新人教A版必修第一册高中数学第三章 函数的概念与性质 单元素养测评卷（含解析）

单元素养测评卷(三)　函数的概念与性质
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知幂函数f(x)图象过点P(，2)，则f(5)等于(　　)
A．10 B．16 C．25 D．32
2．向高为H的水瓶内注水，一直到注满为止，如果注水量V与水深h的函数图象如图所示，那么水瓶的形状大致是(　　)
3．下列函数中，在(0，＋∞)上不是严格增函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝
C．f(x)＝－ D．f(x)＝x2＋2x－1
4．与y＝表示同一个函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝()2C．y＝ D．y＝
5．已知函数f(x)＝ax2－bx－3a－b是偶函数，且其定义域为[2a，1－a]，则(　　)
A．a＝，b＝0 B．a＝－1，b＝0
C．a＝1，b＝1 D．a＝－，b＝－1
6．若函数f(x)＝－x2＋2ax与函数g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1]C．(0，1) D．(0，1]
7．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min的最大值是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函数y＝f(x＋1)为偶函数，当x>1时，f(x)＝x－2，则xf(x)<0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，2)
C．(－1，2) D．(－∞，0)∪(0，2)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数f(x)＝，则关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4)
C．f(1)＝3 D．若f(x)＝1，则x的值为±1
10．下列函数与y＝x2－2x＋3的值域相同的是(　　)
A．y＝4x(x≥) B．y＝＋2C．y＝ D．y＝2x－
11．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－6)＝0，则(　　)
A．f(x)在(－∞，0)上单调递减
B．f(8)<0
C．不等式f(x)>0的解集为(－∞，－6)∪(0，6)
D．f(x)的图象与x轴只有2个交点
12．一般地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，则称[a，b]为f(x)的“k倍跟随区间”；特别地，若函数f(x)的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，则称[a，b]为f(x)的“跟随区间”．下列结论正确的是(　　)
A．若[1，b]为f(x)＝x2－2x＋2的跟随区间，则b＝3
B．函数f(x)＝2－不存在跟随区间
C．[0，2]是函数f(x)＝的一个跟随区间
D．二次函数f(x)＝－x2＋x存在“3倍跟随区间”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数f(x)＝＋的定义域为________.
14．已知幂函数f(x)＝(2a2＋a)xa在其定义域上是增函数，则实数a＝________.
15．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，它们的定义域为[－3，3]，且它们在[－3，3]上的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)是________(填“奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数”中的一个)，不等式<0的解集是________.
16．设函数f(x)＝，若f(x)存在最大值，则实数a的取值范围为________.
四、解答题：本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知f(x)＝ (x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2－1(x∈R).
(1)求f(2)，g(3)的值；
(2)求f(g(3))的值及f(g(x)).
18．(12分)已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2的图象关于点(0，0)对称．
(1)求该幂函数f(x)的解析式；
(2)设函数g(x)＝|f(x)|，在如图的坐标系中作出函数g(x)的图象；
(3)直接写出函数g(x)的单调区间．
19．(12分)求下列函数f(x)的解析式．
(1)已知f(1－x)＝2x2－x＋1，求f(x)；
(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝2x－1，求f(x)；
(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x).
20．(12分)已知函数y＝f(x)(x∈R)是偶函数．当x≥0时，f(x)＝x2－4x.
(1)求函数f(x)在x∈R上的解析式；
(2)若函数f(x)在区间[a，a＋3]上具有单调性，求实数a的取值范围．
21．(12分)吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时h(x)＝180x＋100；当产量大于50万盒时h(x)＝x2＋60x＋3 500，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完(利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本).
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
22．(12分)已知函数f(x)＝(p，q为常数)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在[－1，1]上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于x的不等式f(x－1)＋f(x)<0.
单元素养测评卷(三)　函数的概念与性质
1．答案：C
解析：设幂函数f(x)＝xα，又幂函数f(x)图象过点P(，2)，
∴2＝()α，解得α＝2，∴f(x)＝x2，
∴f(5)＝52＝25.故选C.
2．答案：B
解析：当容器是圆柱时，容积V＝πr2h，r不变，V是h的正比例函数，其图象是过原点的直线，∴选项D不满足条件；
由函数图象可以看出，随着高度h的增加V也增加，但随h变大，每单位高度的增加，体积V的增加量变小，图象上升趋势变缓，
∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小，
∴A、C不满足条件，而B满足条件．
3．答案：B
解析：对选项A：f(x)＝x2－1在(0，＋∞)上是严格增函数，排除；
对选项B：f(x)＝在(0，＋∞)上是严格减函数，正确；
对选项C：f(x)＝－在(0，＋∞)上是严格增函数，排除；
对选项D：f(x)＝x2＋2x－1在(0，＋∞)上是严格增函数，排除．故选B.
