新人教A版必修第一册高中数学第二章一元二次函数、方程和不等式 单元素养测评卷（含解析）

单元素养测评卷(二)　一元二次函数、方程和不等式
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2≤x<3}，则A∪B＝(　　)
A．{x|03} C．{x|0≤x≤3} D．{x|2≤x≤3}
2．已知a，b∈R，设m＝4a－b2，n＝a2－2b＋5，则(　　)
A．m≥n B．m>n C．m≤n D．m3．设a，b是非零实数，若a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A．a2>b2 B．ab2>a2b C．> D．>
4．已知x>0，y>0，且满足x＋6y＝6，则xy有(　　)
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
5．甲、乙分别解关于x的不等式x2＋bx＋c<0.甲抄错了常数b，得到解集为{x|－6A．{x|－1C．{x|－26．已知a>0，b>0，3a＋＝1，则＋3b的最小值为(　　)
A．13 B．19 C．21 D．27
7．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的．爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”．这位同学若有所思，如果爸爸、妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸、妈妈谁更合算呢？(　　)
A．妈妈 B．爸爸
C．一样 D．不确定
8．已知x>0，y>0且＋＝1，若2x＋yA．{m|m<－1或m>9} B．{m|m≤－1或m≥9}
C．{m|－9二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若a，b，c∈R，a>b>0，c>d>0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．< B．a－c>b－d
C．> D．ac>bd
10．下列说法中正确的是(　　)
A．不等式a＋b≥2恒成立 B．若a，b∈R＋，则＋≥2
C．若a，b∈R＋，满足a＋2b＝1，则＋≥8 D．存在a∈R，使得a＋≤2成立
11．下列函数的最小值为4的有(　　)
A．y＝x2＋ B．y＝＋x＋1(x>1)
C．y＝ D．y＝x＋－2
12．不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤x≤2}，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋b＝0 B．a＋b＋c>0
C．bc>0 D．b<0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．不等式x2≥6－5x的解集是________.
14．已知0<α<，<β<π，则α－β的取值范围是________.
15．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式＋4>m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________.
16．已知关于x的不等式ax2＋4ax－3<0，若不等式的解集为{x|x<－3或x>－1}，则a的值为________，若此不等式在R上恒成立，则a的取值范围为________．
四、解答题：本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)解下列不等式：
(1)x(x＋2)>x(3－x)＋1；
(2)>1.
18．(12分)已知a，b都是正数．
(1)若＋＝1，证明：b＋a≥4ab；
(2)当a≠b时，证明：a＋b>b＋a.
19．(12分)已知函数f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3.
(1)若不等式f(x)>0的解集为{x|－1(2)若b＝－a，求不等式f(x)≤1的解集．
20．(12分)已知x>0，y>0，x＋9y－xy＝m.
(1)若m＝0，求x＋y的最小值；
(2)若m＝－16，求xy的最小值．
21．(12分)某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备．这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)＝(x>0).将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位：万元).
(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；
(2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？
22．(12分)已知函数f(x)＝(a2－4)x2＋4bx－b2(a∈R，b∈R).
(1)问题：若关于x的方程f(x)＝(a2－3)x2＋(a－3＋4b)x＋a－b2________，求实数a的取值范围；
从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．
①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根．
(若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．)
(2)当0单元素养测评卷(二)　一元二次函数、方程和不等式
1．答案：A
解析：A＝{x|x2－2x<0}＝{x|02．答案：C
解析：因为m＝4a－b2，n＝a2－2b＋5，
所以n－m＝a2－2b＋5－(4a－b2)＝a2－2b＋5－4a＋b2＝(a－2)2＋(b－1)2≥0，
当且仅当a＝2且b＝1时等号成立，所以n≥m.故选C.
3．答案：C
解析：当a＝1，b＝－2时，不等式a2>b2不成立，故A错误；当a＝2，b＝1时，不等式ab2>a2b不成立，故B错误；a>b > >，故C正确；当a＝2，b＝1时，不等式>不成立，故D错误．故选C.
4．答案：A
解析：xy＝≤()2＝×9＝，当且仅当，即时等号成立．故选A.
5．答案：A
解析：由韦达定理得，即，故不等式为x2－5x－6<0，解集为{x|－16．答案：D
解析：＋3b＝(＋3b)(3a＋)＝3＋12＋＋9ab≥15＋2＝27，当且仅当＝9ab，即a＝，b＝6时，等号成立，故＋3b的最小值为27.故选D.
7．答案：B
解析：由题意，设第一次加油单价为x元，第二次为y元，油箱加满为a升，则妈妈两次加油共需付款a(x＋y)元，爸爸两次能加＋＝升油，
设爸爸两次加油的平均单价为M元/升，妈妈两次加油的平均单价为N元/升，
则M＝＝，N＝＝，且x≠y，x，y>0，
所以N－M＝－＝>0，即N>M，
所以爸爸的加油方式更合算．故选B.
8．答案：A
解析：因为x>0，y>0，且＋＝1，
2x＋y＝(2x＋y)(＋)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当＝且＋＝1，即x＝y＝3时取等号，此时2x＋y取得最小值9，
若2x＋y9或m<－1，
即实数m的取值范围为{m|m<－1或m>9}．故选A.
9．答案：AD
解析：对于A，a>b>0，则<，故A正确；对于B，若a＝4，b＝3，c＝2，d＝1，则a－c＝b－d，故B错误；对于C，若a＝4，b＝3，c＝2，d＝1，则＝2，＝3，故C错误；对于D，由a>b>0，c>d>0，故ac>bd，故D正确．故选AD.
