6.1平面向量及其线性计算 同步练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 6.1平面向量及其线性计算 同步练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 790.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-13 15:17:10 | ||
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文档简介
6.1平面向量及其线性计算 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点是的重心，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是的重心，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图所示，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．32 D．16
6．已知命题 在△中，若， 则；命题向量与向量相等的充要条件是且.下列四个命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
7．边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，集合，其中，则（ ）
A．
B．
C．若，则为钝角
D．若，则
二、多选题
9．在正六边形中，（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
10．已知向量，下列结论正确的是（ ）
A．若与垂直，则为定值
B．若与互为相反向量，则m与n互为倒数
C．若与垂直，则为定值
D．若与互为相反向量，则m与n互为相反数
11．如图在中，AD BE CF分别是边BC CA AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点M是BC的中点
B．若，则点M是的重心
C．若，则点M，B，C三点共线
D．若，则
三、填空题
13．已知中，为边上一个动点，若，则的最小值为 ．
14．如图，在中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 ．
15．已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的 条件(从“充要充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”选一不填空)
16．如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，则 ；求的最小值为 .
四、解答题
17．如图，在中，M，N分别是OA，OB的中点．设，，试用，表示，，并比较与的长度和方向．
18．如图，点D是中BC边的中点，，.
(1)试用，表示；
(2)若点G是的重心，能否用，表示？
(3)若点G是的重心，求.
19．求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：
(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】由点是的重心，则，有，可得结果.
【详解】点是的重心，则有，所以，
所以.
故选：D．
2．B
【分析】利用三角形重心的性质与向量的线性运算即可得解.
【详解】连接并延长交于，如图，
因为是的重心，则是的中点，
所以
，
又，所以，，
所以.
故选：B.
3．B
【分析】由题设是的重心，应用向量加法、数乘几何意义可得，根据得，最后应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件.
【详解】因为，所以点是的重心，
所以.
因为，所以，
综上，.
因为，所以三点共线，则，即.
因为均为正数，所以，则，
所以（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为.
故选：B
4．A
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.
5．C
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可.
【详解】因为，所以，因为，所以，
因为三点共线，所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32.
故选：C
6．A
【分析】根据条件分别判断命题和命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.
【详解】命题：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题为真命题；
命题：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，则命题是假命题.
则为真命题.
故选：A
7．D
【分析】把已知向量等式变形可得取AB中点H，BC中点G，连接GH，则，即，取GH中点K，延长KG到O，使，则O 为所求点，然后求解三角形得答案．
【详解】如图，由，得，
即，取BC中点G，AB中点H，连接GH，
则，即，
取GH中点K，延长KG到O，使，则O为所求点，
此时，
所以，，
∵点P满足，M为边上的点，
∴当M与A重合时，有最大值，为，
而，
∴的最大值为，D正确.
故选：D.
8．D
【分析】根据题意，令，求得，得到，可判定A、B错误；由，得到为锐角，可判定C错误；求得，可判定D正确.
【详解】由向量，
可得，
令，可得，解得，
此时，所以，所以A、B错误；
又由，可得，所以为锐角，所以C错误；
由向量，可得，所以D正确.
故选：D.
9．CD
【分析】根据向量的线性运算即可求解AB，根据数量积的定义求解C，根据垂直关系，即可由投影向量的定义求解D.
【详解】,故A错误，
连接相交于，相交于，则，为，的中点,
由于,
所以,故B错误，
,故C正确，
由于故故，
所以在上的投影向量为，D正确，
故选：CD
10．AD
【分析】根据向量垂直的坐标关系可判断AC，利用相反向量的概念结合条件可判断BD.
【详解】若与垂直，则，则，A正确，C错误；
若与互为相反向量，则，则，，B错误，D正确．
故选：AD.
11．BC
【分析】由条件可知为的重心，由重心的性质逐一判定即可.
【详解】由条件可知为的重心，
对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误；
对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确；
对于D，故D错误；
对于C，，，
，故C正确.
故选：BC.
