新人教A版必修第一册高中数学第五章 三角函数 单元素养测评卷（含解析）

单元素养测评卷(五)　三角函数
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列四个函数，最小正周期是的是(　　)
A．y＝sin 2x B．y＝cos C．y＝sin 4x D．y＝tan 3x
2．已知cos θ＝－，若θ是第二象限角，则tan (π＋θ)＝(　　)
A． B． C．－ D．－
3．下列选项中大小关系正确的是(　　)
A．cos 2C．cos 24．函数y＝sin x－x cos x的部分图象是(　　)
5．下列区间是函数f(x)＝5cos (2x－)的单调递减区间的是(　　)
A．(－，) B．(－，) C．(，π) D．(，)
6．若α，β都是锐角，且cos α＝，sin (α－β)＝，则cos β＝(　　)
A． B． C．－或－ D．或
7．将函数f(x)＝A cos ωx图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，已知g(x)的图象关于原点对称，则ω的最小正值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
8．函数f(x)＝－2sin 2x＋2cos x的最大值和最小值分别是(　　)
A．2，－2 B．2，－ C．2，－ D．，－2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列各式中值为的有(　　)
A．sin sin
B．sin 173°cos 23°＋sin 83°cos 67°
C．
D．
10．下列说法不正确的是(　　)
A．735°与15°是终边相同的角
B．若一扇形的圆心角为15°，半径为3 cm，则该扇形面积为π cm2
C．设α是锐角，则角2α为第一或第二象限角
D．函数y＝sin 2x的图象可由函数y＝sin (2x＋)的图象向右平移之后得到
11．若α∈(0，π)，sin α－cos α＝，则(　　)
A．tan α＝ B．sin 2α＝ C．sin α＋cos α＝ D．cos 2α＝－
12.
已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)的最小正周期为2π
B．函数y＝f(x)在[－，－]上单调递减
C．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称
D．该图象向右平移个单位可得y＝2sin 2x的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(3，4)，则＝________.
14.
函数f(x)＝cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示．则函数f(x)的解析式为________.
15．写出一个同时满足下列三个性质的函数：f(x)＝________.①f(x)为偶函数；②f(x＋1)为奇函数；③f(x)在R上的最大值为2.
16.
风车发电是指把风的动能转化为电能．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为120°.现有一座风车，塔高70米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且4秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点(此时P离地面30米).设点P离地面的距离为S(米)，转动时间为t(秒)，则S与t之间的函数关系式为________，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于50米的时长为________秒．
四、解答题：本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)(1)求值：sin (－1 560°)cos 930°＋cos (－1 380°)sin (－1 050°)；
(2)已知sin (α＋)＝，求cos (α－)的值．
18．(12分)设函数 f(x)＝tan (2x－).
(1)求函数 f(x) 的定义域；
(2)求不等式 f(x)≤ 的解集．
19.
(12分)已知函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[－，]时，求f(x)的值域．
20．(12分)设函数f(x)＝sin (2x＋φ) (－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求函数y＝f(x)的单调增区间；
(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．
21．(12分)从下面①②③中选取一个作为条件，完成所给的两个问题．
①cos (x－)＝；②cos (x＋)＝－；③sin (－x)＝.
(1)求cos2(x＋)＋cos(x－)的值；
(2)若0注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
22．(12分)已知函数f(x)＝sin 2x＋1－2sin2x.
(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的所有取值；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若存在x∈[－，]，使得等式g(x)＝m成立，求实数m的取值范围．
单元素养测评卷(五)　三角函数
1．答案：C
解析：A选项：T＝＝π，错误；B选项：T＝＝4π，错误；
C选项：T＝＝，正确；D选项：T＝，错误．故选C.
2．答案：C
解析：因为θ是第二象限角，所以sinθ＝＝，
所以tan(π＋θ)＝tanθ＝＝－.故选C.
