第四章 指数函数、对数函数与幂函数 综合练习（含解析）

第四章指数函数、对数函数与幂函数综合练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若函数的两个零点分别为m，n，则（ ）
A． B． C． D．以上都不对
2．已知函数 ，则方程的解的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．设是定义域为的偶函数，且在单调递增，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ，若正实数互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数则（ ）
A．对任意实数，方程无解
B．存在实数，方程有2个根
C．存在实数，方程有3个根
D．对任意实数，方程有1个根
8．函数为定义在上的奇函数，则等于（ ）
A． B．-9 C．-8 D．
二、多选题
9．已知函数，其中实数 ，则下列关于的方程的实数根的情况，说法正确的有（ ）
A．a取任意实数时，方程最多有4个根 B．当时，方程有3个根
C．当时，方程有3个根 D．当时，方程有4个根
10．已知，存在实数满足，则（ ）
A． B．可能大于0 C． D．
11．给出下列五个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数的最大值为
B．已知函数（且）在上是减函数则a的取值范围是
C．在同一直角坐标系中，函数与的图象关于y轴对称
D．在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称
E．已知定义在R上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021
12．已知函数的定义域为R，且对任意x∈R，都有及成立，当且时，都有成立，下列四个结论中正确的是（ ）
A． B．函数在区间上为增函数
C．直线是函数的一条对称轴 D．方程在区间上有4个不同的实根
三、填空题
13．若f(x)＝则f(x)的值域为 ．
14．已知函数，则 .
15．通过研究函数在内的零点个数，进一步研究得函数（，且为奇数）在内零点有 个
16．已知定义在上的奇函数，当时满足：则 ；方程的解的个数为 .
四、解答题
17．我们知道，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数.已知函数，其反函数为.
(1)求函数，的最小值；
(2)对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“L函数”.已知函数为其定义域上的“L函数”，求实数的取值范围.
18．已知函数过定点，函数的定义域为.
（Ⅰ）求定点并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅲ）解不等式.
19．已知函数对一切实数，都有成立，且， .
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若关于x的方程有三个不同的实数解，求实数k的取值范围.
20．设函数是定义R上的奇函数．
（1）求k的值；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；
（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．
21．已知函数.
（1）若的值域为，求的值；
（2）巳，是否存在这样的实数，使函数在区间内有且只有一个零点，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．（1）已知，求的定义域并判断奇偶性.
（2）已知奇函数定义域为R，时，，求解析式.
（3）已知函数，求单调增区间和减区间.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】根据题意转化为函数和的图象有两个交点，作出函数的图象，得到，进而求得的范围，得到答案.
【详解】由函数，令，即，
作出函数和的图象，如图所示，
因为函数由两个零点，则两个函数的图象有两个交点，其交点的横坐标分别为，
不妨设，可得，
则满足，所以，即，
所以.
故选：C.
2．D
【分析】将方程的解的个数转化为函数的图象的交点个数问题，数形结合，可得答案.
【详解】由题意可知方程的解的个数即为函数的图象的交点个数，
作出函数的图象，如图：
由图象知的图象有3个交点，
故方程的解的个数是3，
故选：D
3．A
【分析】先将化为同底数的幂，利用指数对数函数的性质比较、、三个数的大小关系，再由函数在区间上的单调性并结合偶函数的性质可得出、、的大小关系.
【详解】，，
即，
由于函数是偶函数，在区间上单调递增，所以在上单调递减，
由于函数为偶函数，则，即，
故选：A.
【点睛】本题考查利用函数的单调性比较函数值的大小关系，涉及指数对数的运算和比较大小，考查推理能力，属于中等题.关键是转化为上的单调性再比较.
4．B
【解析】根据已知条件，由对数函数的单调性可得，然后利用反比例函数的单调性可以否定A；利用幂函数和指数函数的单调性，将不等式两边的数与中间量比较大小，可以证明B；根据对数函数的性质，当时可以否定C；由指数函数的性质可以否定D.
