第六章 平面向量初步 练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 第六章 平面向量初步 练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 942.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-13 16:44:23 | ||
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文档简介
第六章平面向量初步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知平面内四个不同的点满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
2．在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
3．已知，，三点共线，则（ ）
A．4 B．1 C．0 D．
4．在中，是边上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．己知向量，且与共线，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，点是的中点，点是的中点，点在线段上并且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，两点，且，则点P的坐标（ ）
A． B． C． D．
8．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知非零向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．与向量共线的单位向量是
C．“”是“与的夹角是锐角”的充分不必要条件
D．若是平面的一组基底，则也能作为该平面的一组基底
11．已知AB，CD为圆O的直径，P为圆O内一点，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．的最大值是1
12．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点，若实数满足，则的最小值为 ．
14．已知向量，，若，则 .
15．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）
四、双空题
16．已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的中点，则的值为 ，若点E是AB边上的动点，则的最大值为 ．
五、解答题
17．设A，B，C三点不共线，将下列几何语言用向量语言来描述：
(1)四边形ABCD是梯形，其中AB，DC是梯形的两底；
(2)M是BC的中点；
(3)N在线段AM上，且；
(4)P在MA的延长线上．
18．已知，设.
(1)求；
(2)求满足的实数
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
19．在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为．
(1)求的坐标；
(2)求四边形的面积．
20．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
21．四边形为的外切四边形，为切点，求证：
(1)共点；
(2)共点；
(3)共点．
六、问答题
22．（1）设是空间两个不共线的非零向量，
已知，且A，B，D三点共线，求实数k的值．
（2）已知为两个不共线的非零向量，且，求证：A，B，C，D四点共面．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值.
【详解】,
,
即,
.
故选：D.
2．B
【分析】根据平面向量的基本定理和线性运算即可求解.
【详解】点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，如图所示，
所以.
故选：B.
3．B
【分析】根据题意，由条件可得重合，即可得到结果.
【详解】因为三点共线，且，，，则重合，即.
故选：B
4．A
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】因为是边上的中点，
所以，即.
故选：A
5．C
【分析】由向量的共线的坐标运算可得解.
【详解】，，又与共线，
，化简得.
故选：C.
6．D
【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.
【详解】因为，所以，
又点是的中点，点是的中点，所以，
故.
故选：D.
7．C
【分析】设，根据已知，利用向量的线性运算计算求解.
【详解】设，由题可知，，，
因为，所以，解得 ，故A，B，D错误.
故选：C.
8．C
【分析】根据数量积的坐标运算即可求解.
【详解】如图所示，
以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，由，得，所以，，所以.
故选：C.
9．AD
【分析】利用向量相等的定义即可求解，两个向量相等必须是大小相等且方向相同.
【详解】由题知，点是线段的三等分点，
所以，，，
对于A：且方向相同，所以，A选项正确；
对于B：，所以，B选项错误；
对于C：，所以，C选项错误；
对于D：且方向相同，所以，D选项正确；
故选：AD.
10．AD
【分析】利用向量共线定理判断A；求出与向量共线的单位向量判断B；举例说明判断C；利用平面的一个基底的意义判断D.
【详解】对于A，非零向量，由，得存在非零实数，使得，则，即，A正确；
对于B，与共线的单位向量是，B错误；
对于C，当与同向共线时，满足，而与的夹角为0，不是锐角，C错误；
对于D，是平面的一组基底，则不共线，假设向量共线，
则存在实数，使得，即，显然不同时为0，
于是共线，与不共线矛盾，即假设是错的，因此向量不共线，D正确.
故选：AD
11．ABD
【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合圆的几何性质、正弦定理进行逐一判断即可.
【详解】因为AB，CD为圆O的直径，所以O是AB，CD是中点，
所以，因此选项A正确；
，
因为O是AB的中点，AB，CD为圆O的直径，
所以，于是所以选项B正确；
由：，
所以有，因此选项C不正确；
设，
，
所以的最大值是1，因此选项D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用圆的几何性质，结合平面向量数量积的运算性质是解题的关键.
12．ACD
【分析】建立平面直角坐标系，将“▲”代表的四个点坐标写出，再利用平行四边形的性质即可.
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示
则记为“▲”的四个点是，
线段的中点分别为，
则，
则由得四边形为平行四边形，设其对角线交于，
则，
即，
由此求得与点重合，
根据平行四边形的中心对称性可知，符合条件的直线一定经过点.
而过点和的直线有且仅有一条；过点和的直线有且仅有一条；
过点和的直线有且仅有一条.
所以符合条件的点是.
故选：ACD.
13．
【分析】根据题意，由三点共线可得，再由基本不等式，即可得到结果.
