新人教A版必修第一册高中数学第三章 函数的概念与性质 单元素养测评卷(含解析)

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名称 新人教A版必修第一册高中数学第三章 函数的概念与性质 单元素养测评卷(含解析)
格式 doc
文件大小 199.9KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-11-13 16:23:06

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单元素养测评卷(三) 函数的概念与性质
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知幂函数f(x)图象过点P(,2),则f(5)等于(  )
A.10 B.16 C.25 D.32
2.向高为H的水瓶内注水,一直到注满为止,如果注水量V与水深h的函数图象如图所示,那么水瓶的形状大致是(  )
3.下列函数中,在(0,+∞)上不是严格增函数的是(  )
A.f(x)=x2-1 B.f(x)=
C.f(x)=- D.f(x)=x2+2x-1
4.与y=表示同一个函数的是(  )
A.y= B.y=()2C.y= D.y=
5.已知函数f(x)=ax2-bx-3a-b是偶函数,且其定义域为[2a,1-a],则(  )
A.a=,b=0 B.a=-1,b=0
C.a=1,b=1 D.a=-,b=-1
6.若函数f(x)=-x2+2ax与函数g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是(  )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1) D.(0,1]
7.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min的最大值是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知函数y=f(x+1)为偶函数,当x>1时,f(x)=x-2,则xf(x)<0的解集为(  )
A.(-1,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2)
C.(-1,2) D.(-∞,0)∪(0,2)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=,则关于函数f(x)的结论正确的是(  )
A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.f(1)=3 D.若f(x)=1,则x的值为±1
10.下列函数与y=x2-2x+3的值域相同的是(  )
A.y=4x(x≥) B.y=+2C.y= D.y=2x-
11.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(-6)=0,则(  )
A.f(x)在(-∞,0)上单调递减
B.f(8)<0
C.不等式f(x)>0的解集为(-∞,-6)∪(0,6)
D.f(x)的图象与x轴只有2个交点
12.一般地,若函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[ka,kb],则称[a,b]为f(x)的“k倍跟随区间”;特别地,若函数f(x)的定义域为[a,b],值域也为[a,b],则称[a,b]为f(x)的“跟随区间”.下列结论正确的是(  )
A.若[1,b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区间,则b=3
B.函数f(x)=2-不存在跟随区间
C.[0,2]是函数f(x)=的一个跟随区间
D.二次函数f(x)=-x2+x存在“3倍跟随区间”
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数f(x)=+的定义域为________.
14.已知幂函数f(x)=(2a2+a)xa在其定义域上是增函数,则实数a=________.
15.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,它们的定义域为[-3,3],且它们在[-3,3]上的图象如图所示,则函数y=f(x)·g(x)是________(填“奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数”中的一个),不等式<0的解集是________.
16.设函数f(x)=,若f(x)存在最大值,则实数a的取值范围为________.
四、解答题:本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知f(x)= (x∈R,且x≠-1),g(x)=x2-1(x∈R).
(1)求f(2),g(3)的值;
(2)求f(g(3))的值及f(g(x)).
18.(12分)已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2的图象关于点(0,0)对称.
(1)求该幂函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=|f(x)|,在如图的坐标系中作出函数g(x)的图象;
(3)直接写出函数g(x)的单调区间.
19.(12分)求下列函数f(x)的解析式.
(1)已知f(1-x)=2x2-x+1,求f(x);
(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x))=2x-1,求f(x);
(3)已知f(x)是二次函数,且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求f(x).
20.(12分)已知函数y=f(x)(x∈R)是偶函数.当x≥0时,f(x)=x2-4x.
(1)求函数f(x)在x∈R上的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[a,a+3]上具有单调性,求实数a的取值范围.
21.(12分)吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈,并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产,已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒,需投入成本h(x)万元,当产量小于或等于50万盒时h(x)=180x+100;当产量大于50万盒时h(x)=x2+60x+3 500,若每盒玩具手办售价200元,通过市场分析,该企业生产的玩具手办可以全部销售完(利润=售价-成本,成本=固定成本+生产中投入成本).
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式;
(2)当产量为多少万盒时,该企业在生产中所获利润最大?
22.(12分)已知函数f(x)=(p,q为常数)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并用定义证明;
(3)解关于x的不等式f(x-1)+f(x)<0.
单元素养测评卷(三) 函数的概念与性质
1.答案:C
解析:设幂函数f(x)=xα,又幂函数f(x)图象过点P(,2),
∴2=()α,解得α=2,∴f(x)=x2,
∴f(5)=52=25.故选C.
