安徽省合肥市六校联盟2023-2024学年高三上学期期中联考数学试题（含答案）

合肥市六校联盟2023-2024学年高三上学期期中联考
数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上.
1.设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“”的（ ）条件
A.必要不充分 B.充分不必要
C.充要 D.既不充分也不必要
3.设则（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
4.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.将甲桶中的升水缓慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线.假设过后甲桶和乙桶的水量相等，若再等min甲桶中的水只有升，则的值为（ ）
A.5 B.6 C.8 D.10
7.定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确答案涂在答题卡上.
9.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.“”是“”的必要条件
D.若，则
10.函数在下列哪个区间内有零点（ ）
A. B. C. D.
11.已知，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小值为16 B.的最小值为9
C.的最大值为2 D.的最小值为
12.已知函数的定义域为为的导函数且，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.已知幂函数在上单调递减，则__________.
14.计算__________.
15.设函数，若，则__________.
16.已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
设函数的定义域为集合，函数的值域为集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
18.（本题满分12分）
已知二次函数满足，且.
（1）求的解析式；
（2）求的值域.
19.（本题满分12分）
设函数且为奇函数，且.
（1）求的值；
（2），使得不等式成立，求的取值范围.
20.（本题满分12分）
如图所示，一座小岛距离海岸线上的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：）表示他从小岛到城镇所用的时间，（单位：）表示小船停靠点距点的距离.
（1）将表示为的函数，并注明定义域；
（2）此人将船停在海岸线上何处时，所用时间最少？
21.（本题满分12分）
已知
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）设是函数的极值点，证明：.
22.（本题满分12分）
设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
合肥市六校联盟2023-2024学年高三上学期期中联考
数学参考答案
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上.
1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】A
5.【答案】D 6.【答案】D 7.【答案】A 8.【答案】D
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确答案涂在答题卡上.
9.【答案】BCD 10.【答案】AD 11.【答案】ABD 12.【答案】BD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13.【答案】2 14.【答案】50 15.【答案】1 16.【答案】
四 解答题：本题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
解：（1）由得，
函数在上递减，所以，
所以；
（2）由题意可知 ，
函数在上递减，所以，
则，解得.
18.（本题满分12分）
解：（1）令
则
所以，
故；
（2）
，
列表如下：
-1 1 2
+ 0 - 0 +
-1 单调递增 极大值 单调递减 极小值-1 单调递增 2
所以的值域为
19.（本题满分12分）
解：（1）是上的奇函数，，
经检验符合题意.
，即，解得（舍去），.
故.
（2），使得，即，
在上单调递增，，使得，
即，使得，所以，
又因，当且仅当时取“=”，
所以.
20.（本题满分12分）
解：（1）
（2），由解得
在上递增，列表如下：
- 0 +
单调递减 最小值 单调递增
所以此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.
备注：
第2问，还可以用“在上递增，”
21.（本题满分12分）
（1）解：当时，，
，切点为，
所以在处的切线方程为，即
（2）证明：的定义域为，
，令，
则，记此方程的实数根为，且
记，由，
则知.
当时，；当时，，
所以在上递减，在上递增，
则是函数唯一的极值点，
，其中，
所以，记
，所以在单调递减，，
故
22.（本题满分12分）
解：（1）.
①当时在上单调递增；
②当时时，；
时，，所以在上单调递减，
在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：在上恒成立，
记，，
①当时，即时，在上单调递增，
，
所以不符合题意；（用极限说明，不扣分）
②当时，即恒成立，所以符合题意；
③当时，即时，由①知，
故只要，
所以.
综上所述，
方法二：
在上恒成立，
①当时，；
②当时，，记，
时，时，，
所以在上递减，在上递增，
所以
③当时，，由②知，在上递减，，
且时，，所以
综上所述，.