新人教A版必修第一册高中数学第四章 指数函数与对数函数 单元素养测评卷（含解析）

单元素养测评卷(四)　指数函数与对数函数
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数y＝log2(2x－4)的定义域是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，2] D．(－∞，2)
2．已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6，3)，则f(2)的值为(　　)
A．－2 B．2 C． D．－
3．设a＝log0.32，b＝ln 2，c＝5，则(　　)
A．b4．方程ex＋4x＝0的解所在的区间为(　　)
A．(－，－1) B．(－1，－) C．(－，0) D．(0，)
5．若()4a＋2<()8－3a，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，) B．(－∞，) C．(，＋∞) D．(，＋∞)
6．在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax＋a(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)
7．已知f(x)＝()x－x－2，g(x)＝logx－x－2，h(x)＝x3－x－2的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是(　　)
A．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．b>a>c
8．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)有最大值，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，] B．[4，＋∞) C．[2，＋∞) D．(0，]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列正确的是(　　)
A．()2＋＝4
B．log89×log2732＝
C．若a＋a－1＝3，则a2＋a－2－＝2
D．若3x＝4y＝M，且＋＝1，则M＝36
10．下列结论中正确的是(　　)
A．函数y＝2x－1是指数函数
B．若am>an(a>0，a≠1)，则m>n
C．函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是[1，＋∞)
D．函数f(x)＝ax－2－3(a>0，a≠1)的图象必过定点(2，－2)
11．已知函数y＝－logax(a>0，a≠1)和y＝()x(a>0，a≠1)，以下结论正确的有(　　)
A．它们互为反函数
B．它们的定义域与值域正好互换
C．它们的单调性相反
D．它们的图象关于直线y＝x对称
12．设函数f(x)＝ln (2－x2)，则(　　)
A．f(x)是偶函数 B．f(x)在(0，＋∞)上单调递减
C．f(x)的最大值为ln 2 D．x＝是f(x)的一个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数f(x)＝＋的定义域为________．
14．已知函数f(x)＝，则f(log26)＝________.
15．函数y＝log2(2x＋2)的值域为________.
16．设函数f(x)＝，若方程f(x)＝b有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是________.
四、解答题：本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，).
(1)求a的值；
(2)求f(x)在区间[－，1]上的最大值．
18．(12分)已知函数f(x)＝kx＋log2(2x＋1)(k是常数且k∈R)，且f(x)是偶函数．
(1)求k的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋x－2，求函数y＝g(x)的零点．
19．(12分)已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并证明；
(3)解不等式f(x)≥4.
20．(12分)已知函数f(x)＝loga(x－2)＋loga(x－4)(a>0且a≠1).
(1)若a＝2，且g(x)＝f(x)－3，求函数g(x)的零点；
(2)当x∈(4，6]时，f(x)有最小值－3，求a的值．
21．(12分)近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就. 2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四号航天员“会师”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务. 据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式v＝v0ln 计算火箭的最大速度v(m/s)，其中v0(m/s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为500(m/s).
(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；
(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加500(m/s)，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．
(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6，2.71822．(12分)已知函数f(x)＝2x－＋1.
(1)判断f(x)的单调性，并用定义证明；
(2)若关于x的方程f(2f(x))＋f(t－4x)＝0有解，求t的取值范围．
单元素养测评卷(四)　指数函数与对数函数
1．答案：B
解析：由已知得，2x－4>0，解得x>2，故x∈(2，＋∞).故选B.
2．答案：B
解析：因为函数f(x)＝loga(x＋2)的图象过点(6，3)，
所以loga(6＋2)＝3 loga8＝logaa3，
则a3＝8 a＝2，
所以f(x)＝log2(x＋2)，f(2)＝log2(2＋2)＝2.故选B.
3．答案：D
解析：由对数函数性质知log0.32<0，01，
所以a4．答案：C
解析：令函数f(x)＝ex＋4x，则方程ex＋4x＝0的解即为函数f(x)的零点，而函数f(x)＝ex＋4x在R上单调递增，f(－)f(0)＝1>0，因此函数f(x)的零点在区间(－，0)内，所以方程ex＋4x＝0的解所在的区间为(－，0).故选C.
5．答案：D
解析：因为函数y＝()x是减函数，且()4a＋2<()8－3a，
所以4a＋2>8－3a，解得a>，即实数a的取值范围是(，＋∞).故选D.
6．答案：A
解析：对于A，B，若y＝a－x＝()x图象正确，则0又x＝1时，y＝loga1＋a＝a>0，A正确，B错误；
对于C，D，若y＝a－x＝()x图象正确，则a>1，∴y＝logax＋a单调递增，CD错误．故选A.
7．答案：B
解析：函数f(x)＝()x－x－2，g(x)＝logx－x－2，h(x)＝x3－x－2的零点，
即为函数y＝x＋2分别与函数y＝()x，y＝logx，y＝x3的图象交点的横坐标，
如图所示：
由图可得a8．答案：D
解析：∵函数y＝x＋3在(－∞，3]上单调递增，
∴此时有最大值ymax＝3＋3＝6，
∴要使f(x)有最大值，则需函数y＝4＋16ax(a>0且a≠1)在(3，＋∞)上单调递减，
且4＋16a3≤6，即，解得0∴a的取值范围是(0，].故选D.
9．答案：ABD
解析：A选项： ()2＋＝(22－)2＋＝22＝4，故A正确；
B选项：log89×log2732＝×＝×＝，故B正确；
C选项：a＋a－1＝3，a2＋a－2－＝(a＋a－1)2－2－3×＝1，故C错误；
D选项：3x＝4y＝M，则x＝log3M，＝logM3, 同理y＝log4M，＝logM4，则＋＝2logM3＋logM4＝logM36＝1，解得M＝36，故D正确．故选ABD.
