2024版新教材高中数学同步练习9 全称量词命题与存在量词命题的否定 新人教A版必修第一册（含解析）

同步练习9　全称量词命题与存在量词命题的否定
必备知识基础练
一、选择题(每小题5分，共45分)
1．命题“所有的质数都是奇数”的否定是(　　)
A．所有的质数都不是奇数
B．所有的质数都是偶数
C．存在一个质数不是奇数
D．存在一个奇数不是质数
2．[2023·浙江杭州高一期中]命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是无理数
3．[2023·山西大同高一期中]命题“ x∈R，x<3”的否定是(　　)
A． x∈R，x≥3 B． x∈R，x<3
C． x R，x<3 D． x∈R，x≥3
4．[2023·黑龙江哈尔滨高一期末]命题“ x∈R，x－1>2”的否定是(　　)
A． x∈R，x－1<2 B． x∈R，x－1≤2
C． x∈R，x－1<2 D． x∈R，x－1≤2
5．[2023·湖南岳阳高一期末]命题“ m∈N，∈N”的否定是(　　)
A． m N, N
B． m∈N, N
C． m N, N
D． m∈N, N
6．[2023·湖北襄阳高一期末]命题“ x>0，x2－x≤1”的否定是(　　)
A． x≤0，x2－x≤1
B． x>0，x2－x>1
C． x≤0，x2－x≤1
D． x>0，x2－x>1
7．[2023·河北保定一中高一期末]命题：“ x>0，＋≥1”的否定是(　　)
A． x≤0，＋≥1
B． x>0，＋<1
C． x>0，＋<1
D． x≤0，＋≥1
8．[2023·辽宁葫芦岛高一期中](多选)已知命题p： x∈R，x2－4x＋5>0，则(　　)
A．p为全称量词命题
B．p为存在量词命题
C．p为真命题
D．p的否定是“ x∈R，x2－4x＋5≤0”
9．[2023·河北沧州高一期末](多选)若“ x∈M，x<0”为真命题，“ x∈M，x≥3”为假命题，则集合M可以是(　　)
A．{x|x＜1} B．{x|－1≤x≤3}
C．{x|0≤x＜2} D．{x|－3＜x＜3}
二、填空题(每小题5分，共15分)
10．[2023·甘肃临夏高一期中]命题“ x>0，x＋2>1”的否定是________________．
11．已知命题p： x>0，使得2x3＋3x2＋5<0，则 p为________________．
12．[2023·山东潍坊高一期末]命题：“ a∈R，x2＋ax－2＝0有实根”的否定为________命题(填“真”或“假”).
三、解答题(共20分)
13．(10分)写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；
(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；
(3)对任意实数x1，x2，若x1(4) x>1，x2－2x－3＝0.
14．(10分)[2023·北京大兴高一期末]已知命题p： x∈R，x2＋2x＋1>0.
(1)写出命题p的否定；
(2)判断命题p的真假，并说明理由．
关键能力提升练
15．(5分)[2023·辽宁高一期中]命题“ a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立”的否定为(　　)
A． a，b>0，a＋<2和b＋<2至少有一个成立
B． a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立
C． a，b>0，a＋>2和b＋>2都不成立
D． a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立
[答题区]
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15
答案
16.(5分)[2023·北京丰台高一期末]能说明“ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a<0”是假命题的一个实数a的取值是________．
17．(10分)已知命题p： x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命题q： x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题，命题q的否定为假命题，求实数m的取值范围．
同步练习9　全称量词命题与存在量词命题的否定
必备知识基础练
1．答案：C
解析：命题“所有的质数都是奇数”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“所有的质数都是奇数”的否定是“存在一个质数不是奇数”．故选C.
2．答案：B
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，注意到要否定结论，
所以命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．故选B.
3．答案：A
解析：命题“ x∈R，x<3”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“ x∈R，x<3”的否定是“ x∈R，x≥3”．故选A.
4．答案：D
解析：由题意得“ x∈R，x－1>2”的否定是“ x∈R，x－1≤2”．故选D.
5．答案：D
解析：命题“ m∈N，∈N”为存在量词命题，
其否定为 m∈N， N.故选D.
6．答案：D
解析：“ x>0，x2－x≤1”的否定是“ x>0，x2－x>1”．
故选D.
7．答案：C
解析：存在量词命题的否定是全称量词命题，所以“ x>0，＋≥1”的否定是“ x>0，＋<1”．故选C.
8．答案：ACD
解析：选项A，命题p含有全称量词“ ”，所以p为全称量词命题，故A正确，B错误；
选项C， x∈R，x2－4x＋5＝(x－2)2＋1>0恒成立，p为真命题，故C正确；
选项D，命题p的否定是存在量词命题，“ x∈R，x2－4x＋5≤0”，故D正确．故选ACD.
9．答案：AD
解析：由题意 x∈M，x<0为真命题， x∈M，x<3为真命题，则应满足选项为集合{x|x<3}的子集，且满足 x∈M，x<0，AD选项均满足，B选项当x＝3时不符合 x∈M，x<3，故错误，C选项不存在x∈M，x<0，故错误．故选AD.
10．答案： x>0，x＋2≤1
解析：命题“ x>0，x＋2>1”的否定是“ x>0，x＋2≤1”．
11．答案： x>0，2x3＋3x2＋5≥0
解析：命题p： x>0，使得2x3＋3x2＋5<0，
则 p为 x>0，2x3＋3x2＋5≥0.
12．答案：假
解析：对于x2＋ax－2＝0，其判别式Δ＝a2＋8>0恒成立，
故x2＋ax－2＝0有两个不等实数根，故命题：“ a∈R，x2＋ax－2＝0有实根”为真命题，
故“ a∈R，x2＋ax－2＝0有实根”的否定为假命题．
13．解析：(1)命题的否定：有些关于x的方程ax＝b没有实数根，为真命题，例如a＝0，b＝1，则0×x＝1无实数解．
(2)命题的否定：任意正整数都有1和它本身以外的约数，为假命题，例如1的约数只有1.
(3)命题的否定：存在实数x1，x2，若x1(4)命题的否定： x>1，x2－2x－3≠0，为假命题，当x＝3>1，则x2－2x－3＝32－2×3－3＝0.
14．解析：(1)由命题p： x∈R，x2＋2x＋1>0，
可得命题p的否定为 x∈R，x2＋2x＋1≤0.
(2)命题p为假命题，
因为y＝x2＋2x＋1＝2≥0(当且仅当x＝－1时取等号)，
故命题p： x∈R，x2＋2x＋1>0为假命题．
关键能力提升练
15．答案：D
解析：由存在量词命题的否定形式，“ a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立”的否定为 a，b>0，a＋≥2和b＋≥2至少有一个成立．故选D.
16．答案：4(a≤4中的任一值均可)
解析：因为命题： x∈{x|1≤x≤2}，x2－a<0为假命题，
所以命题： x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≥0为真命题，
也即 x∈{x|1≤x≤2}，x2≥a成立，所以a≤4.
17．解析：因为 q为假命题，所以q为真命题，
命题p： x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x, 为真命题，则m≥xmax，即m≥3，
命题q： x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，为真命题，则m≥xmin，即m≥1，
因为命题p，q同时为真命题，所以，解得m≥3,
故实数m的取值范围是m≥3.