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高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第三章 函数概念与性质
本章复习与测试
新人教A版必修第一册高中数学第三章 函数的概念与性质 单元素养测评卷(含解析)
文档属性
名称
新人教A版必修第一册高中数学第三章 函数的概念与性质 单元素养测评卷(含解析)
格式
doc
文件大小
199.9KB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2023-11-13 16:23:06
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文档简介
单元素养测评卷(三) 函数的概念与性质
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知幂函数f(x)图象过点P(,2),则f(5)等于( )
A.10 B.16 C.25 D.32
2.向高为H的水瓶内注水,一直到注满为止,如果注水量V与水深h的函数图象如图所示,那么水瓶的形状大致是( )
3.下列函数中,在(0,+∞)上不是严格增函数的是( )
A.f(x)=x2-1 B.f(x)=
C.f(x)=- D.f(x)=x2+2x-1
4.与y=表示同一个函数的是( )
A.y= B.y=()2C.y= D.y=
5.已知函数f(x)=ax2-bx-3a-b是偶函数,且其定义域为[2a,1-a],则( )
A.a=,b=0 B.a=-1,b=0
C.a=1,b=1 D.a=-,b=-1
6.若函数f(x)=-x2+2ax与函数g(x)=在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1) D.(0,1]
7.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min的最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知函数y=f(x+1)为偶函数,当x>1时,f(x)=x-2,则xf(x)<0的解集为( )
A.(-1,0)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,2)
C.(-1,2) D.(-∞,0)∪(0,2)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=,则关于函数f(x)的结论正确的是( )
A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.f(1)=3 D.若f(x)=1,则x的值为±1
10.下列函数与y=x2-2x+3的值域相同的是( )
A.y=4x(x≥) B.y=+2C.y= D.y=2x-
11.设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(-6)=0,则( )
A.f(x)在(-∞,0)上单调递减
B.f(8)<0
C.不等式f(x)>0的解集为(-∞,-6)∪(0,6)
D.f(x)的图象与x轴只有2个交点
12.一般地,若函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[ka,kb],则称[a,b]为f(x)的“k倍跟随区间”;特别地,若函数f(x)的定义域为[a,b],值域也为[a,b],则称[a,b]为f(x)的“跟随区间”.下列结论正确的是( )
A.若[1,b]为f(x)=x2-2x+2的跟随区间,则b=3
B.函数f(x)=2-不存在跟随区间
C.[0,2]是函数f(x)=的一个跟随区间
D.二次函数f(x)=-x2+x存在“3倍跟随区间”
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数f(x)=+的定义域为________.
14.已知幂函数f(x)=(2a2+a)xa在其定义域上是增函数,则实数a=________.
15.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,它们的定义域为[-3,3],且它们在[-3,3]上的图象如图所示,则函数y=f(x)·g(x)是________(填“奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数”中的一个),不等式<0的解集是________.
16.设函数f(x)=,若f(x)存在最大值,则实数a的取值范围为________.
四、解答题:本大题有6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知f(x)= (x∈R,且x≠-1),g(x)=x2-1(x∈R).
(1)求f(2),g(3)的值;
(2)求f(g(3))的值及f(g(x)).
18.(12分)已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2的图象关于点(0,0)对称.
(1)求该幂函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=|f(x)|,在如图的坐标系中作出函数g(x)的图象;
(3)直接写出函数g(x)的单调区间.
19.(12分)求下列函数f(x)的解析式.
(1)已知f(1-x)=2x2-x+1,求f(x);
(2)已知一次函数f(x)满足f(f(x))=2x-1,求f(x);
(3)已知f(x)是二次函数,且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求f(x).
20.(12分)已知函数y=f(x)(x∈R)是偶函数.当x≥0时,f(x)=x2-4x.
(1)求函数f(x)在x∈R上的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[a,a+3]上具有单调性,求实数a的取值范围.
21.(12分)吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈,并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产,已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒,需投入成本h(x)万元,当产量小于或等于50万盒时h(x)=180x+100;当产量大于50万盒时h(x)=x2+60x+3 500,若每盒玩具手办售价200元,通过市场分析,该企业生产的玩具手办可以全部销售完(利润=售价-成本,成本=固定成本+生产中投入成本).
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式;
(2)当产量为多少万盒时,该企业在生产中所获利润最大?
22.(12分)已知函数f(x)=(p,q为常数)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)在[-1,1]上的单调性,并用定义证明;
(3)解关于x的不等式f(x-1)+f(x)<0.
单元素养测评卷(三) 函数的概念与性质
1.答案:C
解析:设幂函数f(x)=xα,又幂函数f(x)图象过点P(,2),
∴2=()α,解得α=2,∴f(x)=x2,
∴f(5)=52=25.故选C.