10．答案：BCD
解析：A选项：当a<0，b<0时，a＋b<0，2>0，所以a＋b≥2不成立，故A选项错误；
B选项：a，b∈R＋，由基本不等式得＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故B选项正确；
C选项：a，b∈R＋，由a＋2b＝1，得＋＝(＋)(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2b时等号成立，故C选项正确；
D选项：当a<0时，a＋<0，所以存在a∈R，使得a＋≤2成立，D选项正确．故选BCD.
11．答案：AB
解析：对于A，y＝x2＋≥2＝4，
当且仅当x＝±时等号成立，
ymin＝4，故A正确；
对于B，y＝＋x－1＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－1＝1即x＝2时等号成立，
故B正确；
对于C，y＝＝＝＋≥4，
因为x2＋6＝4无解，故等号不成立，故ymin不是4，
故C错误；
对于D，y＝x＋－2，取x＝－1，则y＝－12<4，
故D不正确．故选AB.
12．答案：ABC
解析：因为不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤x≤2}，
所以有 ，所以选项AC正确，D错误，
a＋b＋c＝a－a－2a＝－2a>0，故B正确．故选ABC.
13．答案：{x|x≤－6或x≥1}
解析：因为x2≥6－5x，所以x2＋5x－6≥0，
故(x＋6)(x－1)≥0，
解得x≤－6或x≥1，
所以x2≥6－5x的解集是{x|x≤－6或x≥1}．
14．答案：－π<α－β<0
解析：∵0<α<，<β<π，
∴－π<－β<－，
∴－π<α－β<0，
即α－β的取值范围是－π<α－β<0.
15．答案：－2解析：由于x>0，y>0，所以(＋4)(＋)＝8＋＋≥8＋2＝16，当且仅当＝ x＝64，y＝4取等号，故m2－6m<16，解得－216．答案：－1　－解析：因为不等式ax2＋4ax－3<0的解集为{x|x<－3或x>－1}，
所以－3和－1是方程ax2＋4ax－3＝0的两个根，且a<0，
所以，解得a＝－1；
因为不等式ax2＋4ax－3<0在R上恒成立，
所以当a＝0时，－3<0符合题意，
当a≠0时，则，解得－综上，a的取值范围为.
17．解析：(1)由x(x＋2)>x(3－x)＋1有2x2－x－1>0，
方程2x2－x－1＝0的两根分别为x1＝－，x2＝1，
故原不等式的解集为.
(2)依题意：－1>0，>0，<0，(x－3)(2x－1)<0，解集为{x|18．证明：(1)由于a，b都是正数，＝＝＋＝(＋)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4,
当且仅当a＝b＝时等号成立．所以b＋a≥4ab.
(2)a＋b－(b＋a)＝(a－b)－(a－b)
＝(－)(a－b)＝(－)2(＋).
因为a≠b，a>0，b>0，所以(－)2>0，＋>0，所以a＋b>b＋a成立．
19．解析：(1)因为不等式f(x)>0的解集为{x|－1所以－1和3是方程ax2＋(b－2)x＋3＝0的两个根，且a<0，
可得，解得a＝－1，b＝4.
(2)当b＝－a时，不等式f(x)≤1即ax2－(a＋2)x＋2≤0，即(ax－2)(x－1)≤0，
①当a＝0时，－2x＋2≤0，解得x≥1；
②当a<0时，不等式可化为(x－1)(x－)≥0，解得x≤或x≥1；
③当a>0时，不等式化为(x－1)(x－)≤0，
若0若a＝2，则x＝1；
若a>2，则≤x≤1，
综上所述，当a＝0时，解集为{x|x≥1}；当a<0时，解集为；当02时，解集为.
20．解析：(1)若m＝0，则x＋9y－xy＝0，即＋＝1，
则x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当＝，即x＝12，y＝4时等号成立，
故x＋y的最小值为16.
(2)若m＝－16，则x＋9y－xy＝－16，即x＋9y＝xy－16，
∵x＋9y＝xy－16>0，则xy>16，
又∵x(9y)≤，当且仅当x＝9y时等号成立，即9xy≤，
整理得(xy)2－68(xy)＋256≥0，解得xy≥64或xy≤4(舍去)，
故xy的最小值为64.
21．解析：(1)由题意得y＝0.2x＋(x>0).
要满足题意，则y≤7.2，
即0.2x＋≤7.2，解得11≤x≤20.
即设备占地面积x的取值范围为11≤x≤20.
(2)y＝0.2x＋＝＋－1≥2－1＝2－1＝7，
当且仅当＝ x＝15时等号成立．
所以设备占地面积为15m2时，y的值最小．
22．解析：(1)方程f(x)＝(a2－3)x2＋(a－3＋4b)x＋a－b2等价于x2＋(a－3)x＋a＝0.
若选①，原问题等价于，解得0所以实数a的取值范围为0若选②，原问题等价于，解得a>9.
所以实数a的取值范围为a>9.
若选③，原问题等价于，解得a<0.
所以实数a的取值范围为a<0.
(2)f(x)≤0等价于[(a＋2)x－b][(a－2)x＋b]≤0.
因为解集中整数解恰有2023个，则a>2.
因为0则2023个整数解为0，－1，…，－2022.
即－2023<≤－2022.
即2022(a－2)≤b<2023(a－2).
又0又a>2，所以2所以实数a的取值范围是2