新人教A版必修第二册高中数学第六章 平面向量及其应用 单元素养测评卷（含解析）

单元素养测评卷(六)　平面向量及其应用
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题中，正确的是(　　)
A.若a∥b，b∥c，则a∥c
B.若a＝b，b＝c，则a＝c
C.若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D.若a∥b，则a与b方向相同或相反
2．[2023·江西南昌三中高一期中]－＋－的运算结果是(　　)
A. B． C． D．
3．[2023·河南南阳高一期中]如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列说法正确的是(　　)
A.＝ B．＝ C．与共线 D．>
4．[2023·山东菏泽高一期中]已知＝2，＝1，a与b的夹角为，那么＝(　　)
A.4 B．3 C．2 D．
5．与向量a＝(3，－4)方向相同的单位向量为(　　)
A.(，) B．(－，) C．(－，－) D．(，－)
6．[2023·湖北十堰高一期中]在△ABC中，角A、B、C对的边分别为a、b、c.若a＝1，b＝3，c＝，则角C等于(　　)
A.90° B．120° C．60° D．45°
7．[2023·河南漯河高一期中]如图，在△ABC中，设＝a，＝b，＝2，＝4，则＝(　　)
A.a－b B．a－b C．－a＋b D．－a＋b
8．已知△ABC的三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，若m∥n，且满足(2a－c)cos B＝b cos C，则△ABC的形状是(　　)
A.等腰直角三角形 B．钝角三角形
C.等边三角形 D．直角三角形
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．[2023·湖南长沙雅礼中学高一期中]在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，则角A的值可能为(　　)
A.30° B．120° C．60° D．150°
10．[2023·山东滨州一中高一期中]已知向量a＝(1，－1)，b＝(－2，m)，c＝(4，－2)，则下列说法正确的是(　　)
A.a与c夹角的余弦值为 B．a在c上的投影向量为c
C.若a与b的夹角为钝角，则m>－2 D．若a与b的夹角为锐角，则m<－2
11．[2023·辽宁丹东高一期末]在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB的中线且交于点O，则下列结论正确的是(　　)
A.－＝ B．＝(＋)
C.＋＋＝0 D．＋＋＝0
12．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若·＝2，a＝2，则(　　)
A.b2＋c2＝8 B．向量，夹角的最小值为
C.内角A的最大值为 D．△ABC面积的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知A(－2，4)，C(－3，－4)，且＝3，则点M的坐标为________．
14．如图，海岸线上有相距5 n mile的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距3 n mile的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5 n mile的C处．则两艘轮船之间的距离为________n mile.
15．[2023·山东聊城高一期末]在△ABC中，D是BC中点，＝，AD与BE交于G，若＝λ，则λ＝________．
16．[2023·河南开封高一期末]如图，A，B是⊙C上两点，若弦AB的长度为2，则·＝________，若向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为________．
四、解答题：本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)已知向量a＝(2，1)，b＝(3，－1)，c＝(3，m)(m∈R).
(1)若向量a与c共线，求m的值；
(2)若(a－2b)⊥c，求m的值．
18．(12 分)[2023·河南南阳高一期中]如图所示，在△ABC中，BC＝4BD，AC＝3CE.
(1)用，表示，；
(2)若＝＋，证明：B，M，E三点共线．
19．(12 分)如图，在平面四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝2，AD＝4.
(1)求cos ∠DBC的值；
(2)求AC的长度．
20．(12 分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a2＋c2＝b2－ac.
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
21．(12 分)[2023·江苏镇江高一期中]在①sin 2B＋sin 2C－sin 2A＝sin B sin C；②a cos C＝(2b－c)cos A；③c cos C sin A＝(2b－c)sin C cos A这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．
(1)求角A；
(2)若a＝，b＝1，求△ABC的面积．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分．
22．(12 分)[2023·安徽阜阳高一期中]信阳南湾湖以源远流长的历史遗产，浓郁丰厚的民俗风情而著称；以幽、朴、秀、奇的独特风格，山、水、林、岛的完美和谐而闻名，是融自然景观、人文景观、森林生态环境、森林保健功能于一体，是河南省著名的省级风景区．如图，为迎接第九届开渔节，某渔船在湖面上A处捕鱼时，天气预报几小时后会有恶劣天气，该渔船的东偏北θ方向上有一个小岛C可躲避恶劣天气，在小岛C的正北方向有一航标灯D距离小岛25海里，渔船向小岛行驶50海里后到达B处，测得∠DBC＝45°，BD＝25(－)海里．
(1)求A处距离航标灯D的距离AD；
(2)求cos θ的值；
(3)为保护南湾湖水源自然环境，请写出两条建议(言之有理即可).
单元素养测评卷(六)　平面向量及其应用
1．答案：B
解析：对于A选项：0平行于任何向量，若b＝0，满足a∥b，b∥c，但不一定满足a∥c，故A错；
对于B选项：根据向量传递性，正确；
对于C选项：两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反(大小相等，方向完全相反)，故C错；
对于D选项：零向量与任何非零向量都平行，且零向量的方向任意．如果a，b中有一个是零向量，那么a，b方向相同或相反，或者不同，故D错．故选B.
2．答案：D
解析：－＋－＝＋＋＋＝，故选D.
3．答案：B
解析：对选项A：≠，错误；
对选项B：＝，正确；
对选项C：与不共线，错误；
对选项D：向量不能比较大小，错误．故选B.
4．答案：D
解析：＝＝
＝＝.故选D.
5．答案：D
解析：与a同向的单位向量为，
∵＝＝5，故＝(，－).故选D.
