湖南省郴州市永兴县树德中学2023-2024学年八年级上学期入学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（2019七下·二道期中）已知 ，则a＋b等于（ ）
A．3 B． C．2 D．1
2．（2023八上·永兴开学考）下列计算错误的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6
B．（a5）2＝a10
C．4x2y （﹣3x4y3）＝﹣12x6y3
D．2x （3x2﹣x+5）＝6x3﹣2x2+10x
3．（2023八上·永兴开学考）下列分解因式错误的是（ ）
A．y（x﹣y）+x（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y）
B．25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y）
C．4x2+20x+25＝（2x+5）2
D．a2（a﹣b）﹣2a（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）3
4．（2023八上·永兴开学考）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，AB∥EF，且∠FEC=100°，则∠ABD的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
5．（2015八下·江东期中）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如表所示：
用电量（度） 120 140 160 180 200
户数 2 3 6 7 2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
6．（2015八上·阿拉善左旗期末）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八上·永兴开学考）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时，若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2017七下·曲阜期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）
A．当∠1=∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1=∠2
C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=90°
D．当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（2023八上·永兴开学考）已知（3m﹣n+1）2+|m﹣n﹣5|＝0，那么m+n＝ ．
10．（2017·商河模拟）分解因式：mn2+6mn+9m= ．
11．（2023八上·永兴开学考）二次三项式x2﹣kx+16是一个完全平方式，则k的值是 ．
12．（2023八上·永兴开学考）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则∠1，则∠2的度数为 ．
13．（2023八上·永兴开学考）在湖南卫视“我是歌手”比赛中，评委组的各位评委给某歌手演唱打分情况（满分100分）如表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下分数的平均分 分．
分数（分） 89 92 95 96 97
评委（位） 1 2 2 1 1
14．（2023八上·永兴开学考）如图，点D是等边△ABC内的一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，那么旋转了 度．
15．（2019八上·龙凤期中）计算： ．
16．（2023八上·永兴开学考）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则点A到BC边的距离为： ．
三、解答题（每小题6分，共36分）
17．（2023八上·永兴开学考）先化简，再求值：b（b+1）+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝1，b＝﹣2．
18．（2023八上·永兴开学考）解方程组：．
19．（2023八上·永兴开学考）若x+4y﹣3＝0，求2x 16y的值．
20．（2023八上·永兴开学考）分解因式：x4z2﹣8x2y2z2+16y4z2．
21．（2023八上·永兴开学考）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了如图尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 9 4 7 4 6
乙成绩 7 5 7 a 7
（1）a＝ ，＝ ；
（2）参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差；
（3）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
22．（2023八上·永兴开学考）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，将格点△ABC向右平移4个单位单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1旋转180°得到△A2B2C2．
四、（本题10分）
23．（2023八上·永兴开学考）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．
（1）求化工厂从A地购买这批原料及利用这批原料生产的产品各多少吨？
（2）计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
五、说理论证题（本题12分）
24．（2023八上·永兴开学考）将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由.
六、探究题（本题12分）
25．（2023八上·永兴开学考）如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为（x+a），宽为（x+b）．
（1）根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积．
S甲＝ ．
S乙＝ ＝ ．
根据条件你发现关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是 ．
（2）利用你所得的规律进行多项式乘法计算：
①（x+4）（x+5）＝
②（x+3）（x﹣2）＝
③（x﹣6）（x﹣1）＝
（3）由（1）得到的关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用x2+（a+b）x+ab多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解：
①x2+5x+6
②x2﹣x﹣12．
26．（2023八上·永兴开学考）如图，已知OC平分∠AOB，CD⊥OA于点D，E为DC延长线上一点，EF⊥OB于点F，EG平分∠DEF交OB于点G，∠DEF+∠AOB＝180°.
（1）问题发现：①如图1，当∠AOB＝90°时，∠1+∠2= ▲ °；
②如图2，当∠AOB为锐角时，∠1与∠2有什么数量关系，请说明理由；
（2）拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究OC与GE的位置关系，并证明结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】
∵①+②得：4a+4b=12，
∴a+b=3．
故答案为：A．
【分析】将两方程相加可得4a+4b=12，从而求出结论.