2.答案:B
解析:当容器是圆柱时,容积V=πr2h,r不变,V是h的正比例函数,其图象是过原点的直线,∴选项D不满足条件;
由函数图象可以看出,随着高度h的增加V也增加,但随h变大,每单位高度的增加,体积V的增加量变小,图象上升趋势变缓,
∴容器平行于底面的截面半径由下到上逐渐变小,
∴A、C不满足条件,而B满足条件.
3.答案:B
解析:对选项A:f(x)=x2-1在(0,+∞)上是严格增函数,排除;
对选项B:f(x)=在(0,+∞)上是严格减函数,正确;
对选项C:f(x)=-在(0,+∞)上是严格增函数,排除;
对选项D:f(x)=x2+2x-1在(0,+∞)上是严格增函数,排除.故选B.
4.答案:A
解析:y=|x|定义域为R,且y=,
对于A:y==|x|,定义域也为R,A正确;
对于B:y=()2的定义域为[0,+∞),定义域不一样,B错误;
对于C:y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不一样,C错误;
对于D:y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不一样,D错误.故选A.
5.答案:B
解析:因为偶函数f(x)的定义域为[2a,1-a],
所以,解得,
所以a=-1,
由偶函数定义得f(x)=f(-x),
所以f(x)=ax2-bx-3a-b=ax2+bx-3a-b=f(-x),即2bx=0,
所以b=0,
故a=-1,b=0.故选B.
6.答案:D
解析:因为函数f(x)=-x2+2ax在区间[1,2]上是减函数,所以a≤1,
因为g(x)=在区间[1,2]上是减函数,所以a>0,
所以a的取值范围是0
7.答案:C
解析:在一个坐标系中画出y=x+1,y=-x+4,y=-x+6的图象,从左到右,取横坐标对应的纵坐标小的点构成新的图象,如图:
其中A点,即y=x+1与y=-x+4的交点,其纵坐标即为所求,
联立,解得A(2,3),
函数f(x)=min的最大值为3.故选C.
8.答案:D
解析:∵y=f(x+1)为偶函数,∴f(x+1)=f(1-x),
∴f(x)图象关于x=1对称,
由此可得f(x)图象如图所示,
∵xf(x)<0等价于或,∴由图象知:0
∴xf(x)<0的解集为(-∞,0)∪(0,2).故选D.
9.答案:BD
解析:由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误;
当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],当-1
当x=1时,f(1)=12=1,故C错误;
当x≤-1时,f(x)=x+2=1 x=-1,当-1
故D正确.故选BD.
10.答案:AC
解析:y=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,故其值域为[2,+∞);
对A:当x≥时,y=4x≥2,其值域为[2,+∞),故A正确;
对B:>0,故y=+2>2,其值域为(2,+∞),故B错误;
对C:y=x2+≥2=2,当且仅当x2=1时取得等号,其值域为[2,+∞),故C正确;
对D:令=t,t≥0,故y=2x-的值域即y=2t2-t+2,t≥0的值域;
又y=2t2-t+2,t≥0在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,故y≥,故D错误.故选AC.
11.答案:ABC
解析:根据f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)在(0,+∞)上单调递减可知f(x)在(-∞,0)上单调递减,故选项A正确;
f(x)在(0,+∞)上单调递减,f(8)
不等式f(x)>0的解集为(-∞,-6)∪(0,6),故选项C正确;
f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,f(x)的图象与x轴有3个交点,分别是(-6,0),(0,0),(6,0).故选项D错误.故选ABC.
12.答案:BCD
解析:对于A,∵f(x)=x2-2x+2在[1,b]上单调递增,
∴f(x)的值域为[1,b2-2b+2],
∴b2-2b+2=b,解得b=1(舍)或b=2,A错误;
对于B,∵f(x)=2-在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增,
∴若f(x)存在跟随区间[a,b],则,即a,b为方程2-=x的两根,
即x2-2x+3=0,∵x2-2x+3=0无解,∴f(x)不存在跟随区间,B正确;
对于C,∵f(x)==,
∴当x∈[0,2]时,f(x)min=f()=0;又f(0)=1,f(2)=2,∴f(x)max=2,
∴f(x)在[0,2]上的值域为[0,2],即[0,2]是f(x)的一个跟随区间,C正确;
对于D,若f(x)=-x2+x存在“3倍跟随区间”[a,b],则其值域为[3a,3b];
当a
则a,b是方程3x=-x2+x的两根,解得x=-4或x=0,即a=-4,b=0,
∴[-4,0]是f(x)的一个“3倍跟随区间”,D正确.故选BCD.