【详解】
因为，则，
由三点共线可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
14．/10.5
【分析】由向量平行可设，可得，解方程即可得解.
【详解】由设，则，解得,
所以，
故答案为：.
15．N
【分析】根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果.
【详解】
如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，
因为，所以在上的投影向量为，
所以8根绳子拉力的合力为，
又因为降落伞匀速下落，所以，必有，
所以，，所以
故答案为：N
16． 1 1
【分析】分别以为轴建立平面直角坐标系，得出向量，，的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出答案.
【详解】如图分别以为轴建立平面直角坐标系.
则，,，
若点E是AB边上的中点，则，所以
所以；
若点E是AB边上的动点，设，所以，
所以，
由，可得，
所以当时，的最大值为1
故答案为：1；1
17．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】作出图形，根据向量共线定理即可写出其向量语言.
【详解】（1）如图；存在正实数，使．
（2）如图：或或等．
（3）如图：或或等．
（4），其中；或，其中；．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】利用向量的加减、数乘的坐标运算、加减法的几何意义求解即可.
【详解】（1）由已知
得，同理
（2）∵
∴解得
（3）设O为坐标原点， ，
，
19．(1)
(2)
【分析】（1）设点的坐标为，根据，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，求得，利用向量的夹角公式，求得，得到，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：设点的坐标为，
由，可得，
因为四边形是平行四边形，可得，
所以，解得，即点的坐标为.
（2）解：由题意得，则，
所以，可得，
故四边形的面积为．
20．(1)
(2)存在．
【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解；
（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．
则．
由于就是的夹角．
的余弦值为．
（2）设
．
．
由题得．
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
，舍去．
综上，存在．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】证明：（1）将四边形看成六边形的退化情况，由定理10得共点．
（2）将四边形看成六边形的退化情况，由定理10得共点．
（3）将四边形看成六边形的退化情况，得共点．
又将四边形看成六边形的退化情况，得共点，从而共点．
22．（1）（2）证明见解析；
【分析】（1）根据向量共线定理求解；（2）根据向量的共面定理证明；
【详解】（1）,
A，B，D三点共线，
所以即
即有：，
解得：
（2）设
则，
所以，
又是空间两个不共线的非零向量，
所以，
解得；，即
所以A，B，C，D四点共面，原命题得证.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知平面内四个不同的点满足，则（ ）
A． B． C．2 D．3
2．在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
3．已知，，三点共线，则（ ）
A．4 B．1 C．0 D．
4．在中，是边上的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．己知向量，且与共线，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，点是的中点，点是的中点，点在线段上并且，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，两点，且，则点P的坐标（ ）
A． B． C． D．
8．勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧AC上的一点，且，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．如图，点是线段的三等分点，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知非零向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．与向量共线的单位向量是
C．“”是“与的夹角是锐角”的充分不必要条件
D．若是平面的一组基底，则也能作为该平面的一组基底
11．已知AB，CD为圆O的直径，P为圆O内一点，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．的最大值是1
12．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点，若实数满足，则的最小值为 ．
14．已知向量，，若，则 .
15．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 .（注：重力加速度取，精确到0.01N）
四、双空题
16．已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的中点，则的值为 ，若点E是AB边上的动点，则的最大值为 ．
五、解答题
17．设A，B，C三点不共线，将下列几何语言用向量语言来描述：
(1)四边形ABCD是梯形，其中AB，DC是梯形的两底；
(2)M是BC的中点；
(3)N在线段AM上，且；
(4)P在MA的延长线上．
18．已知，设.
(1)求；
(2)求满足的实数
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
19．在空间直角坐标系中，平行四边形的三个顶点为．
(1)求的坐标；
(2)求四边形的面积．
20．如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
21．四边形为的外切四边形，为切点，求证：
(1)共点；
(2)共点；
(3)共点．
六、问答题
22．（1）设是空间两个不共线的非零向量，
已知，且A，B，D三点共线，求实数k的值．
（2）已知为两个不共线的非零向量，且，求证：A，B，C，D四点共面．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】将条件变形，得到的关系，进而可得的值.
【详解】,
,
即,
.
故选：D.
2．B
【分析】根据平面向量的基本定理和线性运算即可求解.
【详解】点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，如图所示，
所以.
故选：B.
3．B
【分析】根据题意，由条件可得重合，即可得到结果.
【详解】因为三点共线，且，，，则重合，即.
故选：B
4．A
【分析】根据向量的线性运算求解即可.
【详解】因为是边上的中点，
所以，即.
故选：A
5．C
【分析】由向量的共线的坐标运算可得解.
【详解】，，又与共线，
，化简得.
故选：C.
6．D
【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.
【详解】因为，所以，
又点是的中点，点是的中点，所以，
故.
故选：D.
7．C
【分析】设，根据已知，利用向量的线性运算计算求解.