2．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：（a2b3）2＝a4b6 ，所以A计算正确；
B： （a5）2＝a10 ，所以B计算正确；
C： 4x2y （﹣3x4y3）＝﹣12x6y4，所以C计算错误；
D：2x （3x2﹣x+5）＝6x3﹣2x2+10x ，所以D计算正确。
故答案为：C.
【分析】根据幂的运算性质及整式的乘法法则正确进行计算即可。
3．【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A： y（x﹣y）+x（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y） ，所以A正确；
B： 25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y） ，所以B正确；
C： 4x2+20x+25＝（2x+5）2 ，所以C正确；
D： a2（a﹣b）﹣2a（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+2a+b2），a2+2a+b2≠（a-b）2，所以a2（a﹣b）﹣2a（a﹣b）+b2（a﹣b）≠（a-b）3，所以D错误。
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的方法，准确对个选项进行分解，即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠ABC=∠FEC=100°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD =
故答案为：B.
【分析】首先根据平行线的性质，得出∠ABC=∠FEC=100°，再根据角平分线的定义求得∠ABD的度数。
5．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180；
将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是160，160，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（160+160）÷2=160．
故选：A．
【分析】根据众数和中位数的定义就可以解决．
6．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选B．
【分析】据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：3千米/时=千米/分钟，1200米=1.2千米，设上坡用了x分钟，根据题意，得：
故答案为：B.
【分析】设上坡用了x分钟，3千米/时=千米/分钟，1200米=1.2千米，根据总路程为1.2千米，可得方程：，根据总时间为16分钟，可得方程：x+y=16，从而可得方程组为：。
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：A、若∠1=∠2不符合a∥b的条件，故本选项错误；
B、若a∥b，则∠1+∠2=180°，∠1不一定等于∠2，故本选项错误；
C、若a∥b，则∠1+∠2=180°，故本选项错误；
D、如图，由于∠1=∠3，当∠3+∠2=180°时，a∥b，所以当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可．
9．【答案】-11
【知识点】代数式求值；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵（3m﹣n+1）2+|m﹣n﹣5|＝0，
∴3m﹣n+1=0，m﹣n﹣5=0，
∴m=-3，n=-8，
∴m+n=-11.
故答案为：-11.
【分析】根据非负数的和为0，则3m﹣n+1=0，m﹣n﹣5=0，解方程组，即可求得m，n的值，进一步即可求得m+n的值。
10．【答案】m（n+3）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：mn2+6mn+9m
=m（n2+6n+9）
=m（n+3）2．
故答案为：m（n+3）2．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
11．【答案】±8
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2﹣kx+16是一个完全平方式 ，
∴-k=±2×4，
∴k=±8.
故答案为：±8.
【分析】根据完全平方式的定义，即可求得k的值。
12．【答案】50°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠3=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°。
故答案为：50°.
【分析】首先根据平角为180°，求得∠3=50°，再根据平行线的性质，求得∠2的度数即可。
13．【答案】94
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：去掉一个最高分97，再去掉一个最低分：89，
所以余下分数的平均分为：。
故答案为：94.
【分析】直接根据平均数的定义，进行计算即可。
14．【答案】60
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意知：旋转角为∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°。
故答案为：60.
【分析】首先找出旋转角，然后根据等边三角形的性质，求得∠BAC的度数即可。
15．【答案】999996
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（1000+2）×（1000-2）
=10002-22
=1000000-4
=999996，
故答案为：999996．
【分析】先将原式变形，然后用平方差公式使得计算简便.
16．【答案】2.4cm
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理，得：AB=，
∴，
∴点A到BC的距离为：（cm）
故答案为：2.4cm.