2.答案:B
解析:当容器是圆柱时,容积V=πr2h,r不变,V是h的正比例函数,其图象是过原点的直线,∴选项D不满足条件;
由函数图象可以看出,随着高度h的增加V也增加,但随h变大,每单位高度的增加,体积V的增加量变小,图象上升趋势变缓,
∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小,
∴A、C不满足条件,而B满足条件.
3.答案:B
解析:对选项A:f(x)=x2-1在(0,+∞)上是严格增函数,排除;
对选项B:f(x)=在(0,+∞)上是严格减函数,正确;
对选项C:f(x)=-在(0,+∞)上是严格增函数,排除;
对选项D:f(x)=x2+2x-1在(0,+∞)上是严格增函数,排除.故选B.
4.答案:A
解析:y=|x|定义域为R,且y=,
对于A:y==|x|,定义域也为R,A正确;
对于B:y=()2的定义域为[0,+∞),定义域不一样,B错误;
对于C:y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不一样,C错误;
对于D:y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不一样,D错误.故选A.
5.答案:B
解析:因为偶函数f(x)的定义域为[2a,1-a],
所以,解得,
所以a=-1,
由偶函数定义得f(x)=f(-x),
所以f(x)=ax2-bx-3a-b=ax2+bx-3a-b=f(-x),即2bx=0,
所以b=0,
故a=-1,b=0.故选B.
6.答案:D
解析:因为函数f(x)=-x2+2ax在区间[1,2]上是减函数,所以a≤1,
因为g(x)=在区间[1,2]上是减函数,所以a>0,
所以a的取值范围是07.答案:C
解析:在一个坐标系中画出y=x+1,y=-x+4,y=-x+6的图象,从左到右,取横坐标对应的纵坐标小的点构成新的图象,如图:
其中A点,即y=x+1与y=-x+4的交点,其纵坐标即为所求,
联立,解得A(2,3),
函数f(x)=min的最大值为3.故选C.
8.答案:D
解析:∵y=f(x+1)为偶函数,∴f(x+1)=f(1-x),
∴f(x)图象关于x=1对称,
由此可得f(x)图象如图所示,
∵xf(x)<0等价于或,∴由图象知:0∴xf(x)<0的解集为(-∞,0)∪(0,2).故选D.
9.答案:BD
解析:由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误;
当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],当-1当x=1时,f(1)=12=1,故C错误;
当x≤-1时,f(x)=x+2=1 x=-1,当-1故D正确.故选BD.
10.答案:AC
解析:y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,故其值域为[2,+∞);
对A:当x≥时,y=4x≥2,其值域为[2,+∞),故A正确;
对B:>0,故y=+2>2,其值域为(2,+∞),故B错误;
对C:y=x2+≥2=2,当且仅当x2=1时取得等号,其值域为[2,+∞),故C正确;
对D:令=t,t≥0,故y=2x-的值域即y=2t2-t+2,t≥0的值域;
又y=2t2-t+2,t≥0在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,故y≥,故D错误.故选AC.
11.答案:ABC
解析:根据f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递减可知f(x)在(-∞,0)上单调递减,故选项A正确;
f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(8)不等式f(x)>0的解集为(-∞,-6)∪(0,6),故选项C正确;
f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,f(x)的图象与x轴有3个交点,分别是(-6,0),(0,0),(6,0).故选项D错误.故选ABC.
12.答案:BCD
解析:对于A,∵f(x)=x2-2x+2在[1,b]上单调递增,
∴f(x)的值域为[1,b2-2b+2],
∴b2-2b+2=b,解得b=1(舍)或b=2,A错误;
对于B,∵f(x)=2-在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,
∴若f(x)存在跟随区间[a,b],则,即a,b为方程2-=x的两根,
即x2-2x+3=0,∵x2-2x+3=0无解,∴f(x)不存在跟随区间,B正确;
对于C,∵f(x)==,
∴当x∈[0,2]时,f(x)min=f()=0;又f(0)=1,f(2)=2,∴f(x)max=2,
∴f(x)在[0,2]上的值域为[0,2],即[0,2]是f(x)的一个跟随区间,C正确;
对于D,若f(x)=-x2+x存在“3倍跟随区间”[a,b],则其值域为[3a,3b];
当a则a,b是方程3x=-x2+x的两根,解得x=-4或x=0,即a=-4,b=0,
∴[-4,0]是f(x)的一个“3倍跟随区间”,D正确.故选BCD.