6．答案：B
解析：由题可知cosC＝＝＝－，
因为0°7．答案：C
解析：由于＝－＝b－a，＝2，
故＝＝(b－a)，
＝＋＝a＋(b－a)＝b＋a，
又因为＝4，
故＝＝－(b＋a)＝－b－a，
所以＝＋＝(b－a)－b－a＝－a＋b.故选C.
8．答案：C
解析：∵m∥n，∴bsinB＝asinA，∴b2＝a2，即b＝a，则A＝B，又满足cosB＝bcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，
即2sinAcosB＝sin＝sinA，sinA≠0，
∴cosB＝，∵0则△ABC的形状是等边三角形．故选C.
9．答案：BC
解析：由正弦定理得＝，得sinA＝＝＝，
因为a>b，且0°10．答案：ABD
解析：a与c夹角的余弦值为＝＝，A正确；
a在c上的投影向量为·＝·＝c，B正确；
若a与b的夹角为钝角，则得m>－2，且m≠2，C错误；
若a与b的夹角为锐角，则得m<－2，D正确．故选ABD.
11．答案：BCD
解析：如图所示：
因为AD，BE，CF分别是BC，CA，AB的中线且交于点O，
所以O是△ABC的重心．
对于A：若－＝，则＝＋，因为＝＋，
所以＝，显然不成立，故A错误；
对于B：＝＝××＝，故B正确；
对于C：＋＋＝＋＋＝＋＋＝0，故C正确；
对于D：＋＋＝－－－＝－＝－×0＝0，故D正确．故选BCD.
12．答案：AC
解析：·＝bccosA＝＝2，b2＋c2＝8，故A对；
b2＋c2＝8≥2bc，bc≤4，当且仅当b＝c时取等号，bccosA＝2，cosA＝≥，即Amax＝，故B错，C对；
S△ABC＝bcsinA＝bc＝bc＝≤，故D错．故选AC.
13．答案：
解析：由题意得＝＝，所以＝3＝.
设M，则＝＝，
所以，解得，
故点M的坐标为.
14．答案：
解析：
如图所示：连接AC，由题可知，∠ABC＝60°，AB＝AC＝5nmile，所以△ABC为正三角形，在△ACD中，AD＝3nmile，∠DAC＝180°－60°－75°＝45°，所以CD2＝2＋52－2×3×5×cos45°＝13，即CD＝nmile.
15．解析：设＝k＝k＝k－k，
所以＝＋＝＋k，
因为＝＋＝＋＝＋＝＋，
因为＝λ＝λ＋λ，
所以，解得.
16．答案：2　30°
解析：·＝·cos∠CAB＝×＝2＝2；
由题意，·＝，故·cos∠CAB＝，故cos∠CAB＝，又·＝2，故·cos∠CAB＝2，即2··＝2，解得＝，故cos∠CAB＝×＝，所以∠CAB＝30°.
17．解析：(1)∵a＝(2，1)，c＝(3，m)，向量a与c共线，
∴2m＝3，
∴m＝.
(2)∵a＝(2，1)，b＝(3，－1)，
∴a－2b＝(－4，3).
∵(a－2b)⊥c，
∴(a－2b)·c＝0.
∵c＝(3，m)，
∴×3＋3m＝0，
解得m＝4.
18．解析：(1)因为BC＝4BD，所以＝＝(－)＝－，
所以＝＋＝＋－＝＋.
因为AC＝3CE，所以＝，所以＝－＝－.
(2)因为＝＋，所以＝－＝－＋.
因为＝－＝3(－＋)，所以＝3，
即与共线，因为与有公共点B，所以B，E，M三点共线．
19．解析：(1)在△ABD中，由勾股定理得BD＝＝2，
sin∠ABD＝＝，cos∠ABD＝＝，
cos∠DBC＝cos＝cos60°cos∠ABD＋sin60°sin∠ABD
＝×＋×＝.
(2)因为∠DCB＝90°，所以BC＝BD·cos∠DBC＝3，
在△ABC中，由余弦定理得：
AC＝＝.
20．解析：(1)因为a2＋c2－b2＝－ac，
由余弦定理得cosB＝＝－，又B∈，所以B＝120°.
(2)因为b＝2，
由(1)得a2＋c2＝12－ac≥2ac，当且仅当a＝c＝2时取等号，
所以ac≤4，
面积S＝acsinB＝ac≤，
所以三角形面积的最大值为.
21．解析：(1)选①sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，
由正弦定理角化边得到：
b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝＝，
∵0选②acosC＝cosA，
由正弦定理边化角得到sinAcosC＝cosA，
即sin＝2sinBcosA，
由于sin＝sin＝sinB>0，
∴cosA＝，
∵0选③ccosCsinA＝sinCcosA，
由正弦定理边化角得到
sinCcosCsinA＝sinCcosA，
∵sinC>0，∴cosCsinA＝cosA，
即sin＝2sinBcosA，
由于sin＝sin＝sinB>0，
∴cosA＝，
∵0(2)由余弦定理得7＝1＋c2－2ccosA＝1＋c2－c，
∴c2－c－6＝0，解得c＝3(c＝－2舍去)，
∴△ABC的面积为bcsinA＝×1×3×＝.
22．解析：(1)∵AB＝50，BD＝25，∠DBC＝45°，
∴在△ABD中由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos135°＝502＋2－2×50×25×(－)＝5000,
∴AD＝50(海里).
(2)∵∠BCD＝90°＋θ，由正弦定理得＝，
∴cosθ＝sin＝＝－1.
(3)不要向南湾湖里投扔垃圾；建立各种保护机制；防止水污染物直接排入水体；限制保护区内从事餐饮、住宿等经营活动；禁止垂钓、游泳等娱乐活动．