浙江省金华市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

金华市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列中，，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3．若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．“点到直线的距离相等”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列是公差不为0的无穷等差数列，是其前项和，若存在最大值，则（ ）
A．在中最大的数是
B．在中最大的数是
C．在中最大的数是
D．在中最大的数是
7．设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于，两点，过分别作的垂线，两垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，是棱上的动点，若点为线段上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知双曲线，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的焦距为4
C．双曲线的虚轴长为1 D．双曲线的渐近线方程为
10．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与直线不可能垂直
C．若点与点关于直线对称，则实数的值为
D．直线被圆截得的最短弦长为
11．已知抛物线上存在一点到其焦点的距离为3，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为为坐标原点．则（ ）
A．抛物线的方程为 B．直线一定过抛物线的焦点
C．线段长的最小值为 D．
12．在正方体中，点满足，其中，则（ ）
A．当时，平面
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，的面积为定值
D．当时，直线与所成角的范围为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知等差数列满足，则______．
14．已知是椭圆的两个焦点，点在该椭圆上，若，则的面积是______．
15．已知球是直三棱柱的内切球（点到直三棱柱各面的距离都相等），若球的表面积为的周长为4，则三棱锥的体积为______．
16．设经过抛物线焦点且斜率为1的直线，与抛物线交于两点，抛物线准线与轴交于点，则______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分10分）
已知动圆．
（Ⅰ）当时，求经过原点且与圆相切的直线的方程；
（П）若圆与圆内切，求实数的值．
18．（本题满分12分）
如图，为平行四边形，是边长为1的正方形，．
（Ⅰ）求证：；
（П）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（本题满分12分）
如图，已知抛物线与轴相交于点两点，是该抛物线上位于第一象限内的点．
（Ⅰ）记直线的斜率分别为，求证：为定值；
（П）过点作，垂足为，若平分，求的面积．
20．（本题满分12分）
正项数列中，，对任意都有．
（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；
（П）设，试问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出所有满足要求的；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分12分）
在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且分别为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（П）若直线与平面的交点为，且，求截面与底面所成锐二面角的大小．
22．（本题满分12分）
已知点与定点的距离和它到定直线的距离的比是．
（Ⅰ）求点的轨迹的标准方程；
（П）设点，若点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值．
参考答案
1．C 2．A 3．D 4．B
5．B 6．A 7．C 8．D
9．BD 10．AC 11．ACD 12．ABD
13．5 14． 15． 16．
17．解：（Ⅰ）当时，，其圆心为．
当直线的斜率不存在时，的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为，由题意得，
的方程为综上，直线的方程为或．
（П）圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为4，
由题意得，两边平方解得（负值舍去）．
18．解：（Ⅰ）因为，由余弦定理得，从而，
，又，故．
又，所以底面，可得，
平面．故．
（П）法一：如图建立空间直角坐标系，则，，
设平面的法向量为，则
可取，
设直线与平面所成的角为．
故．
法二：由（Ⅰ）知平面中，，
所以，由得
设直线与平面所成的角为
19．解：（Ⅰ）由题意得点的坐标分别为．
设点的坐标为，且，则，
所以为定值．
（П）由直线的位置关系知：．
固为，所以，，
解得，因为是第一象限内的点，所以．得点的坐标为．联立直线与的方程
解得点的坐标为．
所以的面积．
20．解：（Ⅰ）由及得
知数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以的通项公式为前项和
（П）存在，由（Ⅰ）得，
假设存在正整数，传得成等差数列，则
即，得
为整数，故所以存在满足要求的或或
21．解：（Ⅰ）取的中点，连接是的中点，且，底面为直角梯形，，即，且四边形是平行四边形，
，又平面平面平面．
（П）法一：取的中点，连接，连接并延长交于，已知．
平面，且平面平面直线，
，又，又为中点，为中点，．
建立空间直角坐标系如图所示，
，则平面的法向量为，设平面的法向量为，则有，即，取，则，即．，即两个法向量的夹角为．故所成锐二而角的大小为
法二：同法一建立空间直角坐标系，设，则，分别是的中点于是
由共面向量定理得，从而，
解得，，即下同法一
22．解；（Ⅰ）依题意，得，整理化简得，点的轨迹的方程为：．
（П）法一：设为坐标原点，连接，延长交椭圆于点，连接，由椭圆对称性可知：，
又四边形为平行四边形，
且三点共线
四边形的面积
设直线，
由得：，
，
又点到直线的距离即为点到直线的距离，点到直线的距离，
．设，则，
，
又当，即时，四边形面积取得最大值，最大值为3．
法二：当直线斜率不存在时，得，则四边形为矩形，其面积为3；当直线斜率存在时，根据对称性，不妨设，倾斜角为，
则点到的距离为，设直线方程为由，得解得，设直线方程为由，得
从而四边形的面积
令，则，得
综上所述，当直线斜率不存在时，四边形面积取得最大值，最大值为3．