.
所以.
故.
（2）因为平面，所以平面的法向量为.
又，.
设平面的法向量为，
则，
所以向量的一个解为.
因为二面角的大小为，
则，所以，
解得.
又因是棱上的一点，所以，故所求的值为.
21.解：
（1）设椭圆焦距为，故，
所以，则，
椭圆的方程为.
（2）①由消去，化简得：，
设，，则，
故，
因为，
所以，
所以，
所以为定值.
②若存在椭圆上的点，使得为平行四边形，则，
设，则，
又因为，
即，得，
又因为，矛盾，
故椭圆上不存在点，使得为平行四边形.
22.解：
（1）由题意，得.
所以函数在上单调递增.
设，，则有，即.
（2）当时，恒成立.
当时，令，
①当，即时，，
所以在上为单调增函数.
所以，符合题意.
②当，即时，令，
于是.
因为，所以，从而.
所以在上为单增函数.
所以，即，
亦即.
（i）当，即时，，
所以在上为单调增函数.
于是，符合；
（ii）当，即时，存在，使得
当时，有，
此时在上为单调减函数，
从而，不能使恒成立.
综上所述，实数的取值范围为.
（考试时长：120分钟 满分：150 ）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.
1.设复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知全集为，集合，满足，则下列运算结果一定为的是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知向量，不共线，且，，若与共线，则实数的值为（ ）
A.2 B. C.2或 D.或
4.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，.“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：.当，时，（ ）
A. B. C. D.
5.若的展开式中二项式系数和为，所有项系数和为，一次项系数为，则（ ）
A.4095 B.4097 C. D.
6.已知角的大小如图所示，则（ ）
A. B. C. D.4
7.已知，，且，则的最小值为（ ）
A.3 B. C.4 D.6
8.设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2022项之和为（ ）
A.4044 B.4045 C.4046 D.4047
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知直线：，其中，下列说法正确的是（ ）
A.当时，直线与直线垂直
B.若直线与直线平行，则
C.直线过定点
D.当时，直线在两坐标轴上的截距相等
10.已知函数，则（ ）
A.的最大值为3 B.的最小正周期为
C.的图像关于直线对称 D.在区间上单调递减
11.已知同底面的两个正三棱锥和均内接于球，且正三棱锥的侧面与底面所成角的大小为，则下列说法正确的是（ ）.
A.平面
B.设三棱锥和的体积分别为和，则
C.平面截球所得的截面面积是球表面积的倍
D.二面角的正切值为
12.已知函数，则（ ）
A.函数的零点是
B.不等式的解集是
C.设，则在上不是单调函数
D.对任意的，都有
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知等比数列的公比为2，前项和为，且6，，成等差数列，则______.
14.若，则______.
15.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星（分割成6个不同区域）涂色，要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的区域）的颜色不同，则不同的涂色方案共有______.
16.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，线段与轴交于点，若，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在中，，，分别为角，，所对的边长，且.
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
18.已知数列为等差数列，其前项和为，且，，数列.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
19.为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图G4-1所示，已知，.
（1）若从该苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在内的概率；
（2）从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的重量情况如下：
为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.
重量范围（单位：）
个数 2 4 2
20.在长方体中，，点是棱上一点，且.
（1）证明：；
（2）若二面角的的大小为，求的值.
21.已知椭圆：的离心率为，焦距为2.
（1）求籿圆的标准方程；
（2）若直线：与椭圆相交于，两点，且.
①求证：的面积为定值；
②椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由.
22.已知函数.
（1）设，是函数图像上相异的两点，证明：直线的斜率大于0；
（2）求实数的取值范围，使不等式在上恒成立.
答案
单选1-8DDCB CCAB
多选9.AC 10.BC 11.BCD 12.BD
填空13. 14. 15.96 16.
解答17.解：
（1）由正弦定理，得，
即.
所以.
从而，
因为，所以.
（2）因为，
由（1）知，，
解得，
所以.
所以，.
所以.
所以的面积为.
18.答案：（1）
（2）
解析：（1）数列为等差数列，其前项和为，且，
设数列的首项为，公差为，则
解得，，所以.
（2）数列.
当时，，所以.
当时，，所以
，
故
19.解：（1）已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，由正态分布的对称性可知，，所以从该苹果园中随机采摘1个苹果，该苹果的重量在内的概率为0.2.
（2）由题意可知，随机变量的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
1 2 3
所以.
20.（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.
不妨设，
则，，，，，，，.
因为，所以，于是，.
所以.
故.
（2）因为平面，所以平面的法向量为.
又，.
设平面的法向量为，
则，
所以向量的一个解为.
因为二面角的大小为，
则，所以，
解得.
又因是棱上的一点，所以，故所求的值为.
21.解：
（1）设椭圆焦距为，故，
所以，则，
椭圆的方程为.
（2）①由消去，化简得：，
设，，则，
故，
因为，
所以，
所以，
所以为定值.
②若存在椭圆上的点，使得为平行四边形，则，
设，则，
又因为，
即，得，
又因为，矛盾，
故椭圆上不存在点，使得为平行四边形.
22.解：
（1）由题意，得.
所以函数在上单调递增.
设，，则有，即.
（2）当时，恒成立.
当时，令，
①当，即时，，
所以在上为单调增函数.
所以，符合题意.
②当，即时，令，
于是.
因为，所以，从而.
所以在上为单增函数.
所以，即，
亦即.
（i）当，即时，，
所以在上为单调增函数.
于是，符合；
（ii）当，即时，存在，使得
当时，有，
此时在上为单调减函数，
从而，不能使恒成立.
综上所述，实数的取值范围为.
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