10．答案：CD
解析：对于A项，函数y＝2x－1的指数位置不符合指数函数，故A不正确．
对于B项，当0an时，m对于C项，∵a>1，x2≥0，∴ax2＋1≥1，故函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是[1，＋∞)，故C正确．
对于D项，∵∴，函数f(x)＝ax－2－3(a>0，a≠1)的图象必过定点(2，－2)，故D正确．
故选CD.
11．答案：ABD
解析：A选项，注意到y＝－logax＝logx，则其与函数y＝()x互为反函数，故A正确；
B选项，函数y＝logx定义域为(0，＋∞)，值域为R.函数y＝()x定义域为R，值域为(0，＋∞).故B正确；
C选项，当a>1时，两函数均在定义域内单调递减．当0D选项，两函数互为反函数，则函数图象关于直线y＝x对称，故D正确．故选ABD.
12．答案：AC
解析：函数f(x)＝ln (2－x2)，由2－x2>0得f(x)的定义域为(－，)，关于坐标原点对称，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)为定义域上的偶函数，A选项正确；
令t＝2－x2，则y＝lnt，由二次函数的性质，当x∈(－，0)时，t＝2－x2为增函数；当x∈(0，)时，t＝2－x2为减函数；
y＝lnt在定义域内为增函数，由复合函数的单调性可知，f(x)在(－，0)上单调递增，在(0，)上单调递减，B选项错误；
由函数单调性可知，f(x)最大值为f(0)＝ln2，C选项正确；
ln (2－x2)＝0，解得x＝±1，则f(x)的零点为±1，D选项错误．故选AC.
13．答案：[0，2)∪(2，＋∞)
解析：根据题意，由，解得x≥0且x≠2，因此定义域为[0，2)∪(2，＋∞).
14．答案：6
解析：根据对数函数单调性可得：log26∈(2，3)，
f(log26)＝＝6.
15．答案：(1，＋∞)
解析：函数的定义域为R，
令t＝2x＋2，则y＝log2t，
因为2x>0，所以2x＋2>2，即t>2，
所以log2t>log22＝1，即y>1，
所以函数y＝log2(2x＋2)的值域为(1，＋∞).
16．答案：(－∞，0]∪(，1]
解析：作出函数y＝f(x)的图象，如图：
结合图象可得：b∈(－∞，0]∪(，1].
17．解析：(1)因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(2，)，
所以a2＝.
所以a＝.
(2)因为a＝，所以f(x)＝()x.
所以f(x)在区间[－，1]上单调递减．
所以f(x)在区间[－，1]上的最大值是f(－).
所以f(－)＝()－＝.
所以f(x)在区间[－，1]上的最大值是.
18．解析：(1)f(x)＝kx＋log2(2x＋1)，函数定义域为R,
f(－x)＝k·(－x)＋log2(2－x＋1)＝k·(－x)＋log2()＝log2(2x＋1)－(k＋1)·x，
f(x)是偶函数，f(－x)＝f(x)，故k＝－(k＋1)，解得k＝－.
(2)由(1)可知，f(x)＝－x＋log2(2x＋1)，g(x)＝f(x)＋x－2＝log2(2x＋1)－2，令g(x)＝log2(2x＋1)－2＝0，解得x＝log23.
故函数y＝g(x)零点为log23.
19．解析：(1)易知函数f(x)＝，x∈R.
所以定义域为R.
(2)证明：由f(－x)＝＝＝f(x)，从而知f(x)为偶函数．
(3)由条件得≥4＝22，得x2－1≥2，解得x≥或x≤－.
所以不等式的解集为{x|x≥或x≤－}．
20．解析：(1)a＝2时，g(x)＝log2(x－2)＋log2(x－4)－3的定义域为(4，＋∞)，
令g(x)＝log2(x－2)＋log2(x－4)－3＝0，
即log2[(x－2)(x－4)]＝3，所以(x－2)(x－4)＝8，
即x2－6x＝0解得x＝0(舍)或x＝6.
所以g(x)的零点为6.
(2)f(x)＝loga(x－2)＋loga(x－4)＝loga(x2－6x＋8)，x∈(4，6]，
令y＝x2－6x＋8，x∈(4，6]，
则y＝x2－6x＋8在x∈(4，6]上单调递增，
若0f(x)min＝f(6)＝loga8＝－3解得a＝，
若a>1，f(x)＝loga(x2－6x＋8)在x∈(4，6]上单调递增，
无最小值，不满足题意，所以a＝.
21．解析：
(1)由已知可得v＝500ln200＝500(ln2＋ln100)＝500[ln2＋2(ln2＋ln5)]＝500(3ln2＋2ln5)≈2650m/s.
(2)设在材料更新和技术改进前总质比为x，且v1＝v0lnx＝500lnx，v2＝1000ln，
若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，所以v2－v1＝1000ln－500lnx≥500，
即2ln－lnx≥1，ln ()2－lnx＝ln≥1，所以≥e，解得x≥4e，因为2.71822．解析：
(1)f(x)在R上单调递增，证明如下：
易知f(x)的定义域为R，
设x1因为x1所以－<0，＋1>0，＋1>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，则f(x)在R上单调递增．
(2)因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＋f(x)＝－2x－＋1＋2x－＋1＝－＋2＝0，所以f(x)是奇函数．
由已知，方程f(2f(x))＋f(t－4x)＝0有解，
由f(x)的奇偶性可知f(2f(x))＝f(4x－t)有解，
由f(x)的单调性可知2f(x)＝4x－t有解，得方程－＋2＝－t有解，即方程－2＝t有解．
因为ex＋1∈(1，＋∞)，所以0<<1，则0<<4，
所以有－2<－2<2，故t的取值范围是(－2，2).