3．答案：B
解析：因为<2<，且y＝sinx在(，)内单调递减，y＝cosx在(，)内单调递减，y＝tanx在(，)内单调递增，所以1＝sin>sin2>sin＝，0＝cos>cos2>cos＝－，tan24．答案：C
解析：因为y＝f(x)＝sinx－xcosx，定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝sin (－x)＋xcos(－x)＝－sinx＋xcosx＝－f(x)，
故函数y＝f(x)＝sinx－xcosx为奇函数，图象关于原点对称，故排除AD；
又y＝f()＝sin－cos＝－1<0，故排除B.故选C.
5．答案：D
解析：f(x)＝5cos (2x－)，取2kπ<2x－<π＋2kπ，k∈Z，
解得kπ＋故选D.
6．答案：A
解析：α，β都是锐角，则－<α－β<，
则由题意得cos (α－β)＝＝，又sinα＝＝，
cosβ＝cos [α－(α－β)]＝cosαcos (α－β)＋sinαsin (α－β)＝×＋×＝.故选A.
7．答案：B
解析：根据已知，可得g(x)＝Acosω(x－)＝Acos (ωx－)，
∵g(x)的图象关于原点对称，所以g(0)＝0，从而－＝＋kπ，k∈Z，
所以ω＝－3－6k，其最小正值为3，此时k＝－1.故选B.
8．答案：B
解析：根据题意f(x)＝－2sin2x＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－2＝2(cosx＋)2－，
令t＝cosx，则t∈[－1，1]，因为函数的对称轴为t＝－，所以根据二次函数的图象和性质得：当t＝－时，ymin＝－，当t＝1时，ymax＝2.故选B.
9．答案：BCD
解析：对A，sinsin＝cos (－)sin＝cossin＝sin＝，A错；
对B，sin173°cos23°＋sin83°cos67°＝sin7°cos23°＋cos7°sin23°＝sin (7°＋23°)＝sin30°＝，B对；
对C，＝＝tan45°＝，C对；
对D，＝，
∵tan45°＝＝1 tan22°＋tan23°＝1－tan22°tan23°，∴＝，D对．故选BCD.
10．答案：BC
解析：A选项，735°＝2×360°＋15°，故735°与15°是终边相同的角，A说法正确；
B选项，扇形的圆心角为15°，即θ＝＝，
因为半径R＝3cm，则该扇形面积为S＝θR2＝××32＝πcm2，B说法错误；
C选项，当α＝时，2α＝，此时2α为轴线角，不属于任何象限角，C说法错误；
D选项，函数y＝sin (2x＋)的图象向右平移之后得到y＝sin (2x＋－)＝sin2x，D说法正确．故选BC.
11．答案：ACD
解析：sinαcosα＝＝，∵α∈(0，π)，则sinα>0，cosα>0，∴α∈(0，).
对C，sinα＋cosα＝＝，C对；
对A，sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝，A对；
对B，sin2α＝2sinαcosα＝，B错；
对D，cos2α＝cos2α－sin2α＝－，D对．故选ACD.
12．答案：CD
解析：由图象可知：A＝2，周期T＝4(－)＝π，∴ω＝＝2；
由，解得φ＝，故函数f(x)＝2sin (2x＋).
对于A：T＝π，故A错误；
对于B：当－≤x≤－时－π≤2x＋≤0，因为[－π，0]上正弦函数y＝sinx先减后增，不单调，所以y＝f(x)在[－，－]上不单调，故B错误；
对于C：当x＝－时f(－)＝2sin (－×2＋)＝－2，即直线x＝－是y＝f(x)的一条对称轴，故C正确；
对于D：y＝f(x)向右平移个单位得到y＝2sin [2(x－)＋]＝2sin2x，故D正确．故选CD.
13．答案：8
解析：由题意，知tanα＝＝，
则原式＝＝＝＝＝8.
14．答案：f(x)＝cos (πx＋)
解析：函数f(x)的最小正周期为T＝2×(－)＝2，则ω＝＝π，则f(x)＝cos (πx＋φ)，
因为f()＝cos (＋φ)＝0且函数f(x)在x＝处附近单调递减，
则＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，
因为0<φ<，所以φ＝.所以f(x)＝cos (πx＋).