【分析】首先根据勾股定理求得AB的长，再求得△ABC的面积，进一步根据直角三角形的面积=×斜边×斜边上的高，即可求得点A到BC的距离。
17．【答案】解：原式＝b2+b+a2﹣b2﹣（a2﹣2ab+b2）
＝b2+b+a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2
＝b+2ab﹣b2
当a＝1，b＝﹣2时，原式=-2+2×1×（-2）-（-2）2=-10.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先根据整式的乘法运算法则进行化简，然后代入求值即可。
18．【答案】解：①﹣②得：3y＝3，即y＝1，
把y＝1代入②得：x＝3，
则这个方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组。
19．【答案】解：∵x+4y﹣3＝0，
∴x+4y＝3．
∴2x 16y＝2x 24y＝2x+4y＝23＝8．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【分析】首先根据等式的变形，求得x+4y=3，然后根据幂的运算性质，把所求的式子变形为：2x+4y，然后整体代入，即可求得答案。
20．【答案】解：原式＝z2（x4﹣8x2y2+16y4）
＝z2（x2﹣4y2）2
＝z2（x﹣2y）2（x+2y）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】首先提公因式z2，得出因式分解第一步 z2（x4﹣8x2y2+16y4），然后根据完全平方公式，得出第二步：z2（x2﹣4y2）2，最后根据平方差公式得出第三步： z2（x﹣2y）2（x+2y）2.
21．【答案】（1）4；6
（2）解：＝1.6
（3）解：因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，由于＜，
所以乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：∵他们的总成绩相同，
∴a=（9+4+7+4+6）-（7+5+7+7）=4，
∴＝ 甲的平均数=6；
故第1空答案为：4；第2空答案为：6；
【分析】（1）根据他们的总成绩相同，可直接求得a的值，由甲的平均成绩，直接得出乙的平均成绩；
（2）根据方差计算公式可直接求得乙的方差；
（3）根据方差和平均数的意义进行分析即可。
22．【答案】解：如图所示：
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】根据平移的方向和单位长度进行作图即可得到△A1B1C1，再根据旋转的性质即可得到△A2B2C2.
23．【答案】（1）解：设工厂从A地购买了x吨原料，利用这批原料生产的产品有y吨，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
答：工厂从A地购买了400吨原料，利用这批原料生产的产品有300吨；
（2）解：依题意得：300×8000﹣400×1000﹣15000﹣97200＝1887800（元），
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1） 设工厂从A地购买了x吨原料，利用这批原料生产的产品有y吨，根据两次运输共支出公路运费15000元，可得方程1.5（20y+10x）=15000①；根据两次运输共支出铁路运费97200元，可得方程为1.2（110y+120x）=97200②，①②联立组成方程组，解方程组即可；
（2）由（1）知：购买原料400吨，生产的产品300吨，列式：销售款-原料费-公路运输费-铁路运输费=00×8000﹣400×1000﹣15000﹣97200＝1887800（元）， 即可求出答案。
24．【答案】（1）解：AB与DF平行．理由如下：
由翻折，得∠DFC＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFC，
∴AB∥DF．
（2）解：连接GC，如图所示．
由翻折，得∠DGE＝∠ACB．
∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，
∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．
∵∠B＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝2∠B．
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠性质可得：∠DFC=∠C，从而得到∠DFC=∠B，进一步得出AB∥DF；
（2）首先由折叠性质知： ∠DGE＝∠ACB ，再由三角形外角的性质得出：∠1+∠2=2∠ACB，从而得出∠1+∠2=2∠B。
25．【答案】（1）（x+a）（x+b）；x2+bx+ax+ab；x2+（a+b）x+ab，；（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab
（2）解：①原式＝x2+9x+20，
②原式＝x2+x﹣6，
③原式＝x2﹣7x+6
（3）解：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
②x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣4）．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）根据长方形计算公式得：S甲=(x+a)（x+b）；S乙=x2+bx+ax+ab=x2+（a+b）x+b2；
∴可得规律为：(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2；
故第1空答案为：(x+a)（x+b）；故第2空答案为：x2+bx+ax+ab；故第3空答案为：x2+（a+b）x+b2；故第4空答案为：(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2；
【分析】（1）根据图形面积的求法，即可得出答案；
（2）根据（1）得出的规律(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2，可得计算结果；
（3）根据x2+（a+b）x+b2=(x+a)（x+b），可得因式分解的结果。
26．【答案】（1）解：① 90 ，
∵ ∠AOB＝90° ，
∴∠DEF=90°，
∴∠1=∠2=
∴∠1+∠2=90°；