12．ACD
【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解．
【详解】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得，
若，可得M为BC的中点，所以A正确；
对于B中，若M为的重心，则满足，
即，所以B不正确；
对于C中，由，可得，即，
所以M，B，C三点共线，所以C正确；
对于D中，如图所示，由，
可得，所以D正确．
故选：ACD
13．12
【分析】利用平面向量共线定理的推论得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】由点在边上，得三点共线，又，因此，
，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值12.
故答案为：12
14．
【分析】改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到参数的方程，解之即可.
【详解】因为，即，
所以,
又
所以，解得.
故答案为：.
15．必要不充分
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合共线向量运算判断即可.
【详解】当时，满足，显然不存在正数，使得成立，
若存在，使得，则，
所以“”是“存在，使得”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
16．
【分析】利用重心的性质以及平面的线性运算可知，设,由三点共线可知，故可知，利用的妙用以及基本不等式求出的最小值.
【详解】由重心的性质可知
，，
设,
由已知得，,
两式相加得,
整理得,
所以，，则，
，
当且仅当，即时等号成立,
故答案为：.
【点睛】本题利用了三点共线的一个充要条件，若,不共线，则三点共线的一个充要条件为，且，R.
17．答案见解析
【分析】平面向量的加法运算和平面向量的数乘运算即可求解.
【详解】．
，
故与方向相同，且．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角形法则整理化简即可；
（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；
（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.
【详解】（1）因为点D是中BC边的中点，且，，
所以；
（2）因为点G是的重心，
所以
.
（3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以，
又，所以，所以.
19．证明见解析
【分析】根据向量的线性运算即可求证.
【详解】证明：由题知，，
因此．
所以AB，DC平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形．
20．(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答.
【详解】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.
（2）由于与长度相等且方向相同，所以.
（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.
答案第1页，共2页
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点是的重心，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是的重心，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图所示，在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（ ）
A．8 B．12 C．32 D．16
6．已知命题 在△中，若， 则；命题向量与向量相等的充要条件是且.下列四个命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
7．边长为8的等边所在平面内一点O，满足，若M为边上的点，点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量，集合，其中，则（ ）
A．
B．
C．若，则为钝角
D．若，则
二、多选题
9．在正六边形中，（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
10．已知向量，下列结论正确的是（ ）
A．若与垂直，则为定值
B．若与互为相反向量，则m与n互为倒数
C．若与垂直，则为定值
D．若与互为相反向量，则m与n互为相反数
11．如图在中，AD BE CF分别是边BC CA AB上的中线，且相交于点G，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点M是BC的中点
B．若，则点M是的重心
C．若，则点M，B，C三点共线
D．若，则
三、填空题
13．已知中，为边上一个动点，若，则的最小值为 ．
14．如图，在中，，P为CD上一点，且满足，则m的值为 ．
15．已知为单位向量，则“”是“存在，使得”的 条件(从“充要充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”选一不填空)
16．如图，点G为△ABC的重心，过点G的直线分别交直线AB，AC点D，E两点，，则 ；求的最小值为 .
四、解答题
17．如图，在中，M，N分别是OA，OB的中点．设，，试用，表示，，并比较与的长度和方向．
18．如图，点D是中BC边的中点，，.
(1)试用，表示；
(2)若点G是的重心，能否用，表示？
(3)若点G是的重心，求.
19．求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点为O，且O是AC，BD的中点．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
20．已知O为正六边形的中心，在图所标出的向量中：
(1)试找出与共线的向量；
(2)确定与相等的向量；
(3)与相等吗？
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】由点是的重心，则，有，可得结果.
【详解】点是的重心，则有，所以，
所以.
故选：D．
2．B
【分析】利用三角形重心的性质与向量的线性运算即可得解.
【详解】连接并延长交于，如图，
因为是的重心，则是的中点，
所以
，
又，所以，，
所以.
故选：B.
3．B
【分析】由题设是的重心，应用向量加法、数乘几何意义可得，根据得，最后应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件.
【详解】因为，所以点是的重心，
所以.
因为，所以，
综上，.
因为，所以三点共线，则，即.
因为均为正数，所以，则，
所以（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为.
故选：B
4．A
【分析】根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.
【详解】根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.
5．C
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可.
【详解】因为，所以，因为，所以，
因为三点共线，所以，，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32.
故选：C
6．A
【分析】根据条件分别判断命题和命题的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可.