13.答案:{x|x≤-1或x>1}
解析:由题意得,解得x≤-1或x>1.
14.答案:
解析:因为f(x)为幂函数,所以2a2+a=1,解得a=-1或a=,
又f(x)在其定义域上是增函数,
所以a>0,所以a=.
15.答案:奇函数 (-2,-1)∪(0,1)∪(2,3)
解析:∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
∴f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),∴y=f(x)·g(x)为奇函数;
由题中图象可知,当x∈(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3)时,f(x)与g(x)异号,
∴<0的解集为(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3).
16.答案:(-∞,-1]
解析:当a>0时,f(x)=a(x-2)2的图象开口方向向上,此时f(x)无最大值,不合题意;
当a=0时,f(x)=,此时f(x)<1,无最大值,不合题意;
当a<0时,若x若f(x)存在最大值,则a3+1≤0,解得a≤-1;
综上所述:实数a的取值范围为(-∞,-1].
17.解析:(1)因为f(x)=,所以f(2)==-.
因为g(x)=x2-1,所以g(3)=32-1=8.
(2)依题意,知f(g(3))=f(8)==-,
f(g(x))=== (x≠0).
18.解析:(1)因幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2,则m2-5m+5=1,解得m=1或m=4,
当m=1时,函数f(x)=x-1=定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)是奇函数,图象关于原点对称,则m=1,
当m=4时,函数f(x)=x2是R上的偶函数,其图象关于y轴对称,关于原点不对称,
所以幂函数f(x)的解析式是f(x)=x-1.
(2)因函数g(x)=|f(x)|,由(1)知,g(x)=,显然g(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,
当x>0时,g(x)=在(0,+∞)上单调递减,其图象是反比例函数y=在第一象限的图象,
作出函数g(x)第一象限的图象,再将其关于y轴翻折即可得g(x)在定义域上的图象,如图,
(3)观察(2)中图象得,函数g(x)的递增区间是(-∞,0),递减区间是(0,+∞).
19.解析:(1)(换元法)设t=1-x,则x=1-t,
∴f(t)=2(1-t)2-(1-t)+1=2t2-3t+2,
∴f(x)=2x2-3x+2.
(2)设一次函数f(x)=kx+b(k≠0),
∴f(f(x))=k(kx+b)+b=2x-1,
∴,
解得或,
∴f(x)=x+1-或f(x)=-x+1+.
综上所述,f(x)=x+1-或f(x)=-x+1+.
(3)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,
∴f(x)=ax2+bx+2,
又f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+2=ax2+(2a+b)x+a+b+2,
f(x+1)-f(x)=x-1,
∴f(x+1)-f(x)=ax2+(2a+b)x+a+b+2-(ax2+bx+2)=2ax+a+b=x-1,
∴,解得,
故二次函数f(x)=x2-x+2.
20.解析:
(1)由题意,在y=f(x)(x∈R)中,当x≥0时,f(x)=x2-4x.
设x<0,则-x>0,∴f(-x)=x2+4x,
∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=x2+4x,
综上,有f(x)=.
(2)由题意及(1)得
作出f(x)的图象如图所示:
∵函数f(x)在区间[a,a+3]上具有单调性,
由图可得a+3≤-2或a≥2,
解得a≤-5或a≥2,
∴实数a的取值范围是(-∞,-5]∪[2,+∞).
21.解析:(1)当产量小于或等于50万盒时,y=200x-200-180x-100=20x-300,
当产量大于50万盒时,y=200x-200-x2-60x-3500=-x2+140x-3700,
故销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式为
y=,x∈N.
(2)当0≤x≤50时,y≤20×50-300=700;
当x>50时,y=-x2+140x-3700,
当x==70时,y=-x2+140x-3700取到最大值,为1200.
因为700<1200,所以当产量为70万盒时,该企业所获利润最大.
22.解析:(1)∵f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,∴f(0)==0,解得q=0,
∴f(1)==,解得p=1,∴f(x)=;
当f(x)=时,f(-x)=-=-f(x),满足f(x)为奇函数;
综上所述:f(x)=.
(2)f(x)在[-1,1]上单调递增,证明如下:
设-1≤x1∴f(x2)-f(x1)=-==,
∵x1x2<1,x2-x1>0,x+1>0,x+1>0,∴f(x2)-f(x1)>0,
∴f(x)在[-1,1]上单调递增.
(3)由f(x-1)+f(x)<0得f(x-1)<-f(x)=f(-x).
∵f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数且在[-1,1]上单调递增,
∴,解得0≤x<,即不等式的解集为[0,).