故答案为：90；
②∠1+∠2＝90°，理由如下：∵EG平分∠DEF，OC平分∠AOB，
∴∠1＝∠DEF，∠2=∠AOB，
∴∠1+∠2＝（∠DEF+∠AOB），
∵∠DEF+∠AOB＝180°，
∴（∠DEF+∠AOB）＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
（2）解：OC∥EG，
证明：∵EG平分∠DEF，OC平分∠AOB，
∴∠1＝∠DEF，∠2=∠AOB，
∴∠1+∠2＝（∠DEF+∠AOB），
∵∠DEF+∠AOB＝180°，
∴∠1+∠2＝90°；
∵EF⊥OB于点F，
∴∠EFG＝90°，
∴∠1+∠EGF＝90°，
∴∠2＝∠EGF，
∴OC∥EG
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①首先根据 ∠DEF+∠AOB＝180° ，求出∠DEF=90°，然后再根据角平分线的定义，求得∠1=∠2=45°，从而得出结论∠1+∠2=90°；②∠1+∠2＝90°，根据角平分线的定义，可得∠1＝∠DEF，∠2=∠AOB，即可得出∠1+∠2＝（∠DEF+∠AOB）=90°；
（2）首先可证明∠1+∠2=90°，再由直角三角形两锐角互余得出∠1+∠EGF=90°，进而得出∠2=∠EGF，所以OC∥GE。
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一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（2019七下·二道期中）已知 ，则a＋b等于（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】A
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】
∵①+②得：4a+4b=12，
∴a+b=3．
故答案为：A．
【分析】将两方程相加可得4a+4b=12，从而求出结论.
2．（2023八上·永兴开学考）下列计算错误的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6
B．（a5）2＝a10
C．4x2y （﹣3x4y3）＝﹣12x6y3
D．2x （3x2﹣x+5）＝6x3﹣2x2+10x
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式乘多项式；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：（a2b3）2＝a4b6 ，所以A计算正确；
B： （a5）2＝a10 ，所以B计算正确；
C： 4x2y （﹣3x4y3）＝﹣12x6y4，所以C计算错误；
D：2x （3x2﹣x+5）＝6x3﹣2x2+10x ，所以D计算正确。
故答案为：C.
【分析】根据幂的运算性质及整式的乘法法则正确进行计算即可。
3．（2023八上·永兴开学考）下列分解因式错误的是（ ）
A．y（x﹣y）+x（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y）
B．25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y）
C．4x2+20x+25＝（2x+5）2
D．a2（a﹣b）﹣2a（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）3
【答案】D
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A： y（x﹣y）+x（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y） ，所以A正确；
B： 25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y） ，所以B正确；
C： 4x2+20x+25＝（2x+5）2 ，所以C正确；
D： a2（a﹣b）﹣2a（a﹣b）+b2（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+2a+b2），a2+2a+b2≠（a-b）2，所以a2（a﹣b）﹣2a（a﹣b）+b2（a﹣b）≠（a-b）3，所以D错误。
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的方法，准确对个选项进行分解，即可得出答案。
4．（2023八上·永兴开学考）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，AB∥EF，且∠FEC=100°，则∠ABD的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥EF，
∴∠ABC=∠FEC=100°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD =
故答案为：B.
【分析】首先根据平行线的性质，得出∠ABC=∠FEC=100°，再根据角平分线的定义求得∠ABD的度数。
5．（2015八下·江东期中）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如表所示：
用电量（度） 120 140 160 180 200
户数 2 3 6 7 2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180；
将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是160，160，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（160+160）÷2=160．
故选：A．
【分析】根据众数和中位数的定义就可以解决．
6．（2015八上·阿拉善左旗期末）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选B．
【分析】据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
7．（2023八上·永兴开学考）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时，若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：3千米/时=千米/分钟，1200米=1.2千米，设上坡用了x分钟，根据题意，得：
故答案为：B.