【详解】命题：在中，若，由于余弦函数在上单调递减，则，故命题为真命题；
命题：向量与向量相等的充要条件是向量与向量大小相等，方向相同，则命题是假命题.
则为真命题.
故选：A
7．D
【分析】把已知向量等式变形可得取AB中点H，BC中点G，连接GH，则，即，取GH中点K，延长KG到O，使，则O 为所求点，然后求解三角形得答案．
【详解】如图，由，得，
即，取BC中点G，AB中点H，连接GH，
则，即，
取GH中点K，延长KG到O，使，则O为所求点，
此时，
所以，，
∵点P满足，M为边上的点，
∴当M与A重合时，有最大值，为，
而，
∴的最大值为，D正确.
故选：D.
8．D
【分析】根据题意，令，求得，得到，可判定A、B错误；由，得到为锐角，可判定C错误；求得，可判定D正确.
【详解】由向量，
可得，
令，可得，解得，
此时，所以，所以A、B错误；
又由，可得，所以为锐角，所以C错误；
由向量，可得，所以D正确.
故选：D.
9．CD
【分析】根据向量的线性运算即可求解AB，根据数量积的定义求解C，根据垂直关系，即可由投影向量的定义求解D.
【详解】,故A错误，
连接相交于，相交于，则，为，的中点,
由于,
所以,故B错误，
,故C正确，
由于故故，
所以在上的投影向量为，D正确，
故选：CD
10．AD
【分析】根据向量垂直的坐标关系可判断AC，利用相反向量的概念结合条件可判断BD.
【详解】若与垂直，则，则，A正确，C错误；
若与互为相反向量，则，则，，B错误，D正确．
故选：AD.
11．BC
【分析】由条件可知为的重心，由重心的性质逐一判定即可.
【详解】由条件可知为的重心，
对于A，由重心的性质可得，所以，故A错误；
对于B，由重心的性质可得，所以，故B正确；
对于D，故D错误；
对于C，，，
，故C正确.
故选：BC.
12．ACD
【分析】根据平面向量的线性运算法则，以及重心的性质，逐项判定，即可求解．
【详解】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得，
若，可得M为BC的中点，所以A正确；
对于B中，若M为的重心，则满足，
即，所以B不正确；
对于C中，由，可得，即，
所以M，B，C三点共线，所以C正确；
对于D中，如图所示，由，
可得，所以D正确．
故选：ACD
13．12
【分析】利用平面向量共线定理的推论得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】由点在边上，得三点共线，又，因此，
，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值12.
故答案为：12
14．
【分析】改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到参数的方程，解之即可.
【详解】因为，即，
所以,
又
所以，解得.
故答案为：.
15．必要不充分
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合共线向量运算判断即可.
【详解】当时，满足，显然不存在正数，使得成立，
若存在，使得，则，
所以“”是“存在，使得”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
16．
【分析】利用重心的性质以及平面的线性运算可知，设,由三点共线可知，故可知，利用的妙用以及基本不等式求出的最小值.
【详解】由重心的性质可知
，，
设,
由已知得，,
两式相加得,
整理得,
所以，，则，
，
当且仅当，即时等号成立,
故答案为：.
【点睛】本题利用了三点共线的一个充要条件，若,不共线，则三点共线的一个充要条件为，且，R.
17．答案见解析
【分析】平面向量的加法运算和平面向量的数乘运算即可求解.
【详解】．
，
故与方向相同，且．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用三角形法则整理化简即可；
（2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可；
（3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可.
【详解】（1）因为点D是中BC边的中点，且，，
所以；
（2）因为点G是的重心，
所以
.
（3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以，
又，所以，所以.
19．证明见解析
【分析】根据向量的线性运算即可求证.
【详解】证明：由题知，，
因此．
所以AB，DC平行且相等，因此四边形ABCD是平行四边形．
20．(1)和；
(2)；
(3)不相等.
【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，利用正六边形的性质，结合共线向量、相等向量的意义判断作答.
【详解】（1）由O为正六边形的中心，得与共线的向量有和.
（2）由于与长度相等且方向相同，所以.
（3）显然，且，但与的方向相反，所以这两个向量不相等.
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