4．答案：A
解析：y＝|x|定义域为R，且y＝，
对于A：y＝＝|x|，定义域也为R，A正确；
对于B：y＝()2的定义域为[0，＋∞)，定义域不一样，B错误；
对于C：y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不一样，C错误；
对于D：y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不一样，D错误．故选A.
5．答案：B
解析：因为偶函数f(x)的定义域为[2a，1－a]，
所以，解得，
所以a＝－1，
由偶函数定义得f(x)＝f(－x)，
所以f(x)＝ax2－bx－3a－b＝ax2＋bx－3a－b＝f(－x)，即2bx＝0，
所以b＝0，
故a＝－1，b＝0.故选B.
6．答案：D
解析：因为函数f(x)＝－x2＋2ax在区间[1，2]上是减函数，所以a≤1，
因为g(x)＝在区间[1，2]上是减函数，所以a>0，
所以a的取值范围是07．答案：C
解析：在一个坐标系中画出y＝x＋1，y＝－x＋4，y＝－x＋6的图象，从左到右，取横坐标对应的纵坐标小的点构成新的图象，如图：
其中A点，即y＝x＋1与y＝－x＋4的交点，其纵坐标即为所求，
联立，解得A(2，3)，
函数f(x)＝min的最大值为3.故选C.
8．答案：D
解析：∵y＝f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)＝f(1－x)，
∴f(x)图象关于x＝1对称，
由此可得f(x)图象如图所示，
∵xf(x)<0等价于或，∴由图象知：0∴xf(x)<0的解集为(－∞，0)∪(0，2).故选D.
9．答案：BD
解析：由题意知函数f(x)的定义域为(－∞，2)，故A错误；
当x≤－1时，f(x)的取值范围是(－∞，1]，当－1当x＝1时，f(1)＝12＝1，故C错误；
当x≤－1时，f(x)＝x＋2＝1 x＝－1，当－1故D正确．故选BD.
10．答案：AC
解析：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，故其值域为[2，＋∞)；
对A：当x≥时，y＝4x≥2，其值域为[2，＋∞)，故A正确；
对B：>0，故y＝＋2>2，其值域为(2，＋∞)，故B错误；
对C：y＝x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝1时取得等号，其值域为[2，＋∞)，故C正确；
对D：令＝t，t≥0，故y＝2x－的值域即y＝2t2－t＋2，t≥0的值域；
又y＝2t2－t＋2，t≥0在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故y≥，故D错误．故选AC.
11．答案：ABC
解析：根据f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减可知f(x)在(－∞，0)上单调递减，故选项A正确；
f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(8)不等式f(x)>0的解集为(－∞，－6)∪(0，6)，故选项C正确；
f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，f(x)的图象与x轴有3个交点，分别是(－6，0)，(0，0)，(6，0).故选项D错误．故选ABC.
12．答案：BCD
解析：对于A，∵f(x)＝x2－2x＋2在[1，b]上单调递增，
∴f(x)的值域为[1，b2－2b＋2]，
∴b2－2b＋2＝b，解得b＝1(舍)或b＝2，A错误；
对于B，∵f(x)＝2－在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，
∴若f(x)存在跟随区间[a，b]，则，即a，b为方程2－＝x的两根，
即x2－2x＋3＝0，∵x2－2x＋3＝0无解，∴f(x)不存在跟随区间，B正确；
对于C，∵f(x)＝＝，
∴当x∈[0，2]时，f(x)min＝f()＝0；又f(0)＝1，f(2)＝2，∴f(x)max＝2，
∴f(x)在[0，2]上的值域为[0，2]，即[0，2]是f(x)的一个跟随区间，C正确；
对于D，若f(x)＝－x2＋x存在“3倍跟随区间”[a，b]，则其值域为[3a，3b]；
当a则a，b是方程3x＝－x2＋x的两根，解得x＝－4或x＝0，即a＝－4，b＝0，
∴[－4，0]是f(x)的一个“3倍跟随区间”，D正确．故选BCD.
13．答案：{x|x≤－1或x>1}
解析：由题意得，解得x≤－1或x>1.