【分析】设上坡用了x分钟，3千米/时=千米/分钟，1200米=1.2千米，根据总路程为1.2千米，可得方程：，根据总时间为16分钟，可得方程：x+y=16，从而可得方程组为：。
8．（2017七下·曲阜期中）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（ ）
A．当∠1=∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1=∠2
C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=90°
D．当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b
【答案】D
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：A、若∠1=∠2不符合a∥b的条件，故本选项错误；
B、若a∥b，则∠1+∠2=180°，∠1不一定等于∠2，故本选项错误；
C、若a∥b，则∠1+∠2=180°，故本选项错误；
D、如图，由于∠1=∠3，当∠3+∠2=180°时，a∥b，所以当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b，故本选项正确．
故选D．
【分析】根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（2023八上·永兴开学考）已知（3m﹣n+1）2+|m﹣n﹣5|＝0，那么m+n＝ ．
【答案】-11
【知识点】代数式求值；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵（3m﹣n+1）2+|m﹣n﹣5|＝0，
∴3m﹣n+1=0，m﹣n﹣5=0，
∴m=-3，n=-8，
∴m+n=-11.
故答案为：-11.
【分析】根据非负数的和为0，则3m﹣n+1=0，m﹣n﹣5=0，解方程组，即可求得m，n的值，进一步即可求得m+n的值。
10．（2017·商河模拟）分解因式：mn2+6mn+9m= ．
【答案】m（n+3）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：mn2+6mn+9m
=m（n2+6n+9）
=m（n+3）2．
故答案为：m（n+3）2．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
11．（2023八上·永兴开学考）二次三项式x2﹣kx+16是一个完全平方式，则k的值是 ．
【答案】±8
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵二次三项式x2﹣kx+16是一个完全平方式 ，
∴-k=±2×4，
∴k=±8.
故答案为：±8.
【分析】根据完全平方式的定义，即可求得k的值。
12．（2023八上·永兴开学考）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝40°，则∠1，则∠2的度数为 ．
【答案】50°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠3=50°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°。
故答案为：50°.
【分析】首先根据平角为180°，求得∠3=50°，再根据平行线的性质，求得∠2的度数即可。
13．（2023八上·永兴开学考）在湖南卫视“我是歌手”比赛中，评委组的各位评委给某歌手演唱打分情况（满分100分）如表，从中去掉一个最高分和一个最低分，则余下分数的平均分 分．
分数（分） 89 92 95 96 97
评委（位） 1 2 2 1 1
【答案】94
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：去掉一个最高分97，再去掉一个最低分：89，
所以余下分数的平均分为：。
故答案为：94.
【分析】直接根据平均数的定义，进行计算即可。
14．（2023八上·永兴开学考）如图，点D是等边△ABC内的一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，那么旋转了 度．
【答案】60
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意知：旋转角为∠BAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°。
故答案为：60.
【分析】首先找出旋转角，然后根据等边三角形的性质，求得∠BAC的度数即可。
15．（2019八上·龙凤期中）计算： ．
【答案】999996
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：原式=（1000+2）×（1000-2）
=10002-22
=1000000-4
=999996，
故答案为：999996．
【分析】先将原式变形，然后用平方差公式使得计算简便.
16．（2023八上·永兴开学考）如图，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，则点A到BC边的距离为： ．
【答案】2.4cm
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理，得：AB=，
∴，
∴点A到BC的距离为：（cm）
故答案为：2.4cm.
