6.2向量基本定理与向量的坐标 同步练习 （含解析）

6.2向量基本定理与向量的坐标同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在下列条件中，点与点，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知平行四边形中，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知向量，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，正方形中，是线段上的动点，且，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．4
5．如图所示，向量，，，在一条直线上，且，则（ ）

A． B． C． D．
6．在平行四边形ABCD中，，F为CD的中点，G为EF的中点，若，，，则和的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．平行四边形中，，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知是所在平面内一点，若均为正数，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、多选题
9．如图所示，给出下列四个结论：
①；②；③；④
其中正确结论的序号是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
10．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．当时，向量在向量方向上的投影向量为
D．若或，则与夹角为钝角
11．已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．“”是“与的夹角为钝角”的充要条件
D．若，则在上的投影向量的坐标为
12．已知四面体，则下列说法正确的是（ ）
A．若为的中点，为的中点，则
B．若四面体是棱长为1的正四面体，则
C．若，，，则向量在上的投影是
D．已知，，，则向量，，不可能共面
三、填空题
13．已知点，若向量与的方向相反，则 ．
14．在中，点是边上的一点，，点满足，若，则 ．
15．已知，，且，则非零向量的坐标为 ．
16．在平行四边形中，如图，，依次是对角线上的两个三等分点，设试用与表示和，则= ，= ．

四、解答题
17．知中，，为边上的中点，且相交于点P．

(1)求；
(2)求的余弦值．
18．如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．

19．如图，已知点O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为，点B的坐标为，作，垂足为点D．

(1)求，，；
(2)求；
(3)将绕点逆时针旋转到，求点的坐标；
(4)求；
(5)求．
20．已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若.
(1)求的值；
(2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值.
21．如图，平行四边形的对角线AC和BD交于点M，E在BC上，且，直线DE与AB的延长线交于点F，记，．

(1)试用，表示、；
(2)试用，表示．
六、问答题
22．在平行四边形中，，，，分别为，的中点，点在线段上运动．
(1)当为中点时，设，求的值；
(2)若，求的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】根据共面可得出，据此可排除ABD，只有C满足.
【详解】若点与点，，共面，则共面，
从而存在实数使得，
即，
，
，
而AD选项都不满足，故AD错误；
对B，由，可得，
因为，所以B错误；
对C，可得，
化简可得，满足，
故选：C
2．D
【分析】利用给定的平行四边形，结合向量的线性运算及平面向量基本定理计算即得.
【详解】在中，，即是的中点，则，
又，即，
因此，
而，不共线，
所以，.
故选：D
3．C
【分析】由已知先求出，然后利用求解即可.
【详解】因为，
所以，
则，
故选：C.
4．C
【分析】根据给定图形，用表示向量，再利用共线向量定理的推论，结合“1”的妙用求解即得.
【详解】正方形中，，则，
而，则，
又点共线，于是，即，而，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：C
5．B
【分析】根据向量的线性运算求解.
【详解】由题意可得：，
即.
故选：B.
6．D
【分析】方法一，由最后计算出，；
方法二：由计算出，.
【详解】方法一：因为F为CD的中点，G为EF的中点，
所以，，
又，
故
.
故，；
方法二：因为F为CD的中点，G为EF的中点，，
，
故，.
故选：D.
7．C
【分析】根据向量加法的平行四边形法则知，代入坐标即可求得.
【详解】根据向量加法的平行四边形法则
故选：C
8．B
【分析】先根据分析出点位置为重心，再根据三点共线性质等到关于的等式，最后由均值不等式得到的最小值.
【详解】因为，所以点是的重心，
所以.
因为，所以，
所以.
又因为，所以三点共线，所以，即.
因为均为正数，所以，即，
所以（当且仅当，即时取等号），
所以的最小值为，
故选：B
9．ACD
【分析】根据向量的坐标运算求解即可.
【详解】设每个小方格长度为1，则可得，.
①，设，则，解得，故，①正确；
②，设，则，解得，故，②错误；
③，设，则，解得，故，③正确；
④，设，则，解得，故，④正确；
故选：ACD
10．AC
【分析】根据向量的坐标运算逐个判断即可.
【详解】对于A：若，则，
解得或，A正确；
对于B：，若，则，
即，解得，所以B错误；
对于C：当时，，
所以向量在向量方向上的投影向量为，C正确；
对于D：当时，，，
此时与的方向相反，此时与夹角为，D错误，
故选：AC
11．ABD
【分析】A项，利用向量的模的坐标运算；B项，利用向量共线的坐标条件求解；C项，由共线反向特例可知；D项，结合数量积与单位向量表示投影向量即可.
【详解】选项A，若，则，又，
则，
则，
故，A项正确；
选项B，，
若，则，解得，B项正确；
选项C，，
若，则，其中当时，与共线且反向，
此时与的夹角为钝角，故与的夹角为钝角，
即“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，C项错误；
选项D，若，则，又，
则，
则在上的投影向量的坐标，
故D正确.
故选：ABD.
12．ABC
【分析】A 中根据向量加法的三角形法则、平行四边形法则以及向量减法的三角形法则即可得到结果；B中先化简，再利用公式求解即可；C中先求出，，向量在上的投影为即可求解；D中根据向量共面定理，若向量，，共面，则解题即可.
【详解】A 中，，所以A正确；
B中，
，所以B正确；
C中，，，向量在上的投影为,所以C正确；
D中，假设向量，，共面，则，所以
所以，解得，所以当时向量，，共面，所以D错误.
故选：ABC
13．
【分析】利用向量共线的条件、向量的模运算即可得解.
【详解】解：由题意，点，则，
∵向量与的方向相反，即与共线，
∴，解得：或，
当时，，，与的方向相同，故舍去；
当时，，，与的方向相反，所以，
∴，，
∴.
故答案为：.
14．/
【分析】根据向量的线性运算可用表示，结合平面向量基本定理求出的值后可得答案.
【详解】因为点是边上的一点，，所以，
所以．
又，所以，所以．
故答案为：.