【详解】为定义在上的单调减函数，故由已知可得，
∵反比例函数在上的单调减函数，∴,故A错误；
,∴幂函数在上的单调递增，又∵,∴；
∵，∴指数函数在上的单调递减，又∴.
∴，故B正确；
由已知只能得到,
当时,故C错误；
由可得,故D错误.
故选：B.
【点睛】本题考查幂指对函数的性质，属基础题.综合利用幂指对函数的单调性比较大小，应当熟练掌握幂指对函数的单调性，对于幂函数，在指数大于0时，在第一象限内单调递增，当指数小于0时，在第一象限内单调递减；对于指数函数和对数函数，当底数大于1时在定义域内单调递增，当底数大于0小于1时在定义域内单调递减.
5．C
【解析】利用对数函数、指数函数的单调性与“0，1”比较即可.
【详解】，
，
，
．
故选:.
【点睛】本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，属于基础题．
6．A
【分析】画出函数的图象，根据图象分析，即可求解的取值范围.
【详解】由题意，函数，
画出函数的图象，如图所示，
设，则，即，可得，
当时，递减，且与轴交于点，
所以，且，
所以的取值范围为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式与图象，对数函数的图象与性质，以及函数与方程的综合应用，其中解答中画出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查数形结合思想的应用，属于中档试题.
7．B
【分析】作出函数的图象，设，则方程，即为，
结合图象，分，，和四种情况讨论，即可求解.
【详解】由题意，函数，作出函数的图象，如图所示:
设，则方程，即为，
结合图象，可得
①当时，此时方程有两个根，其中，
此时方程有1个根或2个根；
②当时，此时方程有两个根，
此时方程没有实数根；
③当时，此时方程只有一个根，其中，
此时方程没有实数根；
④当时，此时方程没有实数根，此时方程没有实数根.
综合可得，存在实数，方程有2个根.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，以及合理使用换元法分析求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
8．C
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，进而求出的值，由奇函数的性质分析可得答案.
【详解】根据题意，为定义在上的奇函数，
则有，解可得：，
则，
则；
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数以及函数值的计算，在涉及奇函数求参数时，注意结论的应用，考查计算能力，属于基础题.
9．ACD
【分析】先化简方程为或，再对进行分类讨论，结合图象来确定和分别有几个根，根据结果对选项逐一判断即可．
【详解】关于的方程，
即，解得或，
函数，
当时，单调递增，
当时，，
对称轴为，判别式．
（1）当时，函数的图象如下：
由图象可知，方程有1个根，
当时，方程有2个根，
当时，方程有1个根，
故当时，已知方程有3个根，当时，已知方程有2个根，当时，已知方程有1个根；
（2）当时，函数的图象如下：
当时，函数的图象如下：
由两个图象可知，时，方程有2个根，方程没有根，
故已知方程有2个根；
（3）当时，函数的图象如下：
方程有2个根，下面讨论最小值与的关系，由，解得，
当时，，直线如图①，方程有2个根，
故已知方程有4个根；
当时，，直线如图②，方程有1个根，
故已知方程有3个根；
当时，，直线如图③，方程没有根，
故已知方程有2个根．
综上可知，取任意值时，方程最多有4个根，故选项正确；
当时，方程有2个根，当时，方程有1个根，当时，方程有3个根，故选项错误；
当时，方程有3个根，故选项正确；
当时，方程有4个根，故选项正确．
故选：．
【点睛】方法点睛：解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：
（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．
10．AD
【分析】若，将代入上支函数，可得=，结合题意，可得的范围，同理若，将代入下支函数，又可解得范围，根据范围，再分别讨论，，将m代入不同方程，即可得答案.
【详解】由，可得．
若，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴方程无解；
若，，
故只需解即可，
当时，由，解得；
当时，由，解得．
综上所述，当时，，满足．
故选：AD.