14．答案：
解析：因为f(x)为幂函数，所以2a2＋a＝1，解得a＝－1或a＝，
又f(x)在其定义域上是增函数，
所以a>0，所以a＝.
15．答案：奇函数　(－2，－1)∪(0，1)∪(2，3)
解析：∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，
∴f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，∴y＝f(x)·g(x)为奇函数；
由题中图象可知，当x∈(－2，－1)∪(0，1)∪(2，3)时，f(x)与g(x)异号，
∴<0的解集为(－2，－1)∪(0，1)∪(2，3).
16．答案：(－∞，－1]
解析：当a>0时，f(x)＝a(x－2)2的图象开口方向向上，此时f(x)无最大值，不合题意；
当a＝0时，f(x)＝，此时f(x)<1，无最大值，不合题意；
当a<0时，若x若f(x)存在最大值，则a3＋1≤0，解得a≤－1；
综上所述：实数a的取值范围为(－∞，－1].
17．解析：(1)因为f(x)＝，所以f(2)＝＝－.
因为g(x)＝x2－1，所以g(3)＝32－1＝8.
(2)依题意，知f(g(3))＝f(8)＝＝－，
f(g(x))＝＝＝ (x≠0).
18．解析：(1)因幂函数f(x)＝(m2－5m＋5)xm－2，则m2－5m＋5＝1，解得m＝1或m＝4，
当m＝1时，函数f(x)＝x－1＝定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)是奇函数，图象关于原点对称，则m＝1，
当m＝4时，函数f(x)＝x2是R上的偶函数，其图象关于y轴对称，关于原点不对称，
所以幂函数f(x)的解析式是f(x)＝x－1.
(2)因函数g(x)＝|f(x)|，由(1)知，g(x)＝，显然g(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，
当x>0时，g(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，其图象是反比例函数y＝在第一象限的图象，
作出函数g(x)第一象限的图象，再将其关于y轴翻折即可得g(x)在定义域上的图象，如图，
(3)观察(2)中图象得，函数g(x)的递增区间是(－∞，0)，递减区间是(0，＋∞).
19．解析：(1)(换元法)设t＝1－x，则x＝1－t，
∴f(t)＝2(1－t)2－(1－t)＋1＝2t2－3t＋2，
∴f(x)＝2x2－3x＋2.
(2)设一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∴f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝2x－1，
∴，
解得或，
∴f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.
综上所述，f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.
(3)设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，
∴f(x)＝ax2＋bx＋2，
又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋2，
f(x＋1)－f(x)＝x－1，
∴f(x＋1)－f(x)＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋2－(ax2＋bx＋2)＝2ax＋a＋b＝x－1，
∴，解得，
故二次函数f(x)＝x2－x＋2.
20．解析：
(1)由题意，在y＝f(x)(x∈R)中，当x≥0时，f(x)＝x2－4x.
设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x，
∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝x2＋4x，
综上，有f(x)＝.
(2)由题意及(1)得
作出f(x)的图象如图所示：
∵函数f(x)在区间[a，a＋3]上具有单调性，
由图可得a＋3≤－2或a≥2，
解得a≤－5或a≥2，
∴实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[2，＋∞).
21．解析：(1)当产量小于或等于50万盒时，y＝200x－200－180x－100＝20x－300，
当产量大于50万盒时，y＝200x－200－x2－60x－3500＝－x2＋140x－3700，
故销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式为
y＝，x∈N.
(2)当0≤x≤50时，y≤20×50－300＝700；
当x>50时，y＝－x2＋140x－3700，
当x＝＝70时，y＝－x2＋140x－3700取到最大值，为1200.
因为700<1200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
22．解析：(1)∵f(x)为定义在[－1，1]上的奇函数，∴f(0)＝＝0，解得q＝0，
∴f(1)＝＝，解得p＝1，∴f(x)＝；
当f(x)＝时，f(－x)＝－＝－f(x)，满足f(x)为奇函数；
综上所述：f(x)＝.
(2)f(x)在[－1，1]上单调递增，证明如下：
设－1≤x1∴f(x2)－f(x1)＝－＝＝，
∵x1x2<1，x2－x1>0，x＋1>0，x＋1>0，∴f(x2)－f(x1)>0，
∴f(x)在[－1，1]上单调递增．
(3)由f(x－1)＋f(x)<0得f(x－1)<－f(x)＝f(－x).
∵f(x)为定义在[－1，1]上的奇函数且在[－1，1]上单调递增，
∴，解得0≤x<，即不等式的解集为[0，).