15．
【分析】利用共线向量的定义以及向量的线性运算性质，模的定义求解.
【详解】∵，且为非零向量，∴存在实数使得成立，
又∵，∴，∴，
∴，解得或0（舍去），则非零向量的坐标为，
故答案为：.
16．
【分析】利用平面向量的基本定理求解.
【详解】，
．
故答案为: ;.
17．(1)
(2)
【分析】（1）用表示，求其模长；
（2）用表示，用向量夹角公式求的余弦值．
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
即.
（2），
所以，
所以
所以
，
所以
故的余弦值为.
18．，，，
【分析】由平面向量加法的平行四边形法则与坐标表示分别表示每个向量．
【详解】由平面向量加法的平行四边形法则得，
，，，．
19．(1)，，
(2)
(3)的坐标为
(4)
(5)
【分析】（1）根据题意，求得，，所以，结合向量模的坐标运算，即可求解；
（2）结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）记，与轴正方向的夹角为，得到，结合点的坐标，即可求解；
（4）根据题意，结合投影的计算公式，即可求解；
（5）结合三角形的面积公式，向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，可得，，
所以，
可得，，．
（2）解：因为，
所以．
（3）解：记，与轴正方向的夹角为，则，
，
由于点的坐标为，那么，．
因此，即点的坐标为．
（4）解：将向量投影到上，得到投影向量，则，
而就是在方向上的投影的绝对值，
则．
（5）解：因为，
法1：．
法2：

20．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意画出图象，再利用平面向量基本定理列出方程组即可求解.
（2）利用已知条件和的共线得出关系，再利用基本不等式求的最小值.
【详解】（1）由题意画出图像，
因为，
所以且，
注意到共线且共线，所以
解得.
（2）由（1）和图象可知，结合.
于是，所以.
所以，
当且仅当，即，时等号成立.
于是的最小值为.
21．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则求出，再利用向量减法法则求出作答.
（2）利用平行线的性质探求出，再利用向量减法法则求解作答.
【详解】（1）平行四边形的对角线AC和BD交于点M，
，
.
（2）点E在BC上，且，，则，
于是，即，，
所以.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用平面向量基本定理直接计算得解；
（2）利用转化法可得向量数量积，进而可得取值范围.
【详解】（1）
当为中点时，
，
所以，，
所以；
（2）因为点在线段上运动
设，，
则，
，
，
又，
所以.
答案第1页，共2页
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