【点睛】本题考查复合函数求解析式、函数与方程的综合应用及分段函数的应用，难点在于根据题意得到不同的的表达式，再进行求解，综合性较强，考查分析理解，求值计算的能力，分类讨论的思想，属中档题.
11．DE
【解析】根据指数函数，对数函数性质判断AB，由对称性判断CD，由奇函数性质及零点的概念判断E．
【详解】A错，令，则t的最大值为1，∴的最小值为；
B错，∵函数在上是减函数，∴解得；
C错，在同一直角坐标系中，函数与的图象关于x轴对称；
D正确，在同一直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称；
E正确，∵定义在R上的奇函数在内有1010个零点，∴在内有1010个零点，∴函数的零点个数为.故选DE.
【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质，考查函数的对称性，奇偶性，考查零点概念，考查的知识点较多，属于中档题．
12．ACD
【分析】由，得到函数为偶函数，又由当且时，都有成立，得到在为增函数，再根据，得出函数为周期为4的函数，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数的定义域为，
以为对于任意，都有，可得函数为偶函数，
又因为当且时，都有成立，
可得函数在区间为增函数，
又由，令，可得，
解得，所以，所以函数是周期为4的周期函数，
则函数的图形，如图所示，
由图象可得，所以A正确；
函数在区间上为减函数，所以B不正确；
直线是函数的一条对称轴，所以C正确；
方程在区间上，共有个不同的实数根，所以D正确.
故选：ACD.

【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，此类问题解答的一般步骤为：先确定函数的定义域，再化简解析式，求出函数的解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数相似，根据函数的定义域和解析式画出函数的图象，结合函数的图象再分析函数的性质进行求解.
13．(－2，－1]
【解析】分别根据分段函数的两段定义域求对应函数的值域，再求并集.
【详解】当x∈(－∞，1]时，x－1≤0，0<3x－1≤1，－2故答案为：(－2，－1]
14．
【分析】根据分段函数的定义域区间分别求出、的值，代入目标式中求值即可
【详解】．
故答案为：－1
【点睛】本题考查了指数、对数的运算，注意指数的性质，及对数运算性质的应用
15．3
【分析】令（为奇数，），，作出、两个函数的图象后可判断零点的个数.
【详解】由题意，令，，则，
零点的个数就是图象交点的个数，
如图所示：
由图象可知，与的图象在第一象限有一个交点，在第三象限有一个交点，
因为当为正奇数时的变化速度远大于的变化速度，故在第三象限内，
、的图象还有一个交点，故图象交点的个数为3，
所以零点的个数为3.
故答案为：3.
【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想的应用，属于中档试题.
16． 1 5
【解析】根据函数的解析式可直接求解的值，再利用函数的图象，结合图象，即可求得方程的解的个数，得到答案．
【详解】由题意，当时满足：，
可得；
又由方程的解的个数即为函数与的图象的交点个数，
在同一坐标系中作出函数与的图象，如图所示，
由图象可知，函数与的图象共有5个交点，
即方程与的解得个数为5.
故答案为：1， 5.
【点睛】本题主要考查了分段函数及函数值的求解、函数的零点与方程根的关系的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力．
17．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用换元法令，可得所求为关于p的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.
（2）根据题意，分别讨论在、和上存在实数，满足题意，根据所给方程，代入计算，结合函数单调性，分析即可得答案.
【详解】（1）由题意得
所以，，
令，设
则为开口向上，对称轴为的抛物线，
当时，在上为单调递增函数，
所以的最小值为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为；
当时，在上为单调递减函数，
所以的最小值为；
综上，当时，的最小值为，
当时，的最小值为，
当时，的最小值为
（2）①设在上存在，满足，
则，
令，则，当且仅当时取等号，
又，
所以，即，
所以，
所以
所以
②设在存在，满足，
则，即有解，
因为在上单调递减，
所以，
同理当在存在，满足时，解得，
所以实数的取值范围
【点睛】解题的关键是理解新定义，并根据所给定义，代入计算，结合函数单调性及函数存在性思想，进行求解，属难题
18．（Ⅰ）定点为，奇函数，证明见解析；（Ⅱ）在上单调递增，证明见解析；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）根据解析式可求得定点为，即可得的解析式，根据奇函数的定义，即可得证；
（Ⅱ）利用定义法即可证明的单调性；
（Ⅲ）根据的单调性和奇偶性，化简整理，可得，根据函数的定义域，列出不等式组，即可求得答案.
