数学人教A版（2019）必修第一册4.4.2对数函数的图象和性质 课件（共33张ppt）

(共33张PPT)
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质
第四章 指数函数与对数函数
活动引入
与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质.
活动1：我们不妨先画出函数的图象.请同学们完成的对应值表，并用描点法画出函数的图象.
…
0.5
1
2
4
8
16
…
…
…
新知探索
活动2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数，比如和，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
…
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新知探索
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2
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新知探索
我们发现，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于轴对称.
利用换底公式，可以得到：
因为点与点关于轴对称，所以图象上任意一点关于轴的对称点都在的图象上，反之亦然.
新知探索
根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数的图象，画出的图象.
为了得到对数函数且的性质，我们还需要画出更多具体对数函数的图象进行观察.
新知探索
活动3：选取底数的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？
新知探索
如图，选取底数的若干值，用信息技术画图，发现对数函数的图象按照底数的取值，可分为和两种类型.因此，指数函数的性质也可以分为
和两种情况进行研究.
新知探索
活动4：下面我们通过“网络画板”来进行动画展示，请同学们结合动画来观察对数函数的底数对对数函数图象的影响.
新知探索
活动5：请同学们结合着“网络画板”的动画演示，以小组为单位讨论你们发现的结论，并将其填入到下列表格中.
图象
定义域
值域
性 质 (1)过定点，即时，
(2)减函数 (2)增函数
新知探索
其实，除此之外，底数对对数函数的图象还有其它方面的影响.
对数函数图象的其它特征：
在直线的右侧，时，越大，图象越低，简称“底大图低”；
时，越大，图象越低，简称“底大图低”.
例析
例3.比较下列各题中两个值的大小：
(1)(2)，；(3).
解：(1)∵在定义域上单调递增
而，∴.
(2)∵在定义域上单调递减
而，∴.
(3)∵
∴当时，在定义域上单调递增
而,∴ .
当时，在定义域上单调递减
而,∴ .
对数函数单调性的应用
例析
例4.溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过计算的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
解(1)：根据对数的运算性质，有
在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即 减小.所以，随着的增大， 减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
例析
例4.溶液酸碱度的测量.
溶液酸碱度是通过计算的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的.
解(2)：当时，
所以纯净水的是7.
解：当时，
所以胃酸的约是
思考1：胃酸中氢离子的浓度是摩尔/升，胃酸的是多少？
新知探索
前面根据指数与对数的关系，由得到由函数定义知.这样，由指数函数可得到对数函数.
这个对数函数的定义域、值域分别是指数函数的值域和定义域.这时就说函数是函数的反函数.
新知探索
通常，我们用表示自变量，表示函数.
为此，把写成
这样，对数函数是指数函数的反函数.同时，指数函数也是对数函数的反函数.因此，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
新知探索
思考2：对于指数函数，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它们的定义域、值域之间有什么关系？它们也互为反函数吗？
对数函数
定义域：
值域：
对数函数
定义域：
值域：
新知探索
一般地，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.且图象关于直线对称.
练习
题型一：对数函数的图象问题
例1.(1)在同一直角坐标系中，函数，的图象
可能是( ).
解：当时，函数的图象过定点，在上单调递减，于是函数过定点，在上单调递增.函数过定点，在上单调递减.故选.
练习
例1.(2)如图，若，分别为函数和的图象，则( ).
解：由图知，对数函数在定义域内单调递减，所以.再根据“底大图低”，可知.故选.
练习
方法技巧：
与对数型函数相关的图象问题：
(1)利用对数函数的性质，比如定点、定义域、值域和单调性；
(2)在研究对数函数的图象时，可以利用图象的平移变换，进而得到目标函数的图象.
练习
变1.画出函数的图象，并写出函数的值域和单调区间.
解：据题意知，
由图可知,其值域为单调递增区间为，单调递减区间为.
练习
题型二：比较对数值的大小
例2.比较下列各组数的大小.
(1)
解：(1)对数函数在上单调递增，
而∴.
(2)
解：(2)由于，，又对数函数在上单 调递增，且
∴即.(或者“底大图低”也可以直接判断)
(3)
练习
解：(3)(中间值法)∵
∴.
题型二：比较对数值的大小
例2.比较下列各组数的大小.
练习
比较对数值大小的策略：
1.同底时，根据单调性比较两真数的大小；
2.同底但底数是字母时，需对字母进行分类讨论，再根据单调性比较两真数的大小；
3.同真数但不同底时，可利用“底大图低”的口诀来直接判断大小；
4.不同底且不同真时，常借助中间值，如-1,0,1等进行比较.
练习
变2.(全国卷1)已知，则（ ）.
解：∵
且即
∴.
故选.
练习
题型三：解对数不等式
例3.解下列不等式：
(1)
(2)
解：(2)当时，，解得此时，无解.
当时，，解得此时，.
即不等式的解集为
解：(1)据题意得：解得即不等式的解集为
练习
例3.解下列不等式：
(3)
解：(3)当时，解得即不等式的解集为
当时，，解得即不等式的解集为
综上，当时，解集为；当时，解集为
练习
解对数不等式的方法技巧：
1.形如的不等式，借助对数函数的单调性求解.
2.形如的不等式，应将化为以为底的对数式的形式，再借助的单调性求解.
3.形如的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.
注：底数中若含有参数，一定要注意底数的范围，并进行分类讨论.
练习
变3.(1)不等式的解集为____________.
解：(1)据题意得：解得即不等式的解集为
练习
变3.(2)若则的取值范围是__________.
解：据题意得，
①当时，是增函数，解得，所以；
②当时，是减函数，解得，所以；
综上所述，或.
课堂小结&作业
课堂小结：
(1)对数函数的图象性质；
(2)比较对数式大小的类型及处理方法.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本的题，习题4.4的2、4、7、11、12、13题.
谢谢学习
Thank you for learning