【详解】设，由题可知，，，
因为，所以，解得 ，故A，B，D错误.
故选：C.
8．C
【分析】根据数量积的坐标运算即可求解.
【详解】如图所示，
以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，由，得，所以，，所以.
故选：C.
9．AD
【分析】利用向量相等的定义即可求解，两个向量相等必须是大小相等且方向相同.
【详解】由题知，点是线段的三等分点，
所以，，，
对于A：且方向相同，所以，A选项正确；
对于B：，所以，B选项错误；
对于C：，所以，C选项错误；
对于D：且方向相同，所以，D选项正确；
故选：AD.
10．AD
【分析】利用向量共线定理判断A；求出与向量共线的单位向量判断B；举例说明判断C；利用平面的一个基底的意义判断D.
【详解】对于A，非零向量，由，得存在非零实数，使得，则，即，A正确；
对于B，与共线的单位向量是，B错误；
对于C，当与同向共线时，满足，而与的夹角为0，不是锐角，C错误；
对于D，是平面的一组基底，则不共线，假设向量共线，
则存在实数，使得，即，显然不同时为0，
于是共线，与不共线矛盾，即假设是错的，因此向量不共线，D正确.
故选：AD
11．ABD
【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合圆的几何性质、正弦定理进行逐一判断即可.
【详解】因为AB，CD为圆O的直径，所以O是AB，CD是中点，
所以，因此选项A正确；
，
因为O是AB的中点，AB，CD为圆O的直径，
所以，于是所以选项B正确；
由：，
所以有，因此选项C不正确；
设，
，
所以的最大值是1，因此选项D正确，
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用圆的几何性质，结合平面向量数量积的运算性质是解题的关键.
12．ACD
【分析】建立平面直角坐标系，将“▲”代表的四个点坐标写出，再利用平行四边形的性质即可.
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示
则记为“▲”的四个点是，
线段的中点分别为，
则，
则由得四边形为平行四边形，设其对角线交于，
则，
即，
由此求得与点重合，
根据平行四边形的中心对称性可知，符合条件的直线一定经过点.
而过点和的直线有且仅有一条；过点和的直线有且仅有一条；
过点和的直线有且仅有一条.
所以符合条件的点是.
故选：ACD.
13．
【分析】根据题意，由三点共线可得，再由基本不等式，即可得到结果.
【详解】
因为，则，
由三点共线可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
14．/10.5
【分析】由向量平行可设，可得，解方程即可得解.
【详解】由设，则，解得,
所以，
故答案为：.
15．N
【分析】根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果.
【详解】
如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，
因为，所以在上的投影向量为，
所以8根绳子拉力的合力为，
又因为降落伞匀速下落，所以，必有，
所以，，所以
故答案为：N
16． 1 1
【分析】分别以为轴建立平面直角坐标系，得出向量，，的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出答案.
【详解】如图分别以为轴建立平面直角坐标系.
则，,，
若点E是AB边上的中点，则，所以
所以；
若点E是AB边上的动点，设，所以，
所以，
由，可得，
所以当时，的最大值为1
故答案为：1；1
17．(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
(4)答案见解析
【分析】作出图形，根据向量共线定理即可写出其向量语言.
【详解】（1）如图；存在正实数，使．
（2）如图：或或等．
（3）如图：或或等．
（4），其中；或，其中；．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】利用向量的加减、数乘的坐标运算、加减法的几何意义求解即可.
【详解】（1）由已知
得，同理
（2）∵
∴解得
（3）设O为坐标原点， ，
，
19．(1)
(2)
【分析】（1）设点的坐标为，根据，列出方程组，即可求解；
（2）根据题意，求得，利用向量的夹角公式，求得，得到，结合面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：设点的坐标为，
由，可得，
因为四边形是平行四边形，可得，
所以，解得，即点的坐标为.
（2）解：由题意得，则，
所以，可得，
故四边形的面积为．
20．(1)
(2)存在．
【分析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解；
（2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．
则．
由于就是的夹角．
的余弦值为．
（2）设
．
．
由题得．
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
，舍去．
综上，存在．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】证明：（1）将四边形看成六边形的退化情况，由定理10得共点．
（2）将四边形看成六边形的退化情况，由定理10得共点．
（3）将四边形看成六边形的退化情况，得共点．
又将四边形看成六边形的退化情况，得共点，从而共点．
22．（1）（2）证明见解析；
【分析】（1）根据向量共线定理求解；（2）根据向量的共面定理证明；
【详解】（1）,
A，B，D三点共线，
所以即
即有：，
解得：
（2）设
则，
所以，
又是空间两个不共线的非零向量，
所以，
解得；，即
所以A，B，C，D四点共面，原命题得证.
答案第1页，共2页
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