【详解】（Ⅰ）函数过定点，定点为，
，定义域为，
.
函数为奇函数.
（Ⅱ）在上单调递增.
证明：任取，且，
则.
，，
，，
，即，
函数在区间上是增函数.
（Ⅲ），即，
函数为奇函数
在上为单调递增函数，
， ，解得：.
故不等式的解集为：
【点睛】解题的关键是熟练掌握函数奇偶性、单调性的定义，并灵活应用，在处理单调性、奇偶性综合问题时，需要注意函数所有的自变量都要在定义域内，方可求得正确答案.
19．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）在中，令可求得结果；
（2）在中，令可得，从而可得的解析式；
（3）令,结合函数的图象将关于x的方程有三个不同的实数解转化为方程在内有一个实根，在内有一实根，再利用二次函数图象列式可求得结果.
【详解】（1）在中，
令，得，又，所以.
（2）在中，
令，得，得，
所以.
（3）令，则，
则函数的图象如图：
方程化为，即，即，
因为方程有三个不同的实数解，由函数的图象可知，
方程有两个不等实根，不妨设，则，，
令，
则，此时解得，或，此时无解，
综上所述：实数k的取值范围是.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
20．（1）1；（2）；（3）最小值为，此时.
【解析】（1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意；
（2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；
（3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案.
【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数，
所以，所以，解得，
所以，
当时，，
所以为奇函数，故；
（2）有解，所以有解，
所以只需，
因为（时，等号成立），
所以；
（3）因为，所以，
可令，可得函数t在递增，即，
则，可得函数，，
由为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以时，取得最小值，
此时，解得，
所以在上的最小值为，此时．
【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.
21．（1）；（2）存在，.
【解析】（1）根据一元二次函数的图象与性质，由函数的值域为，列出，即可求解；
（2）函数在区间内有且只有一个零点，转化为函数和的图象在内有唯一交点，根据中是否为零，分类讨论，结合函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数的值域为，
可得，解得.
（2）由，
令，可得，即
令，，∈，
函数在区间内有且只有一个零点，
等价于两个函数与的图象在内有唯一交点.，
①当时，在上递减，在上递增，
而，即，
所以函数与的图象在内有唯一交点.
②当时，图象开口向下，对称轴为，在上递减，
在上递增，与的图象在内有唯一交点，
当且仅当，即，解得，
所以.
③当时，图象开口向上，对称轴为，在上递减，在上递增，与的图象在内有唯一交点，
，即，解得，
所以.
综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.
【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟记一元二次函数的性质，把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
22．（1）定义域为，奇函数；（2）；（3）单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】（1）根据对数真数大于零求得函数定义域；根据奇偶性定义可判断出奇偶性；
（2）令，则，利用奇函数可求得时的解析式，结合可得到函数解析式；
（3）根据对数真数大于零求得函数定义域；根据复合函数单调性“同增异减”原则，分别判断复合函数两个构成部分的单调性，进而得到结果.
【详解】（1）由得： 定义域为
为奇函数
（2）当时，
为奇函数
又
（3）由得： 定义域为
在上单调递增，在上单调递减；
在上单调递增
的单调递增区间为，单调递减区间为
【点睛】本题考查函数构成三要素、函数单调性的求解问题，涉及到函数定义域的求解、奇偶性的判断、利用奇偶性求解函数解析式、对数型复合函数单调区间的求解问题.
答案第1页，共2页
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