15．答案：f(x)＝2cosx(答案不唯一)
解析：从三角函数入手，由于f(x)为偶函数，可考虑余弦型函数，故可设f(x)＝Acosωx(A>0)，
由f(x＋1)为奇函数，且f(x＋1)是f(x)向左平移1个单位长度得到，
所以(1，0)是f(x)的对称中心，则ω＝＋kπ，k∈Z，
不妨令k＝0，则ω＝，
由f(x)在R上的最大值为2可得A＝2，所以f(x)＝2cosx.
16．答案：S＝70－40cost(t≥0)　
解析：(1)设S＝Asin (ωt＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由题得，∴A＝40，B＝70，
又＝4，∴ω＝，∴S＝40sin (t＋φ)＋70，
又函数的图象过点(0，30)，∴30＝40sin (×0＋φ)＋70，∴φ＝－，
∴S＝40sin (t－)＋70＝70－40cost.
∴S＝70－40cost(t≥0).
(2)令70－40cost≥50，∴cost≤，
∴2kπ＋≤t≤2kπ＋π，k∈Z，
∴4k＋≤t≤4k＋，k∈Z.
当k＝0时，≤t≤，
当k＝1时，4≤t≤7，
∴叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于50米的时长为秒．
17．解析：(1)原式＝sin (－4×360°－120°)cos (2×360°＋210°)＋cos (－4×360°＋60°)sin (－3×360°＋30°)
＝－sin120°cos (180°＋30°)＋cos60°sin30°＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝×＋×＝1.
(2)∵(α＋)－(α－)＝，∴α－＝(α＋)－，∴cos (α－)＝cos [(α＋)－]＝sin (α＋)＝.
18．解析：(1)∵函数f(x)＝tan (2x－)，
∴2x－≠kπ＋，k∈Z，解得x≠＋，k∈Z；
故函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
(2)∵f(x)＝tan (2x－)，f(x)≤，则kπ－<2x－≤kπ＋，k∈Z，
解得－故原不等式的解集为{x|－19．解析：(1)由图象可知A＝2，＝－(－)＝，T＝π，
故ω＝＝2，
将x＝代入解析式中得2cos (＋φ)＝2，
故＋φ＝2kπ，k∈Z，而|φ|<，所以φ＝－，
故f(x)＝2cos (2x－).
(2)当x∈[－，]时，2x－∈[－，]，
则cos (2x－)∈[－，1]，
故f(x)＝2cos (2x－)∈[－1，2]，
所以f(x)的值域为[－1，2] .
20．解析：(1)∵x＝是函数y＝f(x)的图象的对称轴，
∴sin (2×＋φ)＝±1，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π<φ<0，φ＝－.
因此f(x)＝sin (2x－).
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z.
解得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z
∴函数y＝sin (2x－)的单调增区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
(2)在y＝sin (2x－)中，分别令2x－的值为－，－，0，，π，，列表如下：
x 0 π
y － －1 0 1 0 －
∴y＝f(x)的图象如图：
21．解析：(1)因为cos (x＋)＝cos (x－＋π)＝－cos (x－)，
sin (－x)＝sin (＋－x)＝cos (－x)＝cos (x－)，
故不论选①，②，③结果均相同，以下按照选①进行解答，
因为cos2(x＋)＋cos(x－)＝cos2[－(－x)]＋cos(x－－π)
＝sin2(－x)－cos(x－)＝1－cos2(－x)－cos(x－)＝1－－＝.
(2)因为0若－所以0所以sin(x＋)＝sin [π＋(x－)]＝－sin (x－)＝－.
22．解析：(1)因为f(x)＝sin2x＋1－2sin2x＝sin2x＋cos2x＝sin (2x＋)，
所以函数f(x)的最大值为.
令2x＋＝2kπ＋ x＝kπ＋(k∈Z).
所以函数f(x)取得最大值时x的所有取值为x＝kπ＋(k∈Z).
(2)由题意得g(x)＝sin (x－)，
因为x∈[－，]，所以x－∈[－，]，所以g(x)∈[－，]，
故实数m的取值范围为[－，].