【分析】首先根据勾股定理求得AB的长，再求得△ABC的面积，进一步根据直角三角形的面积=×斜边×斜边上的高，即可求得点A到BC的距离。
三、解答题（每小题6分，共36分）
17．（2023八上·永兴开学考）先化简，再求值：b（b+1）+（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2，其中a＝1，b＝﹣2．
【答案】解：原式＝b2+b+a2﹣b2﹣（a2﹣2ab+b2）
＝b2+b+a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2
＝b+2ab﹣b2
当a＝1，b＝﹣2时，原式=-2+2×1×（-2）-（-2）2=-10.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先根据整式的乘法运算法则进行化简，然后代入求值即可。
18．（2023八上·永兴开学考）解方程组：．
【答案】解：①﹣②得：3y＝3，即y＝1，
把y＝1代入②得：x＝3，
则这个方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解二元一次方程组。
19．（2023八上·永兴开学考）若x+4y﹣3＝0，求2x 16y的值．
【答案】解：∵x+4y﹣3＝0，
∴x+4y＝3．
∴2x 16y＝2x 24y＝2x+4y＝23＝8．
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【分析】首先根据等式的变形，求得x+4y=3，然后根据幂的运算性质，把所求的式子变形为：2x+4y，然后整体代入，即可求得答案。
20．（2023八上·永兴开学考）分解因式：x4z2﹣8x2y2z2+16y4z2．
【答案】解：原式＝z2（x4﹣8x2y2+16y4）
＝z2（x2﹣4y2）2
＝z2（x﹣2y）2（x+2y）2
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】首先提公因式z2，得出因式分解第一步 z2（x4﹣8x2y2+16y4），然后根据完全平方公式，得出第二步：z2（x2﹣4y2）2，最后根据平方差公式得出第三步： z2（x﹣2y）2（x+2y）2.
21．（2023八上·永兴开学考）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了如图尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）．
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲成绩 9 4 7 4 6
乙成绩 7 5 7 a 7
（1）a＝ ，＝ ；
（2）参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差；
（3）请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．
【答案】（1）4；6
（2）解：＝1.6
（3）解：因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，由于＜，
所以乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：∵他们的总成绩相同，
∴a=（9+4+7+4+6）-（7+5+7+7）=4，
∴＝ 甲的平均数=6；
故第1空答案为：4；第2空答案为：6；
【分析】（1）根据他们的总成绩相同，可直接求得a的值，由甲的平均成绩，直接得出乙的平均成绩；
（2）根据方差计算公式可直接求得乙的方差；
（3）根据方差和平均数的意义进行分析即可。
22．（2023八上·永兴开学考）如图，在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫格点三角形，将格点△ABC向右平移4个单位单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点C1旋转180°得到△A2B2C2．
【答案】解：如图所示：
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】根据平移的方向和单位长度进行作图即可得到△A1B1C1，再根据旋转的性质即可得到△A2B2C2.
四、（本题10分）
23．（2023八上·永兴开学考）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．
（1）求化工厂从A地购买这批原料及利用这批原料生产的产品各多少吨？
（2）计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？
【答案】（1）解：设工厂从A地购买了x吨原料，利用这批原料生产的产品有y吨，
依题意得：，
整理得：，
解得：，
答：工厂从A地购买了400吨原料，利用这批原料生产的产品有300吨；
（2）解：依题意得：300×8000﹣400×1000﹣15000﹣97200＝1887800（元），
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】（1） 设工厂从A地购买了x吨原料，利用这批原料生产的产品有y吨，根据两次运输共支出公路运费15000元，可得方程1.5（20y+10x）=15000①；根据两次运输共支出铁路运费97200元，可得方程为1.2（110y+120x）=97200②，①②联立组成方程组，解方程组即可；
（2）由（1）知：购买原料400吨，生产的产品300吨，列式：销售款-原料费-公路运输费-铁路运输费=00×8000﹣400×1000﹣15000﹣97200＝1887800（元）， 即可求出答案。