13.答案:{x|x≤-1或x>1}
解析:由题意得,解得x≤-1或x>1.
14.答案:
解析:因为f(x)为幂函数,所以2a2+a=1,解得a=-1或a=,
又f(x)在其定义域上是增函数,
所以a>0,所以a=.
15.答案:奇函数 (-2,-1)∪(0,1)∪(2,3)
解析:∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),
∴f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),∴y=f(x)·g(x)为奇函数;
由题中图象可知,当x∈(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3)时,f(x)与g(x)异号,
∴<0的解集为(-2,-1)∪(0,1)∪(2,3).
16.答案:(-∞,-1]
解析:当a>0时,f(x)=a(x-2)2的图象开口方向向上,此时f(x)无最大值,不合题意;
当a=0时,f(x)=,此时f(x)<1,无最大值,不合题意;
当a<0时,若x
若f(x)存在最大值,则a3+1≤0,解得a≤-1;
综上所述:实数a的取值范围为(-∞,-1].
17.解析:(1)因为f(x)=,所以f(2)==-.
因为g(x)=x2-1,所以g(3)=32-1=8.
(2)依题意,知f(g(3))=f(8)==-,
f(g(x))=== (x≠0).
18.解析:(1)因幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2,则m2-5m+5=1,解得m=1或m=4,
当m=1时,函数f(x)=x-1=定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)是奇函数,图象关于原点对称,则m=1,
当m=4时,函数f(x)=x2是R上的偶函数,其图象关于y轴对称,关于原点不对称,
所以幂函数f(x)的解析式是f(x)=x-1.
(2)因函数g(x)=|f(x)|,由(1)知,g(x)=,显然g(x)是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,
当x>0时,g(x)=在(0,+∞)上单调递减,其图象是反比例函数y=在第一象限的图象,
作出函数g(x)第一象限的图象,再将其关于y轴翻折即可得g(x)在定义域上的图象,如图,
(3)观察(2)中图象得,函数g(x)的递增区间是(-∞,0),递减区间是(0,+∞).
19.解析:(1)(换元法)设t=1-x,则x=1-t,
∴f(t)=2(1-t)2-(1-t)+1=2t2-3t+2,
∴f(x)=2x2-3x+2.
(2)设一次函数f(x)=kx+b(k≠0),
∴f(f(x))=k(kx+b)+b=2x-1,
∴,
解得或,
∴f(x)=x+1-或f(x)=-x+1+.
综上所述,f(x)=x+1-或f(x)=-x+1+.
(3)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,
∴f(x)=ax2+bx+2,
又f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+2=ax2+(2a+b)x+a+b+2,
f(x+1)-f(x)=x-1,
∴f(x+1)-f(x)=ax2+(2a+b)x+a+b+2-(ax2+bx+2)=2ax+a+b=x-1,
∴,解得,
故二次函数f(x)=x2-x+2.
20.解析:
(1)由题意,在y=f(x)(x∈R)中,当x≥0时,f(x)=x2-4x.
设x<0,则-x>0,∴f(-x)=x2+4x,
∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=x2+4x,
综上,有f(x)=.
(2)由题意及(1)得
作出f(x)的图象如图所示:
∵函数f(x)在区间[a,a+3]上具有单调性,
由图可得a+3≤-2或a≥2,
解得a≤-5或a≥2,
∴实数a的取值范围是(-∞,-5]∪[2,+∞).
21.解析:(1)当产量小于或等于50万盒时,y=200x-200-180x-100=20x-300,
当产量大于50万盒时,y=200x-200-x2-60x-3500=-x2+140x-3700,
故销售利润y(万元)关于产量x(万盒)的函数关系式为
y=,x∈N.
(2)当0≤x≤50时,y≤20×50-300=700;
当x>50时,y=-x2+140x-3700,
当x==70时,y=-x2+140x-3700取到最大值,为1200.
因为700<1200,所以当产量为70万盒时,该企业所获利润最大.
22.解析:(1)∵f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数,∴f(0)==0,解得q=0,
∴f(1)==,解得p=1,∴f(x)=;
当f(x)=时,f(-x)=-=-f(x),满足f(x)为奇函数;
综上所述:f(x)=.
(2)f(x)在[-1,1]上单调递增,证明如下:
设-1≤x1
∴f(x2)-f(x1)=-==,
∵x1x2<1,x2-x1>0,x+1>0,x+1>0,∴f(x2)-f(x1)>0,
∴f(x)在[-1,1]上单调递增.
(3)由f(x-1)+f(x)<0得f(x-1)<-f(x)=f(-x).
∵f(x)为定义在[-1,1]上的奇函数且在[-1,1]上单调递增,
∴,解得0≤x<,即不等式的解集为[0,).
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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