五、说理论证题（本题12分）
24．（2023八上·永兴开学考）将△ABC纸片沿DE折叠，其中∠B＝∠C．
（1）如图1，点C落在BC边上的点F处，AB与DF是否平行？请说明理由；
（2）如图2，点C落在四边形ABCD内部的点G处，探索∠B与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：AB与DF平行．理由如下：
由翻折，得∠DFC＝∠C．
又∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠DFC，
∴AB∥DF．
（2）解：连接GC，如图所示．
由翻折，得∠DGE＝∠ACB．
∵∠1＝∠DGC+∠DCG，∠2＝∠EGC+∠ECG，
∴∠1+∠2＝∠DGC+∠DCG+∠EGC+∠ECG＝（∠DGC+∠EGC）+（∠DCG+∠ECG）＝∠DGE+∠DCE＝2∠ACB．
∵∠B＝∠ACB，
∴∠1+∠2＝2∠B．
【知识点】平行线的判定；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠性质可得：∠DFC=∠C，从而得到∠DFC=∠B，进一步得出AB∥DF；
（2）首先由折叠性质知： ∠DGE＝∠ACB ，再由三角形外角的性质得出：∠1+∠2=2∠ACB，从而得出∠1+∠2=2∠B。
六、探究题（本题12分）
25．（2023八上·永兴开学考）如图甲、乙是两个长和宽都相等的长方形，其中长为（x+a），宽为（x+b）．
（1）根据甲图，乙图的特征用不同的方法计算长方形的面积．
S甲＝ ．
S乙＝ ＝ ．
根据条件你发现关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律用数学式表达是 ．
（2）利用你所得的规律进行多项式乘法计算：
①（x+4）（x+5）＝
②（x+3）（x﹣2）＝
③（x﹣6）（x﹣1）＝
（3）由（1）得到的关于字母x的系数是1的两个一次式相乘的计算规律表达式，将该式从右到左地使用x2+（a+b）x+ab多项式进行因式分解．请你据此将下列多项式进行因式分解：
①x2+5x+6
②x2﹣x﹣12．
【答案】（1）（x+a）（x+b）；x2+bx+ax+ab；x2+（a+b）x+ab，；（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab
（2）解：①原式＝x2+9x+20，
②原式＝x2+x﹣6，
③原式＝x2﹣7x+6
（3）解：①x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
②x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣4）．
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：（1）根据长方形计算公式得：S甲=(x+a)（x+b）；S乙=x2+bx+ax+ab=x2+（a+b）x+b2；
∴可得规律为：(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2；
故第1空答案为：(x+a)（x+b）；故第2空答案为：x2+bx+ax+ab；故第3空答案为：x2+（a+b）x+b2；故第4空答案为：(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2；
【分析】（1）根据图形面积的求法，即可得出答案；
（2）根据（1）得出的规律(x+a)（x+b）=x2+（a+b）x+b2，可得计算结果；
（3）根据x2+（a+b）x+b2=(x+a)（x+b），可得因式分解的结果。
26．（2023八上·永兴开学考）如图，已知OC平分∠AOB，CD⊥OA于点D，E为DC延长线上一点，EF⊥OB于点F，EG平分∠DEF交OB于点G，∠DEF+∠AOB＝180°.
（1）问题发现：①如图1，当∠AOB＝90°时，∠1+∠2= ▲ °；
②如图2，当∠AOB为锐角时，∠1与∠2有什么数量关系，请说明理由；
（2）拓展探究：（3）在（2）的条件下，已知直角三角形中两个锐角的和是90°，试探究OC与GE的位置关系，并证明结论．
【答案】（1）解：① 90 ，
∵ ∠AOB＝90° ，
∴∠DEF=90°，
∴∠1=∠2=
∴∠1+∠2=90°；
故答案为：90；
②∠1+∠2＝90°，理由如下：∵EG平分∠DEF，OC平分∠AOB，
∴∠1＝∠DEF，∠2=∠AOB，
∴∠1+∠2＝（∠DEF+∠AOB），
∵∠DEF+∠AOB＝180°，
∴（∠DEF+∠AOB）＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
（2）解：OC∥EG，
证明：∵EG平分∠DEF，OC平分∠AOB，
∴∠1＝∠DEF，∠2=∠AOB，
∴∠1+∠2＝（∠DEF+∠AOB），
∵∠DEF+∠AOB＝180°，
∴∠1+∠2＝90°；
∵EF⊥OB于点F，
∴∠EFG＝90°，
∴∠1+∠EGF＝90°，
∴∠2＝∠EGF，
∴OC∥EG
【知识点】平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）①首先根据 ∠DEF+∠AOB＝180° ，求出∠DEF=90°，然后再根据角平分线的定义，求得∠1=∠2=45°，从而得出结论∠1+∠2=90°；②∠1+∠2＝90°，根据角平分线的定义，可得∠1＝∠DEF，∠2=∠AOB，即可得出∠1+∠2＝（∠DEF+∠AOB）=90°；
（2）首先可证明∠1+∠2=90°，再由直角三角形两锐角互余得出∠1+∠EGF=90°，进而得出∠2=∠EGF，